第 7 章：可解群：定义、例子及保持可解的三个引理

本章对象： 是 阶循环群； 是四元 Klein 群。可解列只要求相邻项正规，不要求每项正规于整个 。

7.1 可解群的定义与 S₃ 的可解列

原问题：直接回到这里吧

可以，我们直接回到这里。

前面已经讲过：

所以现在下一步就是开始理解：

但先不下抽象定义，先拿 做例子。

考虑这条链：

这里：

我们来看这条链到底有什么特殊之处。

首先看最上面这一层：

前面已经知道，它只有两个元素：

因此：

一个只有两个元素的群一定是交换群，所以：

然后再看下一层：

因为除以最小子群 基本什么都没压掉，所以：

而 有三个元素：

并且：

整个 是交换群。

所以：

现在你会看到：

虽然自己不是交换群，但我们能找到一条正规子群链：

使得每一层相邻两群做商之后：

和

全都是阿贝尔群。

这就是“可解群”的核心思想：

一个群本身可以很复杂、可以不交换；但如果能把它通过正规子群一层一层拆开，而每一层剩下的商群都是交换群，那么这个群就叫可解群。

所以：

---

正式定义就是：

如果存在一条链

使得每一个商群

都是阿贝尔群，那么：

英文：

这里的“可解”这个名字现在看起来非常奇怪：

群又没有方程，为什么叫“可解”？

这不是巧合。

这个名称正是因为 Galois 理论最后证明：

所以“solvable group”中的 solvable，确实和我们最终要研究的“方程能不能用根式解”直接相关。

不过现在还不要跳到 Galois 理论。

下一步最重要的是弄懂：

然后我们再看 为什么也可解，而到了 为什么这套拆法会卡在 。

7.2 阿贝尔商群如何逐层消去非交换部分

现在我们只解释一个问题：

这其实是“可解群”定义背后的核心直觉。

先看一个群 。如果 本身是阿贝尔群，那么最简单，因为所有元素都满足

这时候你甚至不需要很多层，直接有：

而

本身就是阿贝尔群。

所以所有阿贝尔群当然都是可解群。

但 本身不是阿贝尔群。比如：

那为什么它还是“可解”？

因为我们找到：

现在看：

在这个商群里，我们已经不再区分 里面的元素。

也就是说：

全部被视为同一个“大元素”：

而所有奇置换则被视为另一个“大元素”。

于是原来 中很多复杂的非交换行为，被压进了 里面。

外面剩下的结构：

只有两个元素，因此是交换的。

所以可以这样理解：

的“非交换复杂性”并没有遍布整个群，而是可以被集中到较小的子群 里。

然后我们继续进入 。

但 本身已经是交换群了。

于是复杂性到这里就结束了。

所以：

就是一种“一层一层剥掉非交换结构”的过程。

---

你也可以把它画成：

先忽略掉 内部的区别，得到

这是阿贝尔群。

然后再看被我们刚才“藏起来”的 。

它自己也是阿贝尔的。

所以整个 虽然不是阿贝尔群，但它是由若干层阿贝尔结构搭起来的。

这就是：

的直觉。

---

这里还有一个更精确的说法。

如果

是阿贝尔群，那么在商群里：

也就是说：

这等价于说：

或者更常见地写成：

这个元素：

叫做 的交换子，英文：

commutator

记作：

如果 真正交换，那么：

于是：

所以交换子是在测量：

如果 是阿贝尔群，那么所有交换子都落进 ：

因此可以理解成：

把 压成单位元以后，所有“不交换的误差”都消失了。

这就是为什么阿贝尔商群代表“非交换性被压进更小的子群里”。

---

所以一条可解链：

满足每个：

都是阿贝尔群，本质上是在说：

最后一直塞到：

于是所有非交换复杂性都被一层层消解掉了。

这就是“solvable”的群论意义。

下一步就很自然了：

然后再对比 ，看它为什么最终卡在 。

7.3 S₄ 的可解列

现在我们看：

但这一步会比 多一层，所以我们慢慢来。

对 ，一个很有用的正规子群链是：

这里新出现了一个东西：

它叫 Klein four group，克莱因四元群。

先只搞清楚 是什么。

---

是对

的所有置换。

其中有三个很特别的偶置换：

再加上单位元：

于是定义：

为什么这些都是偶置换？

因为例如：

是两个换位的乘积。

两个是偶数，所以它是偶置换。

因此：

---

现在先看它为什么自己是一个群。

设

那么：

因为每个都只是交换两对元素，做两次就还原。

更有意思的是：

我们算一下。

还是从右往左。

先追踪 ：

所以：

再看 ：

所以：

因此有：

再看 ：

所以：

而：

所以：

因此：

同样：

所以这四个元素彼此相乘，永远不会跑出去。

因此：

确实是一个群。

---

而且这个群还是阿贝尔群。

例如：

同时：

所以：

实际上 中任意两个元素都交换。

因此：

这已经告诉我们最下面这一层：

是阿贝尔群。

---

现在看整个链：

为了证明 可解，我们需要逐层看：

其中第一层已经知道：

是阿贝尔群。

最后一层：

和前面 一样，只区分奇置换和偶置换，所以只有两个元素，也一定是阿贝尔群。

真正需要理解的是中间这一层：

为什么也是阿贝尔群。

这就是下一步最合适讲的内容。

7.4 V₄ 的正规性与三阶商群为何循环

现在只解决中间这一层：

这里其实有两个问题：

1. 为什么是 的正规子群，这样 才有资格成为商群？
2. 这个商群为什么是阿贝尔群？

我们一个一个来。

先看大小：

而

所以如果能够取商，那么：

也就是说，商群只有 3 个元素。

但我们现在还不能直接宣布它是群，因为首先要证明：

---

为什么 V₄ 是正规子群？

我们有：

这里介绍一个非常有用的事实。

如果 是一个置换，那么：

等于：

直觉上就是：

左右用 和 包起来，相当于把循环里的标签全部按照 重新命名。

例如假设：

那么：

就是把 分别换成

所以：

同样：

就会变成

关键是：

两个不相交的换位，在这种“重新命名”之后，仍然是两个不相交的换位。

所以：

经过任意置换共轭后，只可能变成：

也就是说，它还是待在 里面。

单位元 当然也还是 。

因此对任意：

都有：

这正是正规子群的另一个等价定义：

---

现在我们终于可以形成商群：

它有：

个元素。

接下来的问题是：

为什么任何只有 3 个元素的群一定是阿贝尔群？

设这个群是：

取一个不是单位元的元素，比如：

看：

它只能是 之一。

它不可能等于 ，因为如果：

两边乘 ，得到：

矛盾。

所以只有两种可能：

或者

但第一种其实也不可能。

如果：

那么集合

会形成一个 2 元子群。

而子群大小必须整除群大小；2 不能整除 3。

如果暂时不想用这个定理，也可以以后再补。

所以必然：

于是：

而因为群只有三个元素，继续乘最终必须回到 ，事实上：

因此整个群其实就是：

所有元素都是 的幂。

那么：

所以一定交换。

因此：

于是：

现在三层全部打通：

对应商群：

阿贝尔；

3 阶群，阿贝尔；

2 阶群，阿贝尔。

所以：

到这里，你已经看到了为什么四次方程对应的对称群 还能够被“一层层拆成阿贝尔结构”。

下一步就轮到真正的分水岭：

我们会先看它最自然的第一层：

然后发现问题全部集中到了 。而 和之前的 会出现一个本质性的不同。

补充证明：可解群的子群仍可解

设 有可解列 ，。令 。对 、， 同时属于 与 ，故属于 ；所以 。映射

良定义且保持乘法；若 ，则 ，因此单射。其目标群阿贝尔，所以定义域也阿贝尔。于是 是可解列；相邻项允许相等，重复项删去即可。这补上原对话推广到 时仅引用、尚未写出的证明。

补充证明：可解的核与可解的商群给出可解的整体

设 ，且 与 都可解。取 的可解列 ；取 的可解列 。令 是商映射，。因 ，共轭计算给出 ，而且 、。

把 限制到 ，再映到 ，其核恰好是 ，且满射。第一同构定理给出 ，因此这些商群阿贝尔。把两条链连接为

得到 的可解列。特别地，阿贝尔核当然可解，所以“可解群的阿贝尔扩张仍可解”。这里的“扩张”是群论中的核与商群关系，不是说把两个群简单做直积。

补充定义与证明：交换子如何检测商群的交换性

交换子 ；它等于 当且仅当 。若 ，则 阿贝尔，当且仅当所有交换子都落在 中。事实上， 等价于 ；该元素 与 互为一个共轭， 正规，所以两种条件等价。也可以直接在商群中计算 、 的交换子。后面的商群可解证明就用这个判别。

7.6 可解群的商群仍可解

现在证明：

我们只用已经学过的“可解群”定义，不额外引入新定理。

假设 可解。那么存在一条正规子群链：

并且每一层：

现在我们想研究：

这里 ，否则商群 都没有定义。

我们有自然的商映射：

它把：

现在把原来每一个 都通过 映射过去。

定义：

于是每个 都是 里的一个子群。

原来的链：

经过 后变成：

最上面：

最下面呢？

因为：

所以：

注意在商群 中，单位元就是陪集：

所以：

我们现在只需要证明每一个：

都是阿贝尔群。

---

为什么？

任取：

因为：

是阿贝尔群，所以在这个商群里：

也就是：

这意味着“不交换产生的差别”落在 里面。也就是：

现在对它作用商映射 ：

因为 是群同态：

所以：

这句话又意味着：

在商群

里面：

和

能够交换。

而 是任意的，所以：

于是我们已经给 找到了一条：

并且每一层商群都是阿贝尔群。

按照可解群定义：

---

7.7 逐元素证明群链的像仍形成正规链

原问题：为什么这个就成立了

这里要分成三件事证明，刚才我确实压得太快了。

我们定义了：

其中

而原来有：

现在为什么能得到：

先看最下面。

因为

所以：

而：

所以：

注意这里 是商群 的单位元，因为：

所以 就相当于普通群里的 。

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再看最上面。

因为：

所以：

而商映射 会把所有 送成所有陪集 。

这些陪集正好构成整个：

所以：

---

第三件事最关键：

为什么：

我们知道原来：

现在取任意：

和：

因为：

所以存在：

使：

同理存在：

使：

现在看共轭：

代入：

因为 是群同态：

而原来：

所以：

于是：

所以：

这对任意 、 都成立，因此：

所以整个链才真正成立：

核心就是一句：

这里不是因为“把 映过去”就自动能写 ，还需要上面这个共轭计算。

7.8 逐元素证明像链的相邻商群阿贝尔

刚才我们已经证明了：

会形成一条正规的子群链：

现在还差最后一件事：

原来的 是可解群，所以我们知道：

是阿贝尔群。

这句话意味着：任取

它们在商群里交换：

也就是：

这意味着 和 只差一个 中的元素。等价地：

---

现在把它通过

映过去。

令

因为 ，所以：

而：

作用 ：

利用 是群同态：

所以：

这就意味着，在商群

里， 和 的不交换部分已经被压进了单位元。

因此：

因为 任意，所以：

于是我们有：

而且每一个：

都是阿贝尔群。

这正是“可解群”的定义，所以：

---