第 13 章：中间域、限制映射和商群公式

本章对象：默认 $K/F$ 有限 Galois；只有额外满足 $E/F$ 正规时， $\operatorname{res}$ 才以 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 为目标群。 $\operatorname{res}$ 是群映射， $\sigma$ 是它的输入， $\sigma$ | $E$ 是它的输出。

13.1 域越大，固定它的自同构越少

现在我们要把“域的一层层扩张”翻译成“群的一层层子群”。

这一步的核心是一个非常漂亮的反向关系：

$\boxed{\text{域越大，对应的 Galois 子群反而越小}}$

先不要记定理，我们用一个具体例子理解。

假设有：

$F\subset E\subset K$

其中 $K/F$ 是一个 Galois 扩张。

我们考虑总的 Galois 群：

$G=\operatorname{Gal}(K/F).$

也就是所有“固定 $F$ ”的 $K$ 的自同构。

现在因为 $E$ 比 $F$ 更大，如果我要求一个自同构不仅固定 $F$ ，还必须固定整个 $E$ ，那它受到的限制就更多。

于是得到一个更小的群：

$H=\operatorname{Gal}(K/E).$

注意：

$H\subset G.$

为什么？

因为如果一个自同构把 $E$ 里的所有元素都固定，那当然也会把 $F\subset E$ 里的所有元素固定。

所以：

$\boxed{ F\subset E \Longrightarrow \operatorname{Gal}(K/E)\subset \operatorname{Gal}(K/F) }$

这就是“反向”。

域越大：

$F\subset E,$

要固定的东西越多，

所以允许的自同构越少。

举个很简单的例子。

还是：

$K=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3).$

整个 $K$ 相对于 $\mathbb Q$ 的自同构，可以独立决定：

$\sqrt2\mapsto\pm\sqrt2,$

$\sqrt3\mapsto\pm\sqrt3.$

所以一共有 4 个：

$|\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)|=4.$

现在取中间域：

$E=\mathbb Q(\sqrt2).$

如果一个自同构必须固定 $E$ ，那它就必须固定：

$\sqrt2.$

所以原来关于 $\sqrt2$ 的“正负自由度”消失了。

它只能决定：

$\sqrt3\mapsto\pm\sqrt3.$

于是：

$|\operatorname{Gal}(K/E)|=2.$

所以你看到：

$\mathbb Q \subset \mathbb Q(\sqrt2) \subset K$

对应的是：

$\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q) \supset \operatorname{Gal}(K/\mathbb Q(\sqrt2)) \supset \{e\}.$

域链方向是：

$\boxed{\text{越往上越大}}$

群链方向是：

$\boxed{\text{越往下越小}}$

这就是 Galois 对应最核心的直觉。

更一般地，如果：

$F\subset E_1\subset E_2\subset K,$

那么：

$\operatorname{Gal}(K/F) \supset \operatorname{Gal}(K/E_1) \supset \operatorname{Gal}(K/E_2) \supset \operatorname{Gal}(K/K)=\{e\}.$

也就是：

$\boxed{ F\subset E_1\subset E_2\subset K }$

反向对应：

$\boxed{ G\supset H_1\supset H_2\supset\{e\} }$

其中

$H_i=\operatorname{Gal}(K/E_i).$

但现在还差一个很关键的问题：

这些 $H_i$ 为什么会是正规子群？
以及为什么商群

$H_i/H_{i+1}$

会对应某一层域扩张的 Galois 群？

这就是 Galois 基本定理真正有力量的地方。

下一步我们就只讲第一件事：

$\boxed{\text{为什么“中间域本身对基础域是 Galois 的”时，对应子群就是正规子群}}$

这正好会把我们前面学过的“正规子群”和现在的“中间域”连接起来。

13.2 中间域正规时，对应子群为何正规

现在只讲这一件事：

$\boxed{\text{为什么中间域 }E/F\text{ 是 Galois 时，}\operatorname{Gal}(K/E)\text{ 会成为 }\operatorname{Gal}(K/F)\text{ 的正规子群}}$

先设：

$F\subset E\subset K,$

并令

$G=\operatorname{Gal}(K/F),$

$H=\operatorname{Gal}(K/E).$

我们已经知道：

$H\le G.$

现在要证明：

$\boxed{H\triangleleft G}$

也就是对任意

$\sigma\in G,$

都有：

$\sigma H\sigma^{-1}=H.$

先取一个：

$\tau\in H.$

因为 $\tau\in H$ ，所以 $\tau$ 的定义是：

$\tau$ 固定 $E$ 中的每个元素。

也就是：

$\tau(x)=x,\qquad \forall x\in E.$

现在我们看共轭：

$\sigma\tau\sigma^{-1}.$

我们要证明它仍然属于 $H$ 。

也就是说，需要证明：

$\sigma\tau\sigma^{-1}$

仍然固定 $E$ 。

任取：

$x\in E.$

看：

$(\sigma\tau\sigma^{-1})(x).$

从右往左作用。

第一步：

$x\overset{\sigma^{-1}}{\longmapsto}\sigma^{-1}(x).$

这里问题来了：

$\sigma^{-1}(x)$ 还一定在 $E$ 里面吗？

这正是关键。

如果：

$\sigma^{-1}(E)=E,$

那么当然：

$\sigma^{-1}(x)\in E.$

于是因为 $\tau$ 固定 $E$ ：

$\tau(\sigma^{-1}(x)) = \sigma^{-1}(x).$

最后再作用 $\sigma$ ：

$\sigma(\sigma^{-1}(x))=x.$

所以：

$(\sigma\tau\sigma^{-1})(x)=x.$

于是：

$\sigma\tau\sigma^{-1}\in H.$

因此：

$\sigma H\sigma^{-1}=H.$

也就是：

$\boxed{H\triangleleft G}.$

所以整个证明实际上卡在一句话：

$\boxed{\sigma(E)=E}$

为什么成立？

这就是为什么需要 $E/F$ 是 Galois。

如果 $E/F$ 是 Galois，那么 $E$ 可以理解为某个多项式在 $F$ 上的分裂域。

而 $\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F)$ 固定 $F$ ，所以它把这个多项式的根仍然送到这个多项式的根。

因为 $E$ 是由这些根生成的，所以：

$\sigma(E)=E.$

也就是说：

$E$ 作为一个整体，在所有固定 $F$ 的自同构作用下不会被送到别的地方去。

于是对应的：

$H=\operatorname{Gal}(K/E)$

就是正规子群。

你可以把这件事和前面的正规子群直觉对应起来：

在群论里：

$H\triangleleft G$

意思是 $H$ 在共轭作用下保持不变。

在域论里，对应的是：

$E$

在 $G$ 的作用下作为一个整体保持不变。

所以：

$\boxed{ E/F\text{ Galois} \Longleftrightarrow \operatorname{Gal}(K/E)\triangleleft\operatorname{Gal}(K/F) }$

这就是 Galois 基本定理里最漂亮的一条对应关系之一。

下一步就可以继续讲：

$\boxed{ G/H\cong \operatorname{Gal}(E/F) }$

也就是为什么“商群”恰好对应“中间那一层域扩张的 Galois 群”。

13.3 域的整体稳定不等于固定每个单位根

原问题：这个得保证单位根也是固定的吧

对，你抓到了一个很关键的区别：“ $E$ 在所有固定 $F$ 的自同构下保持不变”本身，不要求额外加入单位根；它要求的是 $E/F$ 是 Galois。 单位根是在我们前面构造“根式扩张的每一层都是 Galois 且阿贝尔”时需要的。

这两个条件要分开看。

比如

$F\subset E\subset K,$

且

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F).$

如果 $E/F$ 是 Galois，那么 $\sigma$ 会把 $E$ 送回自身：

$\sigma(E)=E.$

这里不需要专门说“单位根固定”。

为什么？因为 $E/F$ 是 Galois 意味着，粗略说， $E$ 已经包含了定义它所需多项式的全部共轭根。因此 $\sigma$ 虽然可能把这些根互相交换，但它们仍然都在 $E$ 里面，于是整个 $E$ 不会跑出去。

反过来看我们之前的例子就很清楚。

设

$\alpha=\sqrt[3]2$

并考虑：

$E=\mathbb Q(\alpha).$

它不是 $x^3-2$ 的分裂域，因为另外两个根

$\omega\alpha,\qquad \omega^2\alpha$

不在 $E$ 里。

放进更大的分裂域

$K=\mathbb Q(\alpha,\omega)$

后，有某个

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)$

满足：

$\sigma(\alpha)=\omega\alpha.$

于是：

$\sigma(E) = \sigma(\mathbb Q(\alpha)) = \mathbb Q(\omega\alpha).$

而：

$\mathbb Q(\omega\alpha)\neq\mathbb Q(\alpha).$

所以：

$\boxed{\sigma(E)\neq E}.$

问题的本质不是单独因为“ $\omega$ 没固定”，而是：

$\boxed{E/\mathbb Q\text{ 不是 Galois}}$

因此 $E$ 没有包含自己所有的共轭。

那我们之前为什么反复强调：

$\boxed{\text{把 }\omega\text{ 加入基础域}}$

呢？

那是在解决另一个问题。

我们希望一层根式扩张

$F\subset F(\alpha), \qquad \alpha^n=a\in F$

不但成为 Galois 扩张，而且其 Galois 群还是阿贝尔群。

如果：

$\zeta_n\in F,$

那么所有根

$\alpha,\zeta_n\alpha,\ldots,\zeta_n^{n-1}\alpha$

都自动在

$F(\alpha)$

里，所以这一层成为分裂扩张。

同时，因为：

$\zeta_n\in F,$

所有固定 $F$ 的自同构必须满足：

$\sigma(\zeta_n)=\zeta_n.$

于是自同构只能：

$\alpha\mapsto\zeta_n^k\alpha,$

从而产生阿贝尔结构。

所以单位根实际上同时帮了我们两件事：

$\boxed{ \zeta_n\in F }$

使得加入一个根 $\alpha$ 后，其他

$\zeta_n^k\alpha$

也自动进入扩张域——帮助这一层成为分裂/Galois 扩张；

同时它又让所有自同构固定 $\zeta_n$ ——帮助这一层的 Galois 群成为阿贝尔群。

所以你可以这样区分：

$\boxed{ E/F\text{ Galois} \Rightarrow E\text{ 作为整体在固定 }F\text{ 的自同构下保持不变} }$

而

$\boxed{ \text{单位根已在 }F }$

是我们构造特殊的根式 Galois 层时用来保证这一条件、并进一步保证“阿贝尔”的工具。

你刚才这个疑问其实正好触及了后面证明里一个非常容易混淆的点：“Galois”负责稳定中间域，“含单位根”负责让根式层变成特别简单的 Galois 扩张。

13.4 限制映射连接域层和群层

下一步最自然的是把刚才的“中间域 ↔ 正规子群”继续推进一步，证明：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/F)\big/\operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F) }$

但我们不会直接上这个公式。先只做第一步：

$\boxed{\text{什么叫把 }K\text{ 上的自同构“限制”到 }E}$

假设

$F\subset E\subset K,$

并且 $E/F$ 是 Galois。

取一个

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F).$

因为刚才已经知道：

$\sigma(E)=E,$

所以虽然 $\sigma$ 原本是

$\sigma:K\to K,$

我们完全可以只观察它在 $E$ 中的作用：

$\sigma|_E:E\to E.$

这个符号

$\boxed{\sigma|_E}$

读作：

$\sigma$ restricted $to$ $E$ ，即“ $\sigma$ 限制在 $E$ 上”。

例如假设

$K=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3), \qquad E=\mathbb Q(\sqrt2).$

某个自同构 $\sigma$ 可能满足

$\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2, \qquad \sigma(\sqrt3)=-\sqrt3.$

但如果我们只看 $E=\mathbb Q(\sqrt2)$ ，那么 $\sqrt3$ 根本不属于 $E$ ，所以我们不关心它怎么变。

在 $E$ 上，

$\sigma|_E$

就只是：

$\sqrt2\mapsto-\sqrt2.$

因此我们得到一个映射：

$\boxed{ \mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F) \longrightarrow \operatorname{Gal}(E/F) }$

定义为：

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E.$

这里 res 就是 restriction 的缩写。

这一步非常重要，因为接下来我们会问：

哪些 $K$ 上不同的自同构，限制到 $E$ 后会变成同一个自同构？

答案正好是：它们的差别来自那些完全固定 $E$ 的自同构，也就是

$\operatorname{Gal}(K/E).$

于是商群

$\operatorname{Gal}(K/F)/\operatorname{Gal}(K/E)$

就会自然出现。

所以下一步就应该证明这个 restriction map 的核为什么恰好是

$\boxed{\operatorname{Gal}(K/E)}.$

这一步讲清楚以后，商群和中间域那一层 Galois 群的关系就几乎出来了。

13.5 限制映射的核

这里我们先不急着上同构定理，只把一个新概念讲清楚：

$\boxed{\text{restriction map 的核是什么}}$

我们已经有：

$F\subset E\subset K$

并定义：

$G=\operatorname{Gal}(K/F).$

如果 $E/F$ 是 Galois，那么每个

$\sigma\in G$

都会把 $E$ 映回 $E$ ，所以可以限制：

$\sigma|_E:E\to E.$

于是有映射：

$\mathrm{res}:G\to \operatorname{Gal}(E/F),$

定义为：

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E.$

现在问：

哪些 $\sigma\in G$ 经过这个映射以后，变成 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 里的单位元？

先看 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 的单位元是什么。

它就是：

$\operatorname{id}_E,$

也就是在 $E$ 上什么都不做：

$x\mapsto x,\qquad \forall x\in E.$

因此：

$\mathrm{res}(\sigma)=\operatorname{id}_E$

意味着：

$\sigma|_E=\operatorname{id}_E.$

翻译成人话就是：

$\boxed{\sigma(x)=x,\qquad \forall x\in E}$

也就是说：

$\sigma$ 固定整个 $E$ 。

但“所有固定 $E$ 的 $K$ 的自同构”正是：

$\operatorname{Gal}(K/E).$

因此：

$\boxed{ \ker(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(K/E) }$

这里新出现了：

$\boxed{\ker}$

叫做 kernel，核。

一般来说，如果有群同态：

$\varphi:G\to H,$

那么它的核定义为：

$\boxed{ \ker\varphi = \{g\in G:\varphi(g)=e_H\} }$

也就是说：

在映射以后“看起来什么都没做”的那些元素。

所以在我们的例子里：

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F)\to\operatorname{Gal}(E/F),$

一个 $\sigma$ 如果属于核，就说明：

$\sigma|_E=\operatorname{id}_E.$

虽然它在整个 $K$ 上可能不是单位元，但只看 $E$ 时，它完全看不出来。

用具体例子会很清楚。

设：

$K=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3),$

$E=\mathbb Q(\sqrt2),$

$F=\mathbb Q.$

考虑自同构：

$\sigma: \begin{cases} \sqrt2\mapsto\sqrt2\\ \sqrt3\mapsto-\sqrt3 \end{cases}$

它在整个 $K$ 上不是恒等，因为：

$\sqrt3\mapsto-\sqrt3.$

但是限制到 $E$ ：

$E=\mathbb Q(\sqrt2),$

里面没有 $\sqrt3$ 。

而且它固定：

$\sqrt2.$

所以对任何：

$a+b\sqrt2\in E,$

都有：

$\sigma(a+b\sqrt2)=a+b\sqrt2.$

因此：

$\sigma|_E=\operatorname{id}_E.$

所以这个 $\sigma$ 属于：

$\ker(\mathrm{res}).$

而它也确实属于：

$\operatorname{Gal}(K/E),$

因为它固定整个 $E$ 。

于是得到：

$\boxed{ \ker(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(K/E) }$

这个结果非常漂亮，因为“核”在群论里天然是正规子群。

所以我们立刻得到：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/E) \triangleleft \operatorname{Gal}(K/F) }$

这其实又给出了“为什么它是正规子群”的另一种证明方式。

下一步就是利用群论里的第一同构定理：

$G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi.$

代入这里，就会得到：

$\operatorname{Gal}(K/F)/\operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{im}(\mathrm{res}).$

然后我们再解释为什么这个像正好是：

$\operatorname{Gal}(E/F).$

这样就得到我们真正想要的：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/F)/\operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F) }$

13.6 从定义再次验证限制映射的核

原问题：这一步是怎么来的来着

这一步其实非常直接，只是符号容易遮住意思。

我们有：

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F)\to \operatorname{Gal}(E/F),$

定义为：

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E.$

现在“核”的定义是：

$\ker(\mathrm{res}) = \{\sigma\in \operatorname{Gal}(K/F): \mathrm{res}(\sigma)=\operatorname{id}_E\}.$

也就是那些经过限制以后，在 $E$ 上变成恒等映射的 $\sigma$ 。

而

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E,$

所以条件

$\mathrm{res}(\sigma)=\operatorname{id}_E$

等价于：

$\sigma|_E=\operatorname{id}_E.$

再展开，就是：

$\sigma(x)=x,\qquad \forall x\in E.$

也就是说：

$\sigma$ 固定 $E$ 中每一个元素。

但“所有固定 $E$ 的 $K$ -自同构”按定义就是：

$\operatorname{Gal}(K/E).$

因此：

$\boxed{ \ker(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(K/E) }$

所以这一步本质上只是把两个定义接起来：

$\boxed{\text{核}=\text{限制后变成恒等的那些元素}}$

而

$\boxed{\operatorname{Gal}(K/E)=\text{固定整个 }E\text{ 的 }K\text{-自同构}}$

两者描述的是同一批自同构。

13.7 映射的输入元素本身也是映射

原问题：但是这个映射本身是不同同构之间的映射啊

对，你理解得对。这里最容易混的就是“映射的元素本身也是映射”。

我们把层次分开：

$G=\operatorname{Gal}(K/F)$

这是一个群。它的“元素”不是普通数字，而是一个个 $K$ 上的域自同构：

$\sigma:K\to K.$

同样，

$\operatorname{Gal}(E/F)$

也是一个群，它的元素是：

$\tau:E\to E$

这样的域自同构。

现在 res 是一个群同态：

$\boxed{ \mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F) \to \operatorname{Gal}(E/F) }$

它输入一个“映射” $\sigma$ ，输出另一个“映射”：

$\boxed{ \sigma\mapsto\sigma|_E }$

所以确实是：

$\text{映射} \longmapsto \text{映射}.$

而“核”是针对这个群同态 $\operatorname{res}$ 来定义的。

群同态的核，就是所有被送到目标群单位元的元素。

这里目标群是：

$\operatorname{Gal}(E/F).$

它的单位元是什么？

不是数字 $0$ 或 $1$ ，而是：

$\boxed{\operatorname{id}_E}$

也就是在 $E$ 上什么都不做的恒等自同构：

$x\mapsto x.$

所以：

$\ker(\mathrm{res}) = \{\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F): \mathrm{res}(\sigma)=\operatorname{id}_E\}.$

而：

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E.$

因此：

$\sigma|_E=\operatorname{id}_E$

意思就是：

$\sigma(x)=x,\qquad \forall x\in E.$

这恰好就是：

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/E).$

所以：

$\boxed{ \ker(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(K/E) }$

你可以把它理解成两层：

$\boxed{ \text{第一层：}\sigma\text{ 是域之间的映射} }$

$\boxed{ \text{第二层：res 是“这些映射之间”的群同态} }$

而 res 的核，就是那些被它送到“恒等映射” $\operatorname{id}_E$ 的 $\sigma$ 。

13.8 同态、嵌入、同构、自同构及两层映射

原问题：这里主要是几个概念和符号，一会儿用的是同态一会儿又变成了同构，虽然我理解这些意思，但是有的你说的比较快，就不知道你到底在指称什么

这里集中回看已经建立的几种映射类型；群论定义、域映射定义及延拓过程在前文各自出现，本段用于在限制映射上辨认它们。

对，你现在真正卡的不是数学思想，而是**“同一个字母到底代表什么对象、这个映射此刻是什么类型”切换得太快**。后面 Galois 理论里如果不严格区分，确实非常容易乱。

我们先暂停主线，把目前会反复出现的几个词彻底固定下来。以后我第一次引入一个映射时，会先写清楚“从哪里到哪里、是什么类型”，不再直接跳符号。

1. 同态 homomorphism：保持运算的映射

这是最宽泛的概念。

群之间：

$\varphi:G\to H$

如果满足

$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),$

就是群同态。

此时不要求单射，也不要求满射。

例如：

$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$

把整数映成奇偶类，就是群同态，但显然不是单射。

2. 同构 isomorphism：双射的同态

如果

$\varphi:G\to H$

既保持结构，又是双射，那么叫：

$\boxed{\text{同构}}$

于是写：

$G\cong H.$

所以逻辑关系是：

$\boxed{\text{同构}=\text{同态}+\text{双射}}$

例如：

$G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$

这里的 $\cong$ 是说这两个群的结构完全一样，并不是说它们是同一个集合。

3. 嵌入 embedding：单射的同态

如果

$\varphi:E\to K$

保持域的加法、乘法，又是单射，就叫域嵌入。

所以：

$\boxed{\text{嵌入}=\text{同态}+\text{单射}}$

它不要求像覆盖整个目标域 $K$ 。

例如可以有：

$\mathbb Q(\sqrt2)\hookrightarrow\mathbb C.$

它只是把小域“完整地放进”大域。

而我们前面讲过，对于保持 $1$ 的域同态，单射其实自动成立，所以域论里“域同态”和“域嵌入”的距离比群论里小很多。

4. 自同构 automorphism：从自己到自己的同构

如果

$\sigma:K\to K$

既是域同态，又是双射，那么叫：

$\boxed{\text{域自同构}}$

所以：

$\boxed{\text{自同构}=\text{从一个对象到它自己的同构}}$

例如：

$\sigma:\mathbb Q(\sqrt2)\to\mathbb Q(\sqrt2),$

$\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2.$

这就是自同构。

现在把它们放在一张关系图里最清楚：

$\text{同态}$

加上“单射”：

$\Downarrow$

$\text{嵌入}$

加上“满射”：

$\Downarrow$

$\text{同构}$

如果这个同构恰好还是：

$K\to K,$

就叫：

$\text{自同构}.$

所以：

$\boxed{ \begin{array}{c|c} \text{术语}&\text{额外要求}\\ \hline \text{同态}&\text{保持结构}\\ \text{嵌入}&\text{同态+单射}\\ \text{同构}&\text{同态+双射}\\ \text{自同构}&\text{一个对象到自身的同构} \end{array}}$

再把目前 Galois 理论里的“角色”固定下来

我们目前讨论：

$F\subset E\subset K.$

这三个都是域。

这里 $F$ 是最底层基础域， $E$ 是中间域， $K$ 是大域。

然后：

$\operatorname{Gal}(K/F)$

不是一个域，而是一个群。它的元素 $\sigma$ 是：

$\sigma:K\to K$

这样的域自同构，并额外要求：

$\sigma(a)=a,\qquad\forall a\in F.$

所以每次看到

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F),$

你脑子里应该自动展开成：

$\boxed{ \sigma:K\to K \text{ 是域自同构，并且逐点固定 }F }$

然后我们有：

$\operatorname{Gal}(K/E).$

它也是一个群，它的元素仍然是：

$\sigma:K\to K,$

只是要求更严格：

$\sigma(a)=a,\qquad\forall a\in E.$

因为：

$F\subset E,$

固定整个 $E$ 当然也固定 $F$ ，所以：

$\operatorname{Gal}(K/E) \le \operatorname{Gal}(K/F).$

再看刚才的 restriction：

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F) \to \operatorname{Gal}(E/F).$

注意这里 $\operatorname{res}$ 本身是一个群同态。

它输入的是一个：

$\sigma:K\to K$

然后输出：

$\sigma|_E:E\to E.$

所以这里实际上存在“两层映射”：

$\boxed{\sigma\text{ 本身是域自同构}}$

而

$\boxed{\mathrm{res}\text{ 是把一个自同构送到另一个自同构的群同态}}$

这个尤其容易混。

例如：

$\mathrm{res}(\sigma)=\sigma|_E.$

左边的 res 是群之间的映射；

右边的 $\sigma$ 是域之间的映射。

这两个不是同一层次的东西。

还有我们刚才讲延拓时：

$\tau:E\to E$

原本是 $E$ 的自同构。

为了延拓，我们暂时把它看成：

$\tau:E\hookrightarrow\overline F.$

这时候我们强调的是它作为一个域嵌入的身份。

然后延拓得到：

$\widetilde\tau:K\hookrightarrow\overline F.$

最开始只能称为嵌入。

等利用 $K/F$ 的正规性证明：

$\widetilde\tau(K)=K$

以后，它实际上变成：

$\widetilde\tau:K\to K$

而且是双射。

这时候才能升级称为：

$\boxed{\text{自同构}}$

所以这里不是我把“嵌入突然叫成了自同构”，而是我们证明了它的像恰好等于 $K$ ，所以它从“单射同态”升级成了“到自身的双射同态”。

这个过程以后我会明确写成：

$\text{先得到域嵌入 } \widetilde\tau:K\hookrightarrow\overline F$

然后证明：

$\widetilde\tau(K)=K$

所以：

$\text{因此 }\widetilde\tau\in\operatorname{Gal}(K/F).$

这样就不会突然换称呼。

从现在开始，我会在出现新映射时优先给你写成这种格式：

$\boxed{ \mathrm{res}: \underbrace{\operatorname{Gal}(K/F)}_{\text{群}} \longrightarrow \underbrace{\operatorname{Gal}(E/F)}_{\text{群}}, \qquad \sigma\longmapsto\sigma|_E }$

并明确说 $\operatorname{res}$ 是群同态， $\sigma$ 是域自同构。这样后面进入 Galois 基本定理时会清楚很多。

下一步也先不继续证明延拓定理，而应该先把 “同态、核、像、单射、满射、同构”在 restriction map 这一个具体例子里全部对应起来。这样第一同构定理那一段就不会再有符号漂移。

13.9 哪些对象属于群层，哪些属于域层

原问题：哪些是群的概念，哪些是域的概念

可以这样分最清楚：

概念	主要属于哪一层	在我们这里怎么用
群 group	群论	$G,H,\operatorname{Gal}(K/F)$
子群 subgroup	群论	$\operatorname{Gal}(K/E)\le \operatorname{Gal}(K/F)$
正规子群 normal subgroup	群论	$\operatorname{Gal}(K/E)\triangleleft \operatorname{Gal}(K/F)$
商群 quotient group	群论	$G/H$
群同态 homomorphism	群论	$\mathrm{res}:G\to H$
核 kernel	群论里常用，也可用于环/域同态	$\ker(\mathrm{res})$
像 image	一般映射/代数结构都可用	$\operatorname{im}(\mathrm{res})$
同构 isomorphism	群、域等结构都有	$G/H\cong \operatorname{Gal}(E/F)$
域 field	域论	$F,E,K,\mathbb Q$
域扩张 field extension	域论	$F\subset E\subset K$
代数元	域论	$\alpha=\sqrt[3]2$
最小多项式	域论	$m_\alpha(x)$
分裂域	域论	$K$ 包含某多项式全部根
域嵌入 embedding	域论	$\tau:E\hookrightarrow\overline F$
域自同构 automorphism	域论	$\sigma:K\to K$
Galois 群	两者交界	“一群域自同构”组成的群

最容易混的是这几个：

$\boxed{\operatorname{Gal}(K/F)}$

本身是一个群；

但它里面的元素

$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/F)$

是一个域自同构。

再比如

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F)\to\operatorname{Gal}(E/F)$

这里：

res 是群同态；
输入的 $\sigma$ 是域自同构；
输出的 $\sigma\vert _E$ 也是域自同构。

所以这里同时有“群层”和“域层”两层结构。

你可以把整个 Galois 理论暂时看成一句话：

$\boxed{\text{用群论研究域自同构}}$

也就是：

$\text{域} \longrightarrow \text{域自同构} \longrightarrow \text{这些自同构组成群}.$

这样以后看到符号时就先问：现在是在谈域本身，还是在谈这些域自同构组成的群？

13.10 限制映射、核、像与商群的角色逐一对应

好，我们继续，而且我会把“谁是群、谁是域、哪个符号在做什么”摆得更清楚。

现在我们有三层域：

$F\subset E\subset K$

并且假设：

$K/F\text{ 是 Galois},\qquad E/F\text{ 也是 Galois}.$

我们定义两个群：

$G=\operatorname{Gal}(K/F),$

$H=\operatorname{Gal}(K/E).$

这里 $H\subset G$ 。

然后定义限制映射：

$\boxed{ \mathrm{res}:G\longrightarrow \operatorname{Gal}(E/F) }$

规则是：

$\boxed{ \sigma\longmapsto \sigma|_E }$

意思就是：原本 $\sigma$ 作用在整个 $K$ 上，现在只看它在 $E$ 上做了什么。

前面我们已经知道：

$\ker(\mathrm{res})=H=\operatorname{Gal}(K/E).$

也就是说：

那些限制到 $E$ 后什么都不做的 $K$ -自同构，恰好就是固定整个 $E$ 的自同构。

现在只剩一个问题：

$\boxed{\mathrm{res}\text{ 是不是满射？}}$

也就是：

$\operatorname{Gal}(E/F)$ 里的每一个自同构，能不能都从 $K$ 上某个自同构限制下来？

答案是：

$\boxed{\text{能}}$

因为我们刚才讨论的延拓定理告诉我们：任取

$\tau\in\operatorname{Gal}(E/F),$

可以把它延拓成某个

$\widetilde\tau\in\operatorname{Gal}(K/F)$

并且满足：

$\widetilde\tau|_E=\tau.$

所以每个 $\tau$ 都能被 res 命中。

因此：

$\boxed{ \operatorname{im}(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(E/F) }$

于是第一同构定理给出：

$G/\ker(\mathrm{res}) \cong \operatorname{im}(\mathrm{res}).$

把具体对象代进去：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/F)/ \operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F) }$

这个式子非常重要。

它可以读成：

总的 Galois 群，除掉那些“在 $E$ 上完全看不见的变化”，剩下的正好就是 $E/F$ 这一层的 Galois 群。

所以现在“商群”和“中间域的一层扩张”终于完全对应起来了。

下一步就可以把它用在根式塔：

$F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_r$

上，得到反向的群链：

$G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_r,$

然后证明每个商群

$G_i/G_{i+1}$

都是阿贝尔群。

这一步完成以后，我们就真正得到：

$\boxed{\text{根式可解}\Rightarrow \text{Galois 群可解}}$

而且不是靠口号，而是可以看见每一层为什么对应。

13.11 限制映射满射的准确问题

下一步就该解决刚才留下的唯一缺口：

$\boxed{ \operatorname{im}(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(E/F) }$

也就是解释：

$E$ 上每一个固定 $F$ 的自同构，为什么都能“延拓”成 $K$ 上的自同构？

先不要直接上一般定理，我们会先用具体例子：

$F=\mathbb Q,\qquad E=\mathbb Q(\sqrt2),\qquad K=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3).$

在 $E$ 上有一个非平凡自同构：

$\sqrt2\mapsto-\sqrt2.$

我们会先问：

能不能把它扩展到整个 $K$ ？

答案是可以，比如定义：

$\sqrt2\mapsto-\sqrt2, \qquad \sqrt3\mapsto\sqrt3.$

这样就得到 $K$ 上的一个自同构。

然后再理解一般情形里为什么这种“延拓”成立。

一旦这一步完成，我们就得到：

$\operatorname{Gal}(K/F)/ \operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F).$

这就是把商群和中间域那一层扩张真正对应起来的关键公式。

13.12 第一同构定理的陪集证明

例如我们刚才的限制映射

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F)\to\operatorname{Gal}(E/F)$

就是群同态。

为什么？

因为先复合两个自同构再限制到 $E$ ，和先分别限制到 $E$ 再复合，效果相同：

$(\sigma\tau)|_E = (\sigma|_E)(\tau|_E).$

所以：

$\mathrm{res}(\sigma\tau) = \mathrm{res}(\sigma)\mathrm{res}(\tau).$

现在立刻代回 Galois 的情况。

我们有：

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F) \to \operatorname{Gal}(E/F).$

已经知道：

$\ker(\mathrm{res}) = \operatorname{Gal}(K/E).$

所以第一同构定理直接给：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/F)/ \operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{im}(\mathrm{res}) }$

现在只剩最后一个问题：

$\boxed{ \operatorname{im}(\mathrm{res}) \stackrel{?}{=} \operatorname{Gal}(E/F) }$

也就是：

$E$ 上每一个固定 $F$ 的自同构，能不能都从 $K$ 上某个固定 $F$ 的自同构限制下来？

这就是下一步。它涉及 “自同构能否从中间域延拓到整个分裂域”。这一步讲清楚以后，我们才真正得到

$\operatorname{Gal}(K/F)/ \operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F).$

第 13 章：中间域、限制映射和商群公式 ​

13.1 域越大，固定它的自同构越少 ​

13.2 中间域正规时，对应子群为何正规 ​

13.3 域的整体稳定不等于固定每个单位根 ​

13.4 限制映射连接域层和群层 ​

13.5 限制映射的核 ​

13.6 从定义再次验证限制映射的核 ​

13.7 映射的输入元素本身也是映射 ​

13.8 同态、嵌入、同构、自同构及两层映射 ​

1. 同态 homomorphism：保持运算的映射 ​

2. 同构 isomorphism：双射的同态 ​

3. 嵌入 embedding：单射的同态 ​

4. 自同构 automorphism：从自己到自己的同构 ​

再把目前 Galois 理论里的“角色”固定下来 ​

13.9 哪些对象属于群层，哪些属于域层 ​

13.10 限制映射、核、像与商群的角色逐一对应 ​

13.11 限制映射满射的准确问题 ​

13.12 第一同构定理的陪集证明 ​

第 13 章：中间域、限制映射和商群公式

13.1 域越大，固定它的自同构越少

13.2 中间域正规时，对应子群为何正规

13.3 域的整体稳定不等于固定每个单位根

13.4 限制映射连接域层和群层

13.5 限制映射的核

13.6 从定义再次验证限制映射的核

13.7 映射的输入元素本身也是映射

13.8 同态、嵌入、同构、自同构及两层映射

1. 同态 homomorphism：保持运算的映射

2. 同构 isomorphism：双射的同态

3. 嵌入 embedding：单射的同态

4. 自同构 automorphism：从自己到自己的同构

再把目前 Galois 理论里的“角色”固定下来

13.9 哪些对象属于群层，哪些属于域层

13.10 限制映射、核、像与商群的角色逐一对应

13.11 限制映射满射的准确问题

13.12 第一同构定理的陪集证明