伽罗瓦理论笔记

代数与数论 · v4 · 2026-10-05

从置换、域扩张出发，理解方程何时能用根式求解。

阅读方式

网站按章阅读；整篇可下载为离线 HTML、PDF 或 Markdown。公开下载版已移除原始对话链接。

第四版（2026-10-05）：保留第二版的完整证明与追问，统一数学排版，并为 HTML 增加公式 LaTeX 复制工具；HTML 为主要阅读文件，Markdown 为配套源文件。
原始材料：《介绍抽象代数》分享对话。正文覆盖其中 92 段数学回答；4 段关于文档工具与使用方式的讨论另留在原材料中。 $A01$ — $A96$ 是原回答编号，用于核对覆盖情况，不表示本篇阅读顺序。

我的目标是一步步理解一般五次及以上方程为什么没有根式通解。后面问到的基础问题已移到第一次需要它的位置；“原问题”保留我的实际提问，“补充证明”是本版加入的推导。段落中保留的“你”或“我们”来自原解释，它们不被当作我已经独立完成的思考。

阅读顺序是：置换与群 $\to$ 陪集与商群 $\to$ 同态与可解群 $\to$ $A_{5}$ 的障碍 $\to$ 域与嵌入 $\to$ Galois 群与限制映射 $\to$ 根式塔的正规化 $\to$ 一般方程的群 $\to$ 无根式通解。根的重命名、自同构允许的根置换以及一般形式根的任意置换，是不同阶段的概念，正文分别证明它们的联系。

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