第 15 章：完整搭桥：根式可解 ⇒ Galois 群可解

本章对象： $F$ 始终是原基础域； $M_{i}$ 是补大的域， $M$ 是最终的 Galois 大域， $L$ 是原方程的分裂域；返回原方程要用 $\operatorname{Gal}(M/F)$ ，不能漏掉加入单位根的一层。

15.1 为什么要把限制映射用于根式塔

下一步就是把刚才这个 restriction map 用到根式塔上。

我们已经有：

$F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_r$

并且每一步都是一种根式扩张，理想情况下写成：

$F_{i+1}=F_i(\alpha_i), \qquad \alpha_i^{n_i}\in F_i,$

同时相关的单位根已经放进基础层，使每一步都成为 Galois 且其 Galois 群是阿贝尔的。

然后我们取一个足够大的最终 Galois 扩张 $K/F_0$ ，把这些 $F_i$ 都放在 $K$ 里面。

接着定义：

$G_i=\operatorname{Gal}(K/F_i).$

由于域越大，固定它的自同构越少，所以得到反向链：

$\boxed{ G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_r }$

然后利用刚才得到的公式：

$\operatorname{Gal}(K/F_i)/ \operatorname{Gal}(K/F_{i+1}) \cong \operatorname{Gal}(F_{i+1}/F_i),$

也就是：

$\boxed{ G_i/G_{i+1} \cong \operatorname{Gal}(F_{i+1}/F_i) }$

右边因为这一层是根式扩张并且单位根已固定，所以是阿贝尔群。

于是：

$G_i/G_{i+1}$

也是阿贝尔群。

这样就得到一条正规子群链，每一层商群都阿贝尔，于是：

$\boxed{G_0\text{ 是可解群}}$

也就是：

$\boxed{\text{根式可解}\Rightarrow\text{Galois 群可解}}$

所以下一步就是具体把这一条“域塔反向变成群链”的过程写出来并逐层解释。

15.2 条件充分时，把域塔反向翻译为群链

我们先在一个结构最干净的情形下把“域塔 $\to$ 群链”真正看懂；等这一步理解后，再处理一般根式塔里那个技术细节。

假设我们有一串域：

$F_0\subset F_1\subset F_2\subset K$

并且暂时假设：

$K/F_0$

是 Galois 扩张，而且每一层

$F_{i+1}/F_i$

也都是 Galois 扩张。

现在定义三个群：

$G_0=\operatorname{Gal}(K/F_0),$

$G_1=\operatorname{Gal}(K/F_1),$

$G_2=\operatorname{Gal}(K/F_2).$

注意这些群里的自同构，作用的对象始终都是同一个大域 $K$ 。

区别只在于“要求固定多少东西”。

对于 $G_0$ ，只要求固定：

$F_0.$

对于 $G_1$ ，要求固定更大的：

$F_1.$

所以限制更严格，允许的自同构更少：

$G_1\subseteq G_0.$

同理：

$G_2\subseteq G_1.$

所以域链：

$F_0\subset F_1\subset F_2$

会反向变成：

$\boxed{ G_0\supset G_1\supset G_2 }$

这一步应该比较直观。

现在真正关键的是：

$G_0/G_1$

代表什么？

我们刚才已经证明过一般公式：

如果

$F\subset E\subset K$

并且条件合适，那么：

$\operatorname{Gal}(K/F)/ \operatorname{Gal}(K/E) \cong \operatorname{Gal}(E/F).$

现在把：

$F=F_0,\qquad E=F_1$

代进去。

左边就是：

$\operatorname{Gal}(K/F_0)/ \operatorname{Gal}(K/F_1).$

也就是：

$G_0/G_1.$

所以：

$\boxed{ G_0/G_1 \cong \operatorname{Gal}(F_1/F_0) }$

这个式子的直觉是：

$G_0$ 包含所有固定 $F_0$ 的变化；
$G_1$ 是其中那些连 $F_1$ 都完全固定的变化。
把 $G_1$ 这种“在 $F_1$ 上看不见的变化”除掉以后，剩下来的正好就是 $F_1/F_0$ 这一层能够发生的变化。

再看第二层。

同样：

$G_1/G_2 = \operatorname{Gal}(K/F_1)/ \operatorname{Gal}(K/F_2).$

所以：

$\boxed{ G_1/G_2 \cong \operatorname{Gal}(F_2/F_1) }$

因此：

$\boxed{ \begin{array}{ccc} F_0 &\subset& F_1 \subset F_2\\[4pt] &&\\[-10pt] G_0 &\supset& G_1 \supset G_2 \end{array}}$

而且相邻两层满足：

$\boxed{ G_i/G_{i+1} \cong \operatorname{Gal}(F_{i+1}/F_i) }$

这就是整个桥。

现在把“根式”放进来。

假设第一层是：

$F_1=F_0(\alpha_0),$

其中

$\alpha_0^{n_0}\in F_0,$

并且 $F_0$ 已经含有相应的 $n_0$ 次单位根。

我们前面已经知道，这时候：

$\operatorname{Gal}(F_1/F_0)$

是阿贝尔群。

于是根据：

$G_0/G_1 \cong \operatorname{Gal}(F_1/F_0),$

立即得到：

$\boxed{G_0/G_1\text{ 是阿贝尔群}}.$

同理，如果：

$F_2=F_1(\alpha_1), \qquad \alpha_1^{n_1}\in F_1,$

并且需要的单位根已经在 $F_1$ 中，那么：

$\operatorname{Gal}(F_2/F_1)$

也是阿贝尔群。

于是：

$\boxed{G_1/G_2\text{ 是阿贝尔群}}.$

继续下去就得到：

$G_0\supset G_1\supset G_2\supset\cdots$

其中：

$\boxed{ G_i/G_{i+1}\text{ 全部是阿贝尔群} }$

而这正是“可解群”所要求的结构。

所以现在已经能看到整个证明的骨架：

$\boxed{ \text{根式塔中的每一层是阿贝尔 Galois 扩张} }$

通过 Galois 对应变成：

$\boxed{ \text{Galois 群的一层层正规子群，且相邻商群阿贝尔} }$

于是总 Galois 群可解。

不过这里我刚才特意说了“结构最干净的情形”。因为一般的根式表达式产生的最顶层域，未必自动就是 $F_0$ 上的 Galois 扩张，所以不能不加说明就直接把它叫作 $K$ 。

下一步应该补这个技术缺口：为什么证明一般的“根式可解 $\Rightarrow$ Galois 群可解”时，要把根式塔适当扩大成一个 Galois 的大域。 这一步补完以后，这个方向的证明才真正严密。

补充完整构造：从原根式塔到对原基础域 Galois 的大域

这是证明中不能略过的部分。把原基础域始终记为 $F$ ，不因加入单位根而改名。原塔为 $F=F_{0}\subseteq \ldots \subseteq F_{r}$ ，其中 $F_{i+1}=F_{i}(\alpha _{i})$ ， $\alpha_i^{n_i}=a_i\in F_i$ 。取 $N$ 为所有 $n_{i}$ 的最小公倍数，在同一个代数闭包内取 $M_0=F(\mu_N)$ 。

$M_{0}$ 是 $x$ ᴺ−1 在 $F$ 上的分裂域，所以 $M_{0}/F$ 是 Galois。任意 $F$ 自同构把 $\zeta _N$ 送到某个同阶根 $\zeta _N^{k}$ ，其中 $k$ 与 $N$ 互素。自同构由 $\zeta _N$ 的像决定；复合对应指数相乘模 $N$ ，所以

$\operatorname{Gal}(M_0/F)\hookrightarrow(\mathbb Z/N\mathbb Z)^\times.$

右端是模 $N$ 的可逆剩余类在乘法下组成的群，乘法交换，故左端阿贝尔。 $N=1$ 的情形 $M_{0}=F$ ，群平凡。于是“加入单位根”这一层也被纳入对原基础域的可解性证明。

归纳假设 $M_{i}/F$ 是有限 Galois 扩张，且 $F_{i}\subseteq M_{i}$ 。令 $A_{i}={\sigma (a_{i}):\sigma \in \operatorname{Gal}(M_{i}/F)}$ ，这是一个有限集合。定义 $M_{i+1}$ 为在 $M_{i}$ 上加入所有 $x^{n_i}-b$ （ $b\in A_{i}$ ）的全部根所得的域。恒等自同构给出 $b=a_{i}$ ，因此原先的 $\alpha _{i}$ 也在其中， $F_{i+1}\subseteq M_{i+1}$ 。

由于 $\mu_{n_i}$ $\subseteq M_{0}\subseteq M_{i}$ ，对每个非零 $b$ 只需选一个根 $\beta_b$ ，其他根都是单位根倍数； $M_{i+1}/M_{i}$ 是这些多项式的分裂域，所以 Galois，且其群嵌入 $\mu_{n_i}$ 的有限直积，因此阿贝尔。

还必须证明 $M_{i+1}/F$ 整体正规。任取固定 $F$ 的嵌入 $\tau :M_{i+1}\to \Omega$ 。因 $M_{i}/F$ 正规， $\tau (M_{i})=M_{i}$ ，且 $\tau$ | $M_{i}$ 是 $M_{i}$ 的 $F$ 自同构。它把集合 $A_{i}$ 置换回自身；若 $\beta^{n_i}=b\in A_i$ ，则 $\tau(\beta)^{n_i}=\tau(b)\in A_i$ ，所以 $\tau (\beta )$ 也是已经加入的根。这使所有生成元都回到 $M_{i+1}$ ，故 $\tau (M_{i+1})\subseteq M_{i+1}$ ；有限维数给出等号。于是 $M_{i+1}/F$ 正规，特征 0 保证可分，故 Galois。归纳完成。

最后得到 $F\subseteq M_{0}\subseteq \ldots \subseteq M_{r}=M$ ， $M/F$ Galois， $M_{0}/F$ 的群阿贝尔，且每层 $M_{i+1}/M_{i}$ 的群阿贝尔。令 $H_{-1}=\operatorname{Gal}(M/F)$ ， $H_{i}=\operatorname{Gal}(M/M_{i})$ ，则

$H_{-1}\triangleright H_0\triangleright H_1 \triangleright\cdots\triangleright H_r=\{e\}, \quad H_{-1}/H_0\cong\operatorname{Gal}(M_0/F), \quad H_i/H_{i+1}\cong\operatorname{Gal}(M_{i+1}/M_i).$

限制映射与第一同构定理使每个相邻商群阿贝尔，所以 $\operatorname{Gal}(M/F)$ 可解。这里始终固定原来的 $F$ ，已经避免了原对话中“把底层扩大成 $E_{0}$ ，然后直接返回原 $F_{0}$ 的群”的缺口。

若 $L$ 是原多项式的分裂域且 $L\subseteq F_{r}\subseteq M$ ，则 $L/F$ Galois，限制映射 $\operatorname{Gal}(M/F)\to \operatorname{Gal}(L/F)$ 满射，核是 $\operatorname{Gal}(M/L)$ 。所以 $\operatorname{Gal}(L/F)$ 是可解群的商群，仍可解。即使只知道一个根在根式塔中，正规的大域 $M$ 也包含该根的所有 $F$ 共轭；对不可约原多项式，这就包含全部根。

15.4 根式可解推出群可解：主链合流

原问题：好吧，那继续吧

现在我们把前面已经建立的东西真正拼起来，证明这个方向：

$\boxed{\text{根式可解}\Longrightarrow\text{Galois 群可解}}$

先把原方程记成

$f(x)\in F_0[x].$

假设它可以用根式求解。意思是：存在一座根式塔，最终能够容纳 $f(x)$ 的全部根。

经过我们前面讨论的“加入必要单位根、补齐共轭”的处理，可以把它整理成一座更大的塔：

$E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_r=M,$

其中 $M/E_0$ 是 Galois，并且每一步仍然由根式产生。

现在对这座塔反向定义：

$G_i=\operatorname{Gal}(M/E_i).$

于是：

$G_0=\operatorname{Gal}(M/E_0),$

而最顶部因为

$E_r=M,$

所以

$G_r=\operatorname{Gal}(M/M)=\{e\}.$

因此得到群链：

$\boxed{ G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_r=\{e\} }$

注意方向反过来了：域越大，需要固定的东西越多，因此允许的自同构越少。

现在看相邻两层：

$E_i\subset E_{i+1}.$

前面已经建立过：

$\boxed{ G_i/G_{i+1} \cong \operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i) }$

在我们整理好的根式塔中，每一层都是由若干根式产生，而且相关单位根已经在 $E_i$ 里面。

所以这一层的自同构只能对这些新加入的根式做类似

$\alpha\mapsto\zeta_n^k\alpha$

的变化。

因此：

$\operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i)$

是阿贝尔群。

于是通过上面的同构：

$\boxed{G_i/G_{i+1}\text{ 也是阿贝尔群}}$

对每个 $i$ 都成立。

所以我们得到了：

$G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_r=\{e\},$

而且：

$G_i/G_{i+1}$

每一层都是阿贝尔群。

这恰好就是“可解群”的定义。

因此：

$\boxed{G_0\text{ 是可解群}}.$

但这里还有最后一个小问题。

我们真正关心的并不一定是这个较大的

$G_0=\operatorname{Gal}(M/E_0),$

而是原方程 $f(x)$ 的 Galois 群。

设 $L$ 是 $f(x)$ 的分裂域，那么：

$L\subset M.$

原方程的 Galois 群是：

$\operatorname{Gal}(L/F_0).$

这里必须使用固定原基础域 $F_{0}$ 的大群 $\operatorname{Gal}(M/F_{0})$ 。如果 $E_{0}$ 已加入单位根，不能直接把原方程的群当作 $\operatorname{Gal}(M/E_{0})$ 的商群。上一节完整构造已证明 $\operatorname{Gal}(M/F_{0})$ 可解；限制到 $L$ 后，原方程的群才是它的商群。

而：

$\boxed{\text{可解群的商群仍然可解}}$

所以原方程的 Galois 群也必须可解。

最终得到：

$\boxed{ f(x)\text{ 可以用根式求解} \Longrightarrow \operatorname{Gal}(f/F_0)\text{ 是可解群} }$

这就是我们真正需要的方向。

现在距离“五次方程为什么没有一般根式公式”已经很近了。

接下来最自然的是把这个结论应用到一般五次方程：

$x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0.$

我们需要理解为什么它的“通用 Galois 群”是

$\boxed{S_5},$

然后利用我们之前已经证明的：

$S_5\text{ 不可解},$

推出：

$\boxed{\text{一般五次方程不可能有根式通解}}.$

这一步会把前面学的所有东西真正合流。

15.5 追问证明在哪里建立：核查当时的两处缺口

原问题：这是哪里建立的

这段追问保留了我检查证明是否真正成立的过程。原讨论发现的缺口在本版前文已经补证，下面的检查用于辨认哪些步骤不能一句话带过。

我们是在刚才“根式塔 $\to$ 群链”那几步里建立的，不过严格说，我们已经把证明骨架搭出来了，但还有两个技术性小结论没有完全证明，所以我刚才说“已经建立”稍微快了一点。

完整逻辑是这样的：

$\boxed{\text{方程能用根式解}}$

首先被翻译成存在一座根式塔：

$F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_r,$

其中每一步

$F_{i+1}=F_i(\alpha_i), \qquad \alpha_i^{n_i}\in F_i.$

也就是每一步只增加一次“开根”。

然后我们讨论了为什么要加入必要的单位根，并把塔补大，使最终可以放进一个 Galois 的根式扩张：

$E_0\subset E_1\subset\cdots\subset E_r=M.$

对于整理好的每一层：

$E_{i+1}/E_i,$

因为相应单位根已经固定，所以自同构只能类似于

$\alpha\mapsto\zeta_n^k\alpha.$

于是这一层的 Galois 群是阿贝尔群：

$\boxed{\operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i)\text{ 阿贝尔}}.$

然后我们定义：

$G_i=\operatorname{Gal}(M/E_i).$

域越大，固定它的自同构越少，所以得到反向链：

$G_0\supset G_1\supset\cdots\supset G_r=\{e\}.$

接着利用我们之前讲的 restriction map + 第一同构定理：

$\boxed{ G_i/G_{i+1} \cong \operatorname{Gal}(E_{i+1}/E_i) }$

所以每一个商群

$G_i/G_{i+1}$

都是阿贝尔群。

因此：

$G_0\supset G_1\supset\cdots\supset\{e\}$

就是一条“相邻商群全是阿贝尔群”的正规子群链。

而这正是：

$\boxed{G_0\text{ 是可解群}}$

的定义。

最后，原多项式的分裂域 $L$ 包含在这个更大的 $M$ 中，因此原多项式的 Galois 群

$\operatorname{Gal}(L/F_0)$

可以从这个较大的可解 Galois 群得到；于是它也可解。

所以整条链是：

$\boxed{ \begin{aligned} \text{根式可解} &\Rightarrow \text{存在根式塔}\\ &\Rightarrow \text{可补成 Galois 根式塔}\\ &\Rightarrow \text{每一层 Galois 群阿贝尔}\\ &\Rightarrow \text{总 Galois 群有阿贝尔商群链}\\ &\Rightarrow \text{总 Galois 群可解}\\ &\Rightarrow \text{原方程的 Galois 群可解}. \end{aligned}}$