数学笔记

切换深浅主题

第 2 章：置换与群：循环、复合和换位 ​

本章对象：S_{n} 是 n 个对象上的置换群；e 是恒等置换，\sigma \tau 先作用 \tau 再作用 \sigma。

2.1 置换的复合、单位元和逆：群的定义 ​

我们现在正式进入抽象代数的第一个核心概念：群（group）。

但先不背定义。先看为什么“群”会自然出现。

第二步：为什么置换会形成“群”？ ​

上一节我们有三个根：

r_1,r_2,r_3.

考虑两个操作。

第一个操作 \sigma：

r_1\leftrightarrow r_2,\qquad r_3\text{ 不动}.

也就是

\sigma: \begin{cases} r_1\mapsto r_2\\ r_2\mapsto r_1\\ r_3\mapsto r_3 \end{cases}

再考虑另一个操作 \tau：

r_2\leftrightarrow r_3,\qquad r_1\text{ 不动}.

即

\tau: \begin{cases} r_1\mapsto r_1\\ r_2\mapsto r_3\\ r_3\mapsto r_2 \end{cases}

现在问题来了：

如果我先做 \tau，再做 \sigma，结果是什么？

这就是“两个置换的复合”。

1. 先做 τ，再做 σ ​

我们逐个跟踪。

对 r₁ ​

先做 \tau：

r_1\mapsto r_1.

再做 \sigma：

r_1\mapsto r_2.

所以最终：

r_1\mapsto r_2.
对 r₂ ​

先做 \tau：

r_2\mapsto r_3.

再做 \sigma：

r_3\mapsto r_3.

所以：

r_2\mapsto r_3.
对 r₃ ​

先做 \tau：

r_3\mapsto r_2.

再做 \sigma：

r_2\mapsto r_1.

所以：

r_3\mapsto r_1.

最终得到：

r_1\mapsto r_2,\qquad r_2\mapsto r_3,\qquad r_3\mapsto r_1.

这是一个新的置换。

可以写成：

\sigma\tau.

注意传统约定：

\sigma\tau

通常表示：

先做 \tau，再做 \sigma。

和函数复合一样：

(\sigma\circ\tau)(x)=\sigma(\tau(x)).

第一个重要现象：做完还是置换 ​

我们从两个置换出发：

\sigma,\tau.

把它们连续做，得到的东西仍然是一个置换。

不会突然得到“半个置换”或者某种不在系统里的对象。

这叫：

\boxed{\text{封闭性}}

英文：

closure

也就是：

如果

a,b\in G,

那么

ab\in G.

第二个现象：有一个“什么都不做”的操作 ​

考虑一个置换 e：

r_1\mapsto r_1,\qquad r_2\mapsto r_2,\qquad r_3\mapsto r_3.

什么都没变。

这叫：

\boxed{\text{恒等置换}}

英文：

identity permutation

记作：

e.

它满足：

e\sigma=\sigma e=\sigma.

就像普通数字里：

1\times a=a\times1=a.

所以群里也需要一个“1”一样的东西。

这叫：

\boxed{\text{单位元}}

或

\boxed{\text{恒等元}}

英文：

identity element

第三个现象：每个操作都能撤销 ​

比如：

\sigma: r_1\leftrightarrow r_2.

做一次以后 r_1,r_2 换了。

再做一次：

r_1\leftrightarrow r_2

又换回来。

所以：

\sigma\sigma=e.

因此：

\sigma^{-1}=\sigma.

这里的

\sigma^{-1}

叫 \sigma 的逆。

它满足：

\sigma\sigma^{-1} = \sigma^{-1}\sigma = e.

这叫：

\boxed{\text{逆元}}

英文：

inverse

不过不是所有置换都等于自己的逆。

例如：

\rho: r_1\mapsto r_2,\quad r_2\mapsto r_3,\quad r_3\mapsto r_1.

这是一个三循环。

做一次：

1\to2\to3\to1.

它的逆就是反方向：

1\to3\to2\to1.

所以：

\rho^{-1}\neq \rho.

第四个现象：三个操作连续做时，括号怎么放不重要 ​

假设有三个置换：

\sigma,\tau,\rho.

那么：

(\sigma\tau)\rho

和

\sigma(\tau\rho)

结果一样。

为什么？

因为它们本质上都是：

先做 \rho，再做 \tau，最后做 \sigma。

区别只在于你“先把哪两个看成一组”。

数学上写成：

(\sigma\tau)\rho = \sigma(\tau\rho).

这叫：

\boxed{\text{结合律}}

英文：

associativity

现在群的定义自然出现了 ​

一个集合 G，如果里面的元素有一种运算，满足：

\boxed{ \begin{aligned} 1.&\ \text{封闭}\\ 2.&\ \text{结合律}\\ 3.&\ \text{有单位元}\\ 4.&\ \text{每个元素都有逆元} \end{aligned} }

那么 G 就叫一个：

\boxed{\text{群}}

英文：

\boxed{\text{group}}

所以并不是数学家凭空发明了四条奇怪公理。

恰恰相反：

这四条性质正是“可组合、可撤销的对称操作”天然具有的性质。

S₃ 就是一个群 ​

三个对象所有置换组成：

S_3.

共有：

3!=6

个元素。

我们可以写成：

S_3= \{ e,\, (12),\, (13),\, (23),\, (123),\, (132) \}.

这些括号是什么意思，我们下一步会仔细讲。

例如：

(12)

表示：

1\leftrightarrow2,

而 3 不动。

(123)

表示：

1\to2,\qquad 2\to3,\qquad 3\to1.

这里先记住一个非常重要的思想：

\boxed{\text{群研究的不是“东西本身”，而是“允许怎样操作这些东西”}}

这就是为什么群会在 Galois 理论里出现。

对于一个方程，我们最终不主要研究：

r_1,r_2,\ldots,r_n

本身长什么样，而研究：

\boxed{\text{哪些根可以互换，而所有已知代数关系仍保持不变}}

这些允许的交换会形成一个群。

而这个群，就是后来所谓的 Galois 群。

不过现在还没资格定义它。

下一步我建议先讲一个非常具体而重要的东西：

\boxed{\text{置换的循环记号，以及怎样计算两个置换的乘积}}

因为如果连 S_3、S_4、S_5 里的元素都不会算，后面“S_5 为什么不可解”会完全失去直觉。

2.2 置换群这个具体模型 ​

原问题：现在讨论的都是这种置换群对吧

对，目前我们讲的群，全部都是从“置换”这个具体例子出发的。

更准确地说：

S_n

本身就是一个置换群，因为它的元素都是对 n 个对象的置换。

而

A_n

也是置换群，因为它只是从 S_n 中挑出了所有偶置换。

但要注意：

“群”这个概念远远不只包括置换群。

比如整数在加法下：

(\mathbb Z,+)

也是群。

因为有封闭性、结合律、单位元 0、每个整数 a 都有逆元 -a。

还有非零实数在乘法下：

(\mathbb R^\times,\cdot)

也是群。

所以现在的学习顺序其实是：

\text{具体的置换} \rightarrow \text{发现群的四条规律} \rightarrow \text{抽象出“群”}

我们暂时一直用置换群，是因为它和后面的方程根最直接相关，而且最容易看见“对称性”。

以后讲到 Galois 群时，仍然会回到置换：

\boxed{\text{Galois 群本质上就是根之间允许发生的某些置换}}

只是到那时，这些置换会受到“必须保持代数关系”的限制。

所以目前你可以先把：

\boxed{\text{群}}

理解成一个更抽象的大概念，而

\boxed{\text{置换群}}

是群里面特别重要的一类。

2.3 循环记号、乘法顺序与非交换性 ​

第三步：置换的循环记号到底是什么意思？ ​

我们还是从三个对象开始：

1,2,3.

假设有一个置换：

1\mapsto2,\qquad 2\mapsto3,\qquad 3\mapsto1.

我们把它写成：

(123).

这个记号的意思不是一个三位数，而是：

1\to2,\quad 2\to3,\quad 3\to1.

因为最后 3 又回到 1，所以叫一个 cycle，循环。

1. 为什么 (123) 和 (231) 是同一个置换？ ​

看：

(123): 1\to2,\ 2\to3,\ 3\to1.

而

(231): 2\to3,\ 3\to1,\ 1\to2.

完全一样。

所以：

(123)=(231)=(312).

只是从循环里的不同位置开始写。

但是：

(132)

就不同了。

它表示：

1\to3,\quad 3\to2,\quad 2\to1.

它恰好是 (123) 的反方向。

因此：

(123)^{-1}=(132).

2. 二循环：(12) ​

(12)

表示：

1\to2,\qquad 2\to1,

其他元素不动。

这种只交换两个元素的置换叫：

\boxed{\text{transposition，换位}}

所以：

(12),\ (13),\ (23)

都是换位。

而且换位有一个简单性质：

(12)^2=e.

因为交换两次就回去了。

3. 为什么一个置换可以拆成几个循环？ ​

考虑四个元素：

1,2,3,4.

假设某个置换是：

1\leftrightarrow2,

同时：

3\leftrightarrow4.

我们就写成：

(12)(34).

这表示：

1\to2,\quad 2\to1,

以及：

3\to4,\quad 4\to3.

因为这两个循环涉及的元素完全不同，所以叫：

\boxed{\text{不相交循环}}

disjoint cycles。

4. 不相交循环为什么可以交换顺序？ ​

比如：

(12)(34).

你可以先做 (34)，再做 (12)。

也可以先做 (12)，再做 (34)。

因为它们操作的是不同元素，所以：

(12)(34)=(34)(12).

这是一个很特殊的现象。

注意：

一般来说，置换乘法并不满足交换律。

也就是说通常：

\sigma\tau\neq\tau\sigma.

5. 来算一个真正的例子 ​

考虑：

(12)(23).

按照约定：

(12)(23)

表示：

先做右边的 (23)，再做左边的 (12)。

逐个追踪。

对 1：

先做 (23)：

1\to1.

再做 (12)：

1\to2.

所以：

1\to2.

对 2：

先做 (23)：

2\to3.

再做 (12)：

3\to3.

所以：

2\to3.

对 3：

先做 (23)：

3\to2.

再做 (12)：

2\to1.

所以：

3\to1.

因此：

(12)(23)=(123).

6. 反过来算 ​

现在算：

(23)(12).

还是先做右边的 (12)。

对 1：

1\to2\to3.

所以：

1\to3.

对 3：

3\to3\to2.

所以：

3\to2.

对 2：

2\to1\to1.

所以：

2\to1.

因此：

(23)(12)=(132).

于是：

(12)(23)\neq(23)(12).

具体就是：

(123)\neq(132).

这说明：

\boxed{S_3\text{不是交换群}}

7. 什么叫交换群？ ​

如果一个群 G 中对所有 a,b 都有：

ab=ba,

那么这个群叫：

\boxed{\text{Abelian group，阿贝尔群}}

中文也叫：

\boxed{\text{交换群}}

例如整数加法：

3+5=5+3.

所以：

(\mathbb Z,+)

是阿贝尔群。

但：

S_3

不是。

8. 为什么“非交换”以后会非常重要？ ​

因为一般五次方程的障碍，最终就和某些群的复杂非交换结构有关。

但不是简单地说：

\text{非交换}\Rightarrow\text{不能根式解}.

这不对。

因为三次、四次方程的 Galois 群也可能非交换，但仍然有根式公式。

真正关键的是更精细的概念：

\boxed{\text{可解群 solvable group}}

后面我们会看到：

  • S_2 可解；
  • S_3 可解；
  • S_4 可解；
  • S_5 不可解。

而“一般 n 次方程能否根式求解”最终就跟这个有关。

9. 还差一个重要事实：所有置换都可以拆成换位 ​

例如：

(123)

可以写成：

(123)=(12)(23).

一个更长的循环：

(1234)

可以写成：

(14)(13)(12),

或者用另一套等价分解。

一般地：

(a_1a_2\cdots a_k)

总能拆成若干个换位。

这意味着：

\boxed{\text{所有置换都可以由“交换两个元素”构造出来}}

这个事实之后会引出一个非常重要的概念：

\boxed{\text{奇置换和偶置换}}

然后会自然得到：

A_n

也就是交错群 alternating group。

而最终五次方程理论中最核心的怪物之一就是：

A_5.

因为：

\boxed{A_5\text{是最小的非交换单群}}

这正是 S_5 不可解的核心原因之一。

所以，下一步我们就讲：

\boxed{\text{为什么“换位个数的奇偶性”居然是一个不变量}}

这一步非常关键，因为它会第一次把我们带到 A_5。

2.4 为什么任意置换都可写成不相交循环 ​

原问题：置换群为什么都可以写成括号形式貌似没解释

对，这一块前面确实跳过去了。更准确地说，不是“置换群本身写成括号”，而是：

\boxed{\text{置换群里的每一个置换，都可以写成若干个循环的乘积}}

这些循环就是我们一直写的：

(123),\quad (12)(34)

这种括号形式。

关键问题就是：为什么任意置换都一定能这么写？

先看一个具体置换。假设对集合

\{1,2,3,4,5,6\}

有置换 \sigma：

1\mapsto 3,\quad 3\mapsto 5,\quad 5\mapsto 1,

同时

2\mapsto4,\quad 4\mapsto2,

以及

6\mapsto6.

我们从 1 开始追踪：

1\to3\to5\to1.

它回到了起点，所以这一部分可以写成：

(135).

再找一个还没出现过的元素，比如 2：

2\to4\to2.

所以：

(24).

最后：

6\to6.

理论上可以写成：

(6),

但长度为 1 的循环通常省略。

因此整个置换写成：

\boxed{\sigma=(135)(24)}.

这里其实已经透露了证明的方法。

为什么一定会“绕回来”？

设我们有有限集合：

\{1,2,\ldots,n\}

和一个置换 \sigma。

所谓置换，本质上是这个集合到自身的双射：

\sigma:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}.

现在任选一个元素，比如 a，不断作用 \sigma：

a,\quad \sigma(a),\quad \sigma^2(a),\quad \sigma^3(a),\ldots

因为一共只有有限个元素，所以这个序列不可能永远出现全新的元素。

迟早会有重复。

假设第一次发生重复时：

\sigma^r(a)=\sigma^s(a),\qquad r<s.

由于 \sigma 是双射，所以有逆：

\sigma^{-r}.

两边同时作用 \sigma^{-r}，得到：

a=\sigma^{s-r}(a).

所以从 a 一直追踪，最终一定回到 a。

于是得到一个循环：

a\to \sigma(a)\to\sigma^2(a)\to\cdots\to a.

因此可以写成：

\boxed{(a,\sigma(a),\sigma^2(a),\ldots)}.

这就是循环为什么必然出现。

还有一个问题：

会不会从另一个元素出发，追踪一会儿，然后“撞进”刚才那个循环？

例如已经有：

1\to3\to5\to1.

有没有可能另一个元素 2 满足：

2\to3?

不可能。

因为如果：

1\to3

同时：

2\to3,

那就有两个不同元素都映到 3。

这违反了置换是一一对应（injective）。

所以：

\boxed{\text{不同的循环要么完全相同，要么完全不相交}}

因此，我们可以这样构造任意置换的循环分解：

先随便取一个元素，比如 1，不断作用 \sigma，直到回到 1，得到第一个循环。

然后找一个没出现在第一个循环里的元素，再重复，得到第二个循环。

继续下去。

因为元素只有有限多个，这个过程最终结束。

于是任意置换都可以写成：

\boxed{ \sigma=C_1C_2\cdots C_k }

其中每个 C_i 都是一个循环，而且这些循环彼此不相交。

举一个完整例子。

假设：

\sigma: \begin{cases} 1\mapsto4\\ 4\mapsto2\\ 2\mapsto1\\ 3\mapsto6\\ 6\mapsto3\\ 5\mapsto5 \end{cases}

从 1 开始：

1\to4\to2\to1,

所以得到：

(142).

再取还没用过的 3：

3\to6\to3,

得到：

(36).

5 不动：

5\to5.

所以整个置换：

\boxed{\sigma=(142)(36)}

固定点 5 被省略了。

如果你愿意完整写，也可以写：

(142)(36)(5),

只是数学上通常不这么写。

这里还有一个很重要的结论：

\boxed{\text{任意置换的“不相交循环分解”在循环顺序意义下是唯一的}}

例如：

(142)(36)

和

(36)(142)

是同一个置换，因为两个循环不相交。

而：

(142)=(421)=(214)

也是同一个循环，因为只是换了起点。

除了这些写法上的变化，循环结构本身是确定的。

所以我们才可以很自然地讨论一个置换“有一个 3-循环、一个 2-循环”等结构。

最后再补一句，避免一个常见混淆：

(123)(45)

不是说“先把整个群拆成括号”。

而是说某一个具体置换 \sigma 的作用可以描述为：

1\to2\to3\to1

以及

4\leftrightarrow5.

所以：

\boxed{\text{括号记号描述的是单个置换的循环结构}}

而一个置换群，则是很多这样的置换组成的集合。

比如：

S_3= \{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}.

下一步如果继续，我建议顺着这里再证明一个前面用过但还没有真正证明的结论：

\boxed{\text{为什么每一个循环都能拆成换位}}

从而得到：

\boxed{\text{任意置换都能拆成换位}}

这样之前“奇置换/偶置换”的基础就彻底补齐了。

2.5 把循环拆成换位：原问题所需的连接 ​

下一步我建议先把前面一个基础缺口彻底补上：

\boxed{\text{为什么任意一个循环都能拆成若干个换位}}

也就是证明

(a_1a_2\cdots a_k)

一定可以写成 k-1 个二循环（换位）的乘积。

例如：

(1234)

为什么可以写成

(14)(13)(12).

这一步补完以后，我们就能严密串起：

\text{任意置换} \to \text{不相交循环分解} \to \text{每个循环拆成换位} \to \text{任意置换拆成换位} \to \text{奇偶置换} \to A_n.

这样之前关于 A_n 的基础就完整了，然后再回到：

\text{正规子群}\to\text{商群}\to\text{可解群}.

所以下一步就只证明“一个循环为什么可以拆成换位”，不再往后跳。

补充证明：循环分解与换位分解 ​

本节的元素是有限集合 {1,\ldots ,n} 上的双射；乘积 \sigma \tau 表示先做 \tau，再做 \sigma。

任选尚未处理的元素 a_{1}，反复作用 \sigma。由于集合有限，一定会重复。第一次重复必然回到 a_{1}：若先重复在 a_{j}，且 j>1，\sigma 的单射性会让它前面的两个元素也相同，与“第一次重复”矛盾。因此得到一个循环。再从这个循环外选元素重复操作；这些循环彼此不相交，且最终覆盖所有元素。这证明任意置换都能分解为不相交循环。若两个循环不相交，则对任意元素，至多一个循环改变它，故两循环复合的先后顺序无关。

对 k\geq 2，换位分解为

(a_1a_2\cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2).

逐个检查：a_{1} 先被最右换位送到 a_{2}，其余换位不动 a_{2}；对 2\leq j<k，先做的换位不动 a_{j}，随后 (a_{1}a_{j}) 把它送到 a_{1}，紧接着 (a_{1}a_{j+1}) 把它送到 a_{j+1}，余下换位不动它；a_{k} 最后被 (a_{1}a_{k}) 送到 a_{1}。循环外的元素都不动。这与左端对每个元素的作用完全一致，故等式成立。结合不相交循环分解，任意置换都能拆成换位。原对话提出了这个证明任务，但没有把上述逐元素验证写完，这里补齐。

保留每一次追问，认真走完每一步证明。

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