第 6 章：群同态、核、像和第一同构定理

本章对象： $\varphi :G\to H$ 是群同态； $e_G$ 、 $e_H$ 是不同群的单位元； $N=\ker$ $\varphi$ 。这里的核属于群论。

本节先定义：群同态、核、像和同构

设 $G$ 、 $H$ 是群，其单位元分别为 $e_G$ 、 $e_H$ 。群同态 $\varphi :G\to H$ 满足 $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ 。由 $\varphi (e_G)=\varphi (e_G)^{2}$ 可得 $\varphi (e_G)=e_H$ ；再由 $\varphi (a)\varphi (a^{-1})=e_H$ ，得到 $\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$ 。

核 $\ker$ $\varphi$ 是映到 $e_H$ 的元素组成的集合，像 $\operatorname{im}$ $\varphi$ 是实际可以达到的元素组成的集合。两者都是子群：核内两元素的 $ab^{-1}$ 仍映到 $e_H$ ；像内 $\varphi (a)\varphi (b)^{-1}=\varphi (ab^{-1})$ 仍在像中。对 $n\in \ker$ $\varphi$ 、 $g\in G$ ，

$\varphi(gng^{-1})=\varphi(g)e_H\varphi(g)^{-1}=e_H,$

所以 $\ker$ $\varphi \triangleleft G$ 。单射表示不同输入得到不同输出，满射表示每个目标元素都能达到；双射的群同态称为群同构。符号 $\cong$ 表示结构同构，不要求两个群的元素是同一种对象。

补充证明：第一同构定理的完整检查

令 $N=\ker\varphi$ 。原映射 $\varphi:G\to H$ 的输入是群元素；下面的新映射 $\Phi$ 的输入是陪集。核已经证明为正规子群，所以商群 $G/N$ 有定义。

第一步：定义新映射。

$\Phi:G/N\longrightarrow\operatorname{im}\varphi, \qquad \Phi(gN)=\varphi(g).$

第二步：检查良定义。 若 $gN=g'N$ ，则存在 $n\in N$ 使 $g'=gn$ 。因为 $\varphi(n)=e_H$ ，有

$\varphi(g')=\varphi(g)\varphi(n)=\varphi(g).$

所以同一陪集选用不同代表元时，得到同一个像。

第三步：检查单射。 若 $\varphi(g)=\varphi(g')$ ，则

$\varphi(g^{-1}g')=\varphi(g)^{-1}\varphi(g')=e_H.$

因此 $g^{-1}g'\in N$ ，从而 $gN=g'N$ 。也就是说，相同输出只能来自同一陪集。

第四步：检查满射。 目标取为 $\operatorname{im}\varphi$ 。其中任一元素都可以写成 $\varphi(g)$ ，它正是 $gN$ 在 $\Phi$ 下的像。

第五步：检查保持乘法。

$\Phi((gN)(kN))=\varphi(gk)=\varphi(g)\varphi(k) =\Phi(gN)\Phi(kN).$

因此 $\Phi$ 是双射的群同态。原对话详细解释了“相同像恰好对应相同陪集”；这里同时补上核的正规性及新映射保持乘法的检查。

6.2 核这个集合记号逐个符号拆解

原问题：这是什么意思

这个式子是在定义“核（kernel）”。

$N=\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}.$

逐个拆开看。

$G$

是原来的群。

$H$

是映射到的另一个群。

$\varphi:G\to H$

表示一个群同态。

而

$e_H$

表示群 $H$ 里的单位元。

所以：

$\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}$

的意思就是：

把 $G$ 里面所有经过 $\varphi$ 后变成 $H$ 的单位元的元素 $g$ 全部收集起来。

这个集合就叫：

$\ker\varphi.$

也就是：

$\boxed{\ker\varphi=\{g\in G\mid \varphi(g)=e_H\}}$

这里冒号

$:$

或者竖线

$\mid$

都可以读成：

“满足……”

所以：

$g\in G:\varphi(g)=e_H$

就是：

$g$ 属于 $G$ ，并且满足 $\varphi(g)=e_H$ 。

比如：

$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$

表示“取奇偶性”。

那么目标群的单位元是“偶”这一类，也就是

$0\pmod 2.$

因此：

$\ker\varphi = \{n\in\mathbb Z:n\equiv0\pmod2\}.$

也就是所有偶数。

放回我们刚才的 Galois 情形：

$\mathrm{res}: \operatorname{Gal}(K/F)\to\operatorname{Gal}(E/F),$

那么

$\ker(\mathrm{res})$

就是那些限制到 $E$ 后变成恒等映射的自同构，也就是：

$\boxed{\text{所有固定 }E\text{ 的自同构}}$

因此：

$\ker(\mathrm{res})=\operatorname{Gal}(K/E).$

你这里主要是卡在集合构造符号

$\{g\in G:\cdots\}$

而不是“核”本身。

6.3 像是实际能够到达的目标元素

原问题：这里突然出现imfi是指什么

这里的

$\operatorname{im}\varphi$

是 image $of$ $\varphi$ ，中文叫：

$\boxed{\varphi\text{ 的像}}$

意思是：

$G$ 里的元素经过 $\varphi$ 映射之后，实际上能够到达 $H$ 里的哪些元素。

如果

$\varphi:G\to H,$

那么定义：

$\boxed{ \operatorname{im}\varphi = \{\varphi(g)\mid g\in G\} }$

也就是把所有

$g\in G$

都丢进 $\varphi$ ，收集所有输出。

注意它不一定等于整个 $H$ 。

比如：

$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z, \qquad \varphi(n)=2n.$

那么虽然目标群是整个 $\mathbb Z$ ，但实际上只能得到偶数：

$\operatorname{im}\varphi = 2\mathbb Z.$

所以：

$\boxed{\operatorname{im}\varphi\subseteq H}$

但未必：

$\operatorname{im}\varphi=H.$

刚才那个式子

$G/N\longrightarrow\operatorname{im}\varphi$

意思就是：

把 $G$ 按照核 $N=\ker\varphi$ 的陪集压缩以后，得到的商群 $G/N$ ，可以和 $\varphi$ 真正能到达的那部分 $\operatorname{im}\varphi$ 一一对应。

最终第一同构定理说的是：

$\boxed{ G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi }$

所以这里的 im 就是 image 的缩写。

6.4 第一同构定理的陪集证明

第一同构定理描述群同态怎样通过核的陪集形成同构。先在群论中证明，再在第 13 章应用于限制映射。

我们现在有一个群映射：

$\varphi:G\to H.$

这里不是任意映射，而是群同态，意思是它保持群运算：

$\boxed{\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)}$

现在设：

$N=\ker\varphi.$

也就是说：

$N=\{g\in G:\varphi(g)=e_H\}.$

我们想知道：

如果两个元素 $g_1,g_2\in G$ 经过 $\varphi$ 后得到同一个东西，它们之间是什么关系？

假设：

$\varphi(g_1)=\varphi(g_2).$

两边左乘：

$\varphi(g_2)^{-1}.$

得到：

$\varphi(g_2)^{-1}\varphi(g_1)=e_H.$

因为 $\varphi$ 是同态，

$\varphi(g_2^{-1})=\varphi(g_2)^{-1},$

所以：

$\varphi(g_2^{-1}g_1)=e_H.$

因此：

$g_2^{-1}g_1\in\ker\varphi=N.$

于是存在某个 $n\in N$ ，使：

$g_2^{-1}g_1=n.$

所以：

$g_1=g_2n.$

也就是说：

$g_1\in g_2N.$

因此：

$\boxed{ \varphi(g_1)=\varphi(g_2) \iff g_1N=g_2N }$

这个结论非常重要。

它的意思是：

$\varphi$ 无法区分的元素，恰好就是落在同一个核的陪集里的元素。

举个非常简单的例子。

假设：

$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$

把整数按奇偶性分类：

$\varphi(n)=n\bmod 2.$

那么：

$\ker\varphi = \{\text{所有偶数}\} = 2\mathbb Z.$

比如：

$1,3,5,7,\ldots$

虽然是不同整数，但经过 $\varphi$ 后全部变成：

$1.$

因为它们互相只差一个偶数：

$3-1=2,\qquad5-1=4,\ldots$

所以它们其实都属于同一个陪集：

$1+2\mathbb Z.$

同样所有偶数属于：

$0+2\mathbb Z.$

所以 $\varphi$ 真正在区分的并不是每个整数，而只是：

$\boxed{\text{核的不同陪集}}$

因此，与其让 $\varphi$ 作用在每个 $g$ 上，我们完全可以直接让它作用在陪集上：

$gN\longmapsto\varphi(g).$

这就得到：

$G/N\longrightarrow\operatorname{im}\varphi.$

而刚才已经证明：

$g_1N=g_2N$

当且仅当

$\varphi(g_1)=\varphi(g_2).$

所以这个新映射既不会把两个不同陪集错误地压成一个，也不会遗漏 $\varphi$ 真正能达到的元素。

因此：

$\boxed{ G/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi }$

这就是群的第一同构定理。

第 6 章：群同态、核、像和第一同构定理 ​

本节先定义：群同态、核、像和同构 ​

补充证明：第一同构定理的完整检查 ​

6.2 核这个集合记号逐个符号拆解 ​

6.3 像是实际能够到达的目标元素 ​