第 5 章：正规子群和商群：让陪集乘法没有歧义

本章对象： $H\triangleleft G$ 表示 $H$ 在 $G$ 的共轭下稳定。 $G/H$ 的元素是陪集；单位元是陪集 $H$ ，不是 $G$ 中的单个元素 $e$ 。

补充证明：正规性的等价条件，以及商群乘法为何要求正规性

本节 $G$ 是群， $H\leq G$ 是子群， $g$ 是 $G$ 中元素。由集合等式两边右乘 $g^{-1}$ ，得到

$gH=Hg\quad\Longleftrightarrow\quad gHg^{-1}=H.$

若对所有 $g$ 都只有 $gHg^{-1}\subseteq H$ ，用 $g^{-1}$ 代入再左右乘 $g$ 、 $g^{-1}$ ，会得到反向包含，因此实际也是等号。这就是共轭形式的正规性。它表示整个子群作为集合稳定，并不要求 $g$ 与每个 $h$ 交换。

商群乘法的充分性由原证明的代表元计算给出。必要性也可以证明：假设陪集乘法按代表元定义且良定义。 $h\in H$ 与 $e\in H$ 是同一陪集的代表元，则 $(hH)(gH)=(eH)(gH)$ ，故 $hgH=gH$ ，进而 $g^{-1}hg\in H$ 。这对所有 $g,h$ 成立，故 $H$ 正规。于是这个条件正好解决代表元歧义。

5.2 右陪集与正规子群

现在只加一个新概念：右陪集。

前面我们有：

$gH=\{gh\mid h\in H\},$

这叫左陪集。

那么同样地，也可以把固定元素 $g$ 放在右边：

$Hg=\{hg\mid h\in H\}.$

这就叫：

$\boxed{\text{右陪集}}$

还是用：

$S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$

和

$A_3=\{e,(123),(132)\}.$

现在取：

$g=(12).$

我们前面已经算过左陪集：

$(12)A_3.$

现在算右陪集：

$A_3(12).$

也就是：

$A_3(12) = \{e(12),(123)(12),(132)(12)\}.$

第一个：

$e(12)=(12).$

再算：

$(123)(12).$

按照我们的约定，先做右边的：

$(12),$

再做左边的：

$(123).$

对 $1$ ：

$1\to2\to3,$

所以：

$1\to3.$

对 $3$ ：

$3\to3\to1,$

所以：

$3\to1.$

对 $2$ ：

$2\to1\to2.$

所以：

$2\to2.$

因此：

$(123)(12)=(13).$

再算：

$(132)(12).$

对 $1$ ：

$1\to2\to1,$

所以：

$1\to1.$

对 $2$ ：

$2\to1\to3,$

所以：

$2\to3.$

对 $3$ ：

$3\to3\to2.$

所以：

$3\to2.$

因此：

$(132)(12)=(23).$

所以：

$\boxed{ A_3(12)=\{(12),(13),(23)\} }$

而前面：

$(12)A_3=\{(12),(13),(23)\}.$

于是：

$\boxed{ (12)A_3=A_3(12) }$

这说明什么？

说明对于这个子群 $A_3$ ：

$\text{左边乘整个 }A_3$

和

$\text{右边乘整个 }A_3$

最后得到的是同一个集合。

这不是所有子群都有的性质。

如果一个子群 $H\le G$ 满足：

$gH=Hg$

对所有

$g\in G$

都成立，那么我们就称：

$\boxed{H\text{ 是 }G\text{ 的正规子群}}$

英文：

$\boxed{\text{normal subgroup}}$

记作：

$H\triangleleft G.$

所以：

$\boxed{ A_3\triangleleft S_3 }$

但这里最容易产生一个误解。

正规子群并不是说：

$gh=hg$

对每一个 $h\in H$ 都成立。

不是这个意思。

要求的是：

$gH=Hg$

这两个集合相同。

也就是说，左边乘以后得到的那一堆元素，和右边乘以后得到的那一堆元素一样。

具体某个 $h$ 不一定和 $g$ 交换。

例如：

$(12)(123)\neq(123)(12).$

实际上：

$(12)(123)=(23),$

而：

$(123)(12)=(13).$

二者不相等。

但整个集合仍然相等：

$(12)A_3=A_3(12).$

所以：

$\boxed{\text{正规}\neq\text{每个元素都交换}}$

这是非常重要的一点。

下一步最值得解释的是：

$\boxed{\text{为什么我们非要关心正规子群？}}$

答案是：因为只有对子群“足够正规”，我们才能把整个群按这些陪集压缩成一个新的群，也就是商群。而“可解群”最终正是靠一层一层的商群来定义的。

5.3 商群的元素为什么是陪集

现在进入一个很关键、也很容易第一次看懵的概念：商群（quotient group）。

这一步我们慢一点，因为“正规子群为什么重要”就在这里。

先继续用：

$A_3\triangleleft S_3.$

我们已经知道 $S_3$ 被 $A_3$ 的陪集分成两块：

$A_3$

和

$(12)A_3.$

其中：

$A_3=\{\text{所有偶置换}\},$

而

$(12)A_3=\{\text{所有奇置换}\}.$

现在做一个思想实验：

我不再关心每一个具体置换是谁，我只关心它属于“偶的那一块”还是“奇的那一块”。

也就是说，把整个 $A_3$ 看成一个“大元素”：

$[A_3],$

把所有奇置换那一块也看成另一个“大元素”：

$[(12)A_3].$

这样，原来有 6 个元素的 $S_3$ ，就被压缩成了只有 2 个“大元素”的东西。

也就是：

$\boxed{S_3/A_3}$

它的元素是：

$A_3,\qquad (12)A_3.$

现在最关键的问题来了：

这些“块”之间能不能像群元素一样相乘？

我们希望定义：

$(gA_3)(hA_3) = (gh)A_3.$

例如：

$[(12)A_3]\cdot[(23)A_3].$

因为 $(12)$ 和 $(23)$ 都是奇置换，所以它们都属于同一个陪集：

$(12)A_3=(23)A_3.$

那么“奇那一块 × 奇那一块”应该等于什么？

算：

$(12)(23)=(123).$

而 $(123)$ 是偶置换，所以：

$(123)\in A_3.$

于是：

$\boxed{\text{奇块}\times\text{奇块}=\text{偶块}}$

同理：

$\text{偶块}\times\text{偶块}=\text{偶块},$

$\text{偶块}\times\text{奇块}=\text{奇块},$

$\text{奇块}\times\text{偶块}=\text{奇块}.$

你应该会发现，这和：

$(+1)(+1)=+1,$

$(-1)(-1)=+1$

很像。

所以：

$S_3/A_3$

本质上就是一个只有两个元素的群。

但这里藏着一个非常严重的问题。

假设我说：

$(gH)(kH)=(gk)H.$

问题是：

一个陪集 $gH$ 往往可以用很多不同的 $g$ 来表示。

比如在这里：

$(12)A_3=(13)A_3=(23)A_3.$

它们其实是同一块。

那么如果我选择不同的代表元，比如用 $(12)$ 或 $(13)$ ，最后乘出来的陪集会不会不同？

如果会不同，那么这个“乘法”就根本没有定义好。

我们希望：

$gH=g'H,\qquad kH=k'H$

时，一定有：

$(gk)H=(g'k')H.$

只有这样，陪集之间的乘法才是良定义的。

而这正是正规子群最重要的作用：

$\boxed{H\triangleleft G}$

恰好保证了：

$\boxed{(gH)(kH)=(gk)H}$

不会因为你选了不同代表元而产生歧义。

所以你可以把“正规子群”先理解成：

一个子群如果足够规则，使得“把它压成一个点以后”，剩下的块还能正常做群运算，那么它就是正规子群。

于是我们终于知道为什么普通子群还不够，而需要“正规子群”。

整个逻辑是：

$\text{子群}$

不一定能拿来“压缩”原群。

但：

$\boxed{\text{正规子群}}$

可以。

压缩之后得到：

$\boxed{\text{商群}}$

记作：

$G/H.$

在我们的例子里：

$S_3/A_3$

就是把：

$\text{所有偶置换看成一个元素},$

把：

$\text{所有奇置换看成另一个元素}.$

最后只剩两个元素。

下一步最适合讲的是：

$\boxed{\text{为什么“商群”可以理解为把一个群中的某部分结构忽略掉}}$

这层直觉非常重要，因为以后“可解群”本质上就是：不断找正规子群、不断取商群，把一个复杂群一层层剥简单。

5.4 代表元计算：陪集乘法的良定义

关键就在这里。我们把它严格证明出来，不跳步。

假设

$gH=g'H,\qquad kH=k'H.$

这句话分别意味着什么？

因为 $g'$ 属于 $g'H$ ，而 $g'H=gH$ ，所以

$g'\in gH.$

因此一定存在某个

$h_1\in H$

使得

$g'=gh_1.$

同理，因为

$kH=k'H,$

所以存在

$h_2\in H$

使得

$k'=kh_2.$

于是

$g'k' = (gh_1)(kh_2) = gh_1kh_2.$

现在真正的问题是：

$gh_1kh_2$

能不能写成

$gk(\text{某个 }H\text{ 中的元素})?$

因为如果能，那么它就属于

$gkH.$

难点就是中间这个：

$h_1k.$

我们想把 $k$ 移到 $h_1$ 左边。

在普通交换群里可以直接写成：

$h_1k=kh_1,$

但这里当然不能这么做。

正规性就是在这里起作用。

因为

$H\triangleleft G,$

等价地，对任意 $k\in G$ 和任意 $h_1\in H$ ，都有

$k^{-1}h_1k\in H.$

先把这个新元素记成：

$h_3=k^{-1}h_1k.$

于是：

$h_3\in H.$

而且从

$h_3=k^{-1}h_1k$

两边左乘 $k$ ，得到：

$kh_3=h_1k.$

所以：

$h_1k=kh_3.$

代回刚才：

$g'k' = gh_1kh_2$

就变成

$g'k' = gkh_3h_2.$

因为：

$h_3,h_2\in H$

而 $H$ 是群，所以封闭：

$h_3h_2\in H.$

记

$h_4=h_3h_2\in H.$

于是：

$g'k'=gkh_4.$

所以：

$g'k'\in gkH.$

也就是说：

$g'k'H=gkH.$

因此，无论你选择 $gH$ 的代表元 $g$ 还是 $g'$ ，选择 $kH$ 的代表元 $k$ 还是 $k'$ ，最终得到的陪集都是：

$\boxed{gkH}.$

所以定义

$\boxed{(gH)(kH)=(gk)H}$

是没有歧义的。

你可以把整个证明压缩成最关键的一步：

$gh_1kh_2$

之所以能够变成

$gk(\text{某个 }H\text{ 中的元素}),$

就是因为正规性允许我们把

$h_1k$

改写成

$kh_3,\qquad h_3\in H.$

也就是：

$\boxed{\text{正规性允许 }H\text{ 中的元素“穿过”外面的群元素，但穿过去后可能变成另一个 }H\text{ 中的元素。}}$

注意它不是说

$h_1k=kh_1,$

而是说：

$\boxed{h_1k=kh_3}$

其中 $h_3$ 仍然属于 $H$ 。

这其实就是“正规子群”最值得建立的直觉。

5.5 检查商群的全部群公理

既然刚才已经证明了“陪集乘法”在正规子群时是良定义的，下一步就该把最重要的一件事补完整：

为什么 $G/H$ 真的构成一个群？

设

$H\triangleleft G.$

我们定义商集

$G/H=\{gH\mid g\in G\},$

并定义乘法

$(gH)(kH)=(gk)H.$

现在逐条检查群公理。

先看封闭性。两个元素

$gH,\ kH\in G/H$

相乘得到

$(gH)(kH)=(gk)H.$

而 $gk\in G$ ，所以

$(gk)H$

还是 $G/H$ 中的一个陪集。因此封闭。

再看结合律。

取三个陪集：

$gH,\quad kH,\quad lH.$

左边：

$[(gH)(kH)](lH)$

先算：

$(gH)(kH)=(gk)H,$

所以

$[(gH)(kH)](lH) = ((gk)H)(lH) = ((gk)l)H.$

另一种括号：

$(gH)[(kH)(lH)]$

得到：

$(gH)((kl)H) = (g(kl))H.$

因为原群 $G$ 中满足结合律：

$(gk)l=g(kl),$

所以：

$((gk)l)H=(g(kl))H.$

因此商群也满足结合律。

这里你可以看到一个常见规律：

商群很多性质，是从原群 $G$ 继承下来的。

第三个，单位元是什么？

原群的单位元记作 $e$ 。

商群里面对应的陪集是：

$eH.$

但

$eH=H.$

所以商群的单位元其实就是：

$\boxed{H}.$

验证：

$H\cdot gH = (eH)(gH) = (eg)H = gH.$

同样：

$(gH)H=gH.$

所以：

$\boxed{\text{商群中，整个 }H\text{ 被当成了单位元}}$

这句话非常重要。

它其实揭示了“取商”的本质。

比如我们有

$S_3/A_3.$

在这里，原来 $A_3$ 中有三个元素：

$e,(123),(132).$

但是取商以后，这三个元素全部被压成：

$A_3.$

而这个“大元素”就是商群的单位元。

所以从商群的角度来看：

$e,\ (123),\ (132)$

之间的区别被彻底忽略了。

这就是为什么我前面说：

取商群，可以理解为“把 $H$ 内部的区别抹掉”。

最后看逆元。

商群中有一个元素：

$gH.$

它的逆是什么？

应该是：

$g^{-1}H.$

因为：

$(gH)(g^{-1}H) = (gg^{-1})H = eH = H.$

而 $H$ 正是商群的单位元。

所以：

$\boxed{(gH)^{-1}=g^{-1}H}.$

四条全部成立，因此：

$\boxed{G/H\text{ 是一个群}}$

前提就是：

$\boxed{H\triangleleft G}.$

现在我们已经有了一个很有力量的操作：

$G \longrightarrow G/H.$

它做的事情是：

把 $H$ 中的所有变化都视为“不重要”，只看不同陪集之间的区别。

例如：

$S_3$

有 6 个元素，但取

$S_3/A_3$

以后，只剩：

$\boxed{2}$

个元素。

因为它只区分：

$\text{偶置换}$

和

$\text{奇置换}.$

于是：

$|S_3/A_3|=2.$

而：

$|S_3|=6,\qquad |A_3|=3.$

你会看到：

$\boxed{|S_3/A_3|=\frac{|S_3|}{|A_3|}}$

一般有限群中，如果 $H\triangleleft G$ ，也有：

$\boxed{|G/H|=\frac{|G|}{|H|}}.$

到这里，我们终于已经有足够工具开始接近“可解群”了。

但下一步我不会直接给定义。

我们先拿 $S_3$ 做一件非常具体的事情：

$\boxed{\{e\}\triangleleft A_3\triangleleft S_3}$

然后看看把 $S_3$ 一层一层“剥掉”以后，会剩下什么。

这正是以后所谓“可解”的核心直觉。