第 4 章：陪集与 Lagrange 定理

本章对象： $G$ 是群， $H\leq G$ ； $gH$ 是左陪集， $Hg$ 是右陪集；| $G$ | 表示群的元素个数，称为阶。

4.1 左陪集与分组的含义

现在我们只讲一个新概念：陪集（coset）。先不急着讲正规子群。

第五步：什么是陪集？

我们继续用最熟悉的例子：

$S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$

以及它的子群

$A_3=\{e,(123),(132)\}.$

现在假设我拿出 $S_3$ 中一个元素，例如

$(12).$

然后让它分别乘 $A_3$ 里的每一个元素：

$(12)e,$

$(12)(123),$

$(12)(132).$

把得到的所有结果收集起来。

这个集合就叫：

$(12)A_3.$

它是 $A_3$ 的一个左陪集。

1. 一般定义是什么？

如果：

$H\le G$

是一个子群，取任意

$g\in G,$

那么：

$gH$

定义为：

$gH=\{gh\mid h\in H\}.$

意思就是：

固定 $g$ ，然后把 $H$ 里面每个元素都放到 $g$ 的右边去乘。

这叫：

$\boxed{\text{左陪集}}$

注意虽然叫“左陪集”，其实是因为固定的 $g$ 放在左边：

$gH.$

2. 具体算 (12)A₃

我们有：

$A_3=\{e,(123),(132)\}.$

所以：

$(12)A_3 = \{(12)e,\;(12)(123),\;(12)(132)\}.$

第一个很简单：

$(12)e=(12).$

现在算第二个：

$(12)(123).$

按照我们的约定，先做右边的 $(123)$ ，再做左边的 $(12)$ 。

逐个跟踪：

$1\to2\to1,$

所以：

$1\to1.$

再看 $2$ ：

$2\to3\to3,$

所以：

$2\to3.$

再看 $3$ ：

$3\to1\to2.$

所以：

$3\to2.$

因此：

$(12)(123)=(23).$

再算：

$(12)(132).$

对 $1$ ：

$1\to3\to3.$

所以：

$1\to3.$

对 $3$ ：

$3\to2\to1.$

所以：

$3\to1.$

对 $2$ ：

$2\to1\to2.$

所以：

$2\to2.$

因此：

$(12)(132)=(13).$

所以：

$\boxed{ (12)A_3=\{(12),(23),(13)\} }$

你会发现：

$(12)A_3$

正好就是三个奇置换。

3. 这件事为什么很有意思？

因为原来的：

$A_3 = \{e,(123),(132)\}$

是三个偶置换。

而：

$(12)A_3 = \{(12),(23),(13)\}$

是三个奇置换。

所以整个 $S_3$ 被分成了两块：

$S_3=A_3\cup(12)A_3.$

而且这两块没有重叠。

也就是说：

$\boxed{ S_3= \text{偶置换那一块} + \text{奇置换那一块} }$

这正是陪集开始发挥作用的地方。

4. 为什么陪集大小和原子群一样？

你可能已经看到了：

$|A_3|=3$

而：

$|(12)A_3|=3.$

这不是巧合。

一般来说：

$|gH|=|H|.$

为什么？

因为：

$h\mapsto gh$

不会把两个不同的 $h$ 变成同一个结果。

假设：

$gh_1=gh_2.$

左边同时乘：

$g^{-1}.$

得到：

$h_1=h_2.$

所以不同的 $h$ 一定得到不同的 $gh$ 。

因此：

$H$

里有多少元素，

$gH$

就有多少元素。

5. 还有一个很容易忽略的点

如果我们取：

$g=e,$

那么：

$eH=H.$

所以：

$H$

自己其实也是自己的一个陪集。

比如：

$eA_3=A_3.$

甚至如果 $g\in H$ ，例如：

$g=(123),$

那么：

$(123)A_3=A_3.$

原因是：

子群里的一个元素去乘整个子群，只是在子群内部重新排列元素，不会产生新的元素。

所以对于 $A_3$ 来说，左陪集实际上只有两种：

$A_3$

和

$(12)A_3.$

也就是：

$\text{偶置换}$

和

$\text{奇置换}.$

这里先停在这个程度。

下一步我们再讲一个几乎一模一样、但非常关键的新东西：

$\boxed{Hg}$

也就是右陪集。

然后你会看到一个非常重要的问题：

为什么有时候 $gH=Hg$ ，有时候却不相等？

“正规子群”就是从这个问题里自然长出来的。

4.2 不同陪集为什么相同或不相交

因为只要两个左陪集有哪怕一个共同元素，就能证明它们其实整个集合完全一样。

设两个左陪集是

$gH,\qquad kH.$

假设它们不是完全不相交，也就是说存在某个元素 $x$ ，同时属于二者：

$x\in gH\cap kH.$

那么根据陪集定义，一定存在

$h_1,h_2\in H$

使得

$x=gh_1=kh_2.$

于是：

$gh_1=kh_2.$

右边乘 $h_1^{-1}$ ，得到

$g=kh_2h_1^{-1}.$

因为 $H$ 是群，所以

$h_2h_1^{-1}\in H.$

记

$h_0=h_2h_1^{-1}\in H.$

于是：

$g=kh_0.$

现在看整个陪集：

$gH=(kh_0)H.$

由于 $h_0\in H$ ，而“用 $H$ 自己的一个元素乘整个 $H$ ”不会改变 $H$ ：

$h_0H=H.$

因此：

$gH=k(h_0H)=kH.$

所以我们得到：

$\boxed{ gH\cap kH\neq\varnothing \quad\Longrightarrow\quad gH=kH }$

换句话说，如果两个陪集不相等，那么它们就一个共同元素都不能有：

$\boxed{ gH=kH \quad\text{或者}\quad gH\cap kH=\varnothing }$

这就是为什么陪集能够把整个群 $G$ 切成一块一块、互不重叠的部分。

例如在 $S_3$ 中：

$A_3=\{e,(123),(132)\}$

和

$(12)A_3=\{(12),(13),(23)\}$

完全不相交，而且合起来正好是整个 $S_3$ 。

4.3 用陪集证明 Lagrange 定理

这里我前面那句话写错了，应该是：

$\boxed{\text{子群的大小必须整除有限群的大小}}$

这就是 Lagrange 定理（拉格朗日定理）。

而且我们其实已经有足够工具证明它了，因为前面已经学过陪集。

假设有限群 $G$ 有一个子群 $H\le G$ 。

每一个左陪集：

$gH$

和 $H$ 本身有完全一样多的元素，因为映射

$h\mapsto gh$

是一一对应。

所以每个陪集大小都是：

$|H|.$

另一方面，不同的陪集要么完全相同，要么完全不相交。

因此整个群 $G$ 可以被这些陪集完整地分成若干块：

$G=g_1H\;\sqcup\;g_2H\;\sqcup\cdots\sqcup g_kH.$

每一块都有：

$|H|$

个元素。

所以：

$|G| = \underbrace{|H|+|H|+\cdots+|H|}_{k\text{ 次}} = k|H|.$

于是：

$\boxed{|H|\mid |G|}$

也就是：

$\boxed{\text{子群阶整除群阶}}.$

这里的“阶”就是元素个数。

所以刚才那个 3 元群的例子里，如果存在一个 2 元子群 $H$ ，就必须有：

$2\mid3.$

但显然不成立。

因此一个 3 阶群不可能有 2 阶子群。

这就是为什么假设

$a^2=e$

会出问题：因为如果 $a\neq e$ 且

$a^2=e,$

那么

$\{e,a\}$

就是一个有 2 个元素的子群，可是 2 不整除 3，矛盾。

所以在一个 3 阶群中，任取非单位元 $a$ ，必然有：

$a^3=e,$

并且

$G=\{e,a,a^2\}.$

因此它是循环群，也就一定是阿贝尔群。