第 3 章：奇偶性、交错群与子群

本章对象：inv 表示一行排列的逆序数； $\operatorname{sgn}$ 是取值为 ±1 的符号映射； $A_{n}$ 是偶置换组成的交错群。

3.1 换位个数的奇偶性为何定义良好

现在进入一个非常关键的概念：置换的奇偶性。它会自然产生 $A_n$ ，而 $A_5$ 正是最后“五次方程为什么出问题”的核心对象。

第四步：为什么置换有“奇”和“偶”？

上一节我们知道：

任意置换都可以拆成若干个换位。

比如

$(123)=(12)(23)$

用了两个换位。

于是很自然会问：

一个置换能不能既拆成 2 个换位，又拆成 3 个换位？

如果可以，那么“用了奇数个还是偶数个换位”就没有意义。

神奇的地方就在这里：

$\boxed{\text{不可能}}$

同一个置换可能有很多不同的换位分解，但所有分解中换位个数的奇偶性一定相同。

所以我们可以定义：

能拆成偶数个换位 $\to$ 偶置换
能拆成奇数个换位 $\to$ 奇置换

1. 先看例子

(12)

它本身就是一个换位：

$(12).$

用了 1 个。

所以它是：

$\boxed{\text{奇置换}}$

(123)

我们刚才有：

$(123)=(12)(23).$

用了 2 个换位。

所以：

$\boxed{(123)\text{ 是偶置换}}$

(1234)

例如：

$(1234)=(14)(13)(12).$

用了 3 个换位。

所以：

$\boxed{(1234)\text{ 是奇置换}}$

2. 一个 k-循环是什么奇偶性？

一般来说：

$(a_1a_2\cdots a_k)$

可以拆成：

$(a_1a_k)(a_1a_{k-1})\cdots(a_1a_2).$

总共用了：

$k-1$

个换位。

所以：

$\boxed{k\text{-循环的奇偶性由 }k-1\text{ 决定}}$

例如：

$2\text{-循环}:1\text{ 个换位}\Rightarrow\text{奇}$

$3\text{-循环}:2\text{ 个换位}\Rightarrow\text{偶}$

$4\text{-循环}:3\text{ 个换位}\Rightarrow\text{奇}$

3. 可是为什么奇偶性不会因为换一种拆法而改变？

这才是真正需要解释的地方。

我们先引入一个非常直观的量：

$\boxed{\text{逆序数}}$

英文叫：

inversion number

假设有排列：

$2,3,1.$

我们问：

有多少对数字的大小顺序被“颠倒”了？

正常顺序应该是：

$1<2<3.$

现在排列为：

$2,3,1.$

看每一对。

$(2,3)$

顺序正常，因为：

$2<3.$

不算逆序。

但：

$(2,1)$

反了，因为：

$2>1.$

算一个。

还有：

$(3,1)$

也反了。

所以总共有：

$2$

个逆序。

于是：

$\operatorname{inv}(231)=2.$

这是偶数。

而 $231$ 对应的正是置换：

$(123).$

所以它是偶置换。

4. 再看一个

排列：

$2,1,3.$

只有：

$(2,1)$

发生逆序。

所以：

$\operatorname{inv}=1.$

是奇数。

对应：

$(12),$

正好是奇置换。

5. 为什么交换两个元素一定改变奇偶性？

先看最简单的：交换两个相邻元素。

比如：

$1,2,3$

交换 $2,3$ ：

$1,3,2.$

逆序数从：

$0$

变成：

$1.$

奇偶性翻转。

再交换一次：

$1,2,3$

又从奇变偶。

所以：

$\boxed{\text{相邻交换每做一次，逆序数奇偶性翻转一次}}$

那如果交换两个不相邻元素呢？

例如：

$1,2,3,4$

交换 $1$ 和 $4$ ：

$4,2,3,1.$

这种交换其实可以拆成奇数个相邻交换。

比如把 $1$ 一步步移到右边：

$1234$

$2134$

$2314$

$2341$

然后把 $4$ 往左移：

$2431$

$4231$

总共：

$5$

次。

也就是奇数次。

一般交换位置 $i,j$ ，需要：

$2(j-i)-1$

次相邻交换。

它永远是奇数。

因此：

$\boxed{\text{任意一个换位都会让逆序数奇偶性翻转}}$

6. 现在证明关键结论

从恒等排列：

$1,2,\dots,n$

开始。

它的逆序数是：

$0,$

所以是偶数。

如果一个置换由 $m$ 个换位得到，那么每做一次换位，逆序数的奇偶性就翻转一次。

因此：

$m$ 为偶数 $\to$ 最终逆序数为偶数；
$m$ 为奇数 $\to$ 最终逆序数为奇数。

但一个确定的排列，它的逆序数是确定的。

所以不可能同一个排列同时由：

$\text{偶数个换位}$

和

$\text{奇数个换位}$

得到。

于是：

$\boxed{\text{置换的奇偶性是定义良好的}}$

这就是我们需要的结论。

7. 偶置换自己形成一个群

现在考虑 $S_n$ 中的所有偶置换。

把它们收集起来：

$A_n.$

这个群叫：

$\boxed{\text{alternating group}}$

中文：

$\boxed{\text{交错群}}$

所以：

$A_n\subset S_n.$

为什么它是一个群？

因为：

偶 × 偶 = 偶；
单位元是偶置换；
偶置换的逆仍然是偶置换。

所以：

$A_n$

本身就是一个群。

8. A₃ 是什么？

$S_3$ 有 6 个元素：

$e,\ (12),\ (13),\ (23),\ (123),\ (132).$

其中：

$e$

是偶置换。

三个换位：

$(12),(13),(23)$

都是奇置换。

两个三循环：

$(123),(132)$

都是偶置换。

所以：

$A_3= \{e,(123),(132)\}.$

一共三个元素。

正好是 $S_3$ 的一半。

实际上：

$|A_n|=\frac{n!}{2}\qquad(n\ge2).$

因此：

$|A_5|=\frac{5!}{2}=60.$

而这 60 个偶置换组成的：

$\boxed{A_5}$

以后会成为整个故事的关键。

原因是：

$\boxed{A_5\text{ 是非交换的}}$

而且比“不交换”更严重：

$\boxed{A_5\text{ 没有合适的非平凡正规子群}}$

换句话说，它是一个：

$\boxed{\text{非交换单群}}$

而这正是一般五次方程无法通过一层层根式“拆开”的根本障碍。

不过现在“正规子群”和“单群”都还没学。

所以下一步我们应该先讲：

$\boxed{\text{什么是子群？}}$

然后再讲：

$\boxed{\text{陪集}\rightarrow\text{正规子群}\rightarrow\text{商群}}$

这条线很重要，因为“可解群”的定义就是建立在一层层正规子群和商群之上的。

3.2 把循环写成一行排列，再计算逆序数

原问题：逆序数在括号的形式不好数吧

对，逆序数不是直接对循环括号记号来数的。它最自然是对“一行排列”来数。

比如置换

$(123)$

循环记号表示

$1\to2,\quad 2\to3,\quad 3\to1.$

如果要数逆序数，先把它写成一行形式：

$[\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3)] = [2,3,1].$

然后看

$2,3,1$

里面有多少逆序对。

有：

$(2,1),\quad (3,1),$

所以逆序数是

$2.$

因此 $(123)$ 是偶置换。

再比如

$(12).$

它对应

$1\to2,\quad2\to1,\quad3\to3,$

所以一行形式是

$[2,1,3].$

只有一个逆序：

$(2,1),$

所以逆序数是 1，是奇置换。

因此你可以区分三种常见表示法：

$\boxed{ \text{循环记号 }(123) }$

适合看“元素怎么绕圈走”；

$\boxed{ \text{一行记号 }[2,3,1] }$

适合数逆序数；

还有一种两行记号：

$\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix},$

它直接表示

$1\mapsto2,\quad2\mapsto3,\quad3\mapsto1.$

所以前面说“用逆序数证明奇偶性良定义”时，其实默认是把置换先转换成一行排列，再数逆序数。

而实际判断一个循环的奇偶性时，通常根本不会去数逆序数，而是直接用：

$(a_1a_2\cdots a_k)$

可以拆成 $k-1$ 个换位，因此

$\boxed{k\text{-循环的符号是 }(-1)^{k-1}}.$

所以例如：

$(12345)$

是一个 5-循环，

$5-1=4$

是偶数，因此它是偶置换。

你这个问题非常重要，因为它说明了循环记号和逆序数其实是两套不同用途的表示工具。

补充证明：逆序数、符号同态与交错群的大小

一行记号 $[\sigma (1),\ldots ,\sigma (n)]$ 的逆序数，是满足 $i$ < $j$ 且 $\sigma (i)$ > $\sigma (j)$ 的数对 $(i,j)$ 的数量。交换两个相邻位置时，只有这两个数彼此的大小次序改变；其他数字与它们产生的逆序总数不变，所以逆序数恰好改变 1。交换相距 $j-i$ 的两个位置可以用 $2(j-i)-1$ 次相邻交换完成：先把左边的数向右移，再把原来右边的数向左移。这是奇数，故任何换位都改变逆序数的奇偶性。

从恒等排列开始做 $m$ 次换位，最终逆序数模 2 就是 $m$ 模 2。因此同一置换不可能有奇偶性不同的换位分解。若 $\sigma$ 、 $\tau$ 分别拆成 $p$ 、 $q$ 个换位，把两串分解接起来就是 $\sigma \tau$ 的分解，所以

$\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=(-1)^{p+q} =\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).$

这说明 $\operatorname{sgn}$ 是到乘法群 {1,−1} 的群同态。对 $n\geq 2$ ，固定一个换位 $t$ ，映射 $\sigma \mapsto t\sigma$ 给出偶置换与奇置换之间的双射，逆映射也是乘以 $t$ 。因此两者数量相同，| $A_{n}$ | $=n!/2$ 。 $n=1$ 时不适用这个一半公式， $A_{1}=S_{1}$ 都只有一个元素。

3.4 逐条检查偶置换确实构成群

原问题：太快了，为什么偶置换自己就成为一个群了

对，这里确实跳得太快了。我们先只回答一个问题：

为什么所有偶置换放在一起，仍然满足“群”的四条要求？

我们一点一点检查。

假设我们把 $S_n$ 中所有偶置换拿出来，组成集合

$A_n.$

要证明它是一个群，就必须检查群的四条性质。

先看第一条：封闭性

我们需要证明：

如果

$\sigma,\tau\in A_n,$

那么

$\sigma\tau\in A_n.$

因为 $\sigma$ 是偶置换，所以它可以写成偶数个换位：

$\sigma=t_1t_2\cdots t_{2k}.$

同理，

$\tau=s_1s_2\cdots s_{2m}.$

那么：

$\sigma\tau = t_1t_2\cdots t_{2k}s_1s_2\cdots s_{2m}.$

总共用了：

$2k+2m=2(k+m)$

个换位。

仍然是偶数。

所以：

$\boxed{\text{偶}\times\text{偶}=\text{偶}}$

于是：

$\sigma\tau\in A_n.$

所以封闭性成立。

第二条：结合律

这一条甚至不用重新证明。

因为 $A_n$ 里的运算，和 $S_n$ 里的运算完全一样，都是“置换复合”。

而我们已经知道所有置换的复合满足：

$(\sigma\tau)\rho=\sigma(\tau\rho).$

既然这在整个 $S_n$ 里成立，那么当然在 $A_n$ 这个更小的集合里也成立。

所以结合律自动继承下来。

第三条：单位元在不在里面？

群必须有一个单位元：

$e.$

它什么都不做。

现在要问：

$e$

是不是偶置换？

是。

因为我们可以认为它由：

$0$

个换位组成。

而

$0$

是偶数。

所以：

$e\in A_n.$

因此单位元也有。

第四条：逆元还在不在 Aₙ 里面？

这是最值得仔细看的。

假设：

$\sigma=t_1t_2\cdots t_{2k}.$

也就是 $\sigma$ 由偶数个换位组成。

那么逆置换：

$\sigma^{-1}$

是什么？

利用：

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},$

得到：

$\sigma^{-1} = t_{2k}^{-1}\cdots t_2^{-1}t_1^{-1}.$

但每个换位都等于自己的逆。

例如：

$(12)^{-1}=(12).$

所以：

$\sigma^{-1} = t_{2k}\cdots t_2t_1.$

你会发现：

仍然有：

$2k$

个换位。

所以：

$\sigma^{-1}$

仍然是偶置换。

因此：

$\boxed{\text{偶置换的逆仍然是偶置换}}$

所以逆元条件也满足。

于是四条全部成立：

$\begin{aligned} 1.&\ \text{偶置换复合后仍是偶置换}\\ 2.&\ \text{结合律成立}\\ 3.&\ e\text{ 是偶置换}\\ 4.&\ \text{偶置换的逆仍是偶置换} \end{aligned}$

因此：

$\boxed{A_n\text{ 是一个群}}$

更准确地说：

$\boxed{A_n\text{ 是 }S_n\text{ 的一个子群}}$

你可以先把这里理解成一个非常朴素的原则：

从一个大群里挑出一部分元素，如果这部分元素在“做运算、找单位元、找逆元”时都不会跑出去，那么它自己也组成一个小群。

这就是“子群”的直觉。

下一步最好就只讲这个：

$\boxed{\text{什么叫子群，以及为什么有时只检查两三件事就够了}}$

先不碰陪集、正规子群。

3.5 交错群作为对称群的子群

我们就沿着“偶置换群 $A_n$ ”继续，而且慢一点。

下一步先把一个概念讲清楚：

$\boxed{A_n\text{ 为什么叫 }S_n\text{ 的子群}}$

1. 什么是子群？

假设有一个群 $G$ 。

如果我们从里面挑出一部分元素，形成一个集合 $H$ ，并且 $H$ 自己在同样的运算下也构成一个群，那么就说：

$\boxed{H\le G}$

意思是：

$H\text{ 是 }G\text{ 的子群}$

英文叫：

subgroup

例如：

$A_n\subset S_n.$

因为 $A_n$ 里的元素本来就是 $S_n$ 的置换，只不过我们只挑出了偶置换。

而且刚才已经证明了：

偶置换乘偶置换还是偶置换；
单位元是偶置换；
偶置换的逆还是偶置换。

所以：

$\boxed{A_n\le S_n}$

2. 用 S₃ 看最清楚

我们知道：

$S_3= \{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}.$

其中偶置换是：

$e,\quad (123),\quad (132).$

所以：

$A_3= \{e,(123),(132)\}.$

现在你可以把它理解成：

$S_3$

是一个有 6 个元素的大群，

而

$A_3$

是它里面一个有 3 个元素的小群。

3. 为什么 A₃ 自己真的“关起门来”就能运算？

我们随便算。

例如：

$(123)(123).$

做两次 $(123)$ 。

第一次：

$1\to2,\quad2\to3,\quad3\to1.$

再做一次：

$1\to3,\quad 2\to1,\quad 3\to2.$

所以：

$(123)^2=(132).$

而：

$(132)\in A_3.$

再算：

$(123)(132)=e.$

也还在 $A_3$ 。

再算：

$(132)^2=(123).$

仍然在 $A_3$ 。

所以你会发现：

$\{e,(123),(132)\}$

无论怎么复合，都不会跑到：

$(12),(13),(23)$

这些奇置换里面去。

这就是“封闭”的直观意义。

4. 为什么 Aₙ 恰好有 Sₙ 一半那么多元素？

这个结论很重要：

$|A_n|=\frac{n!}{2}.$

我们先别急着证明一般情况，先看 $S_3$ 。

$S_3$ 一共有：

$6$

个置换。

其中：

$3$

个偶置换，

$3$

个奇置换。

刚好一半一半。

再看一个非常巧妙的对应。

假设 $\sigma$ 是偶置换。

我们固定拿一个奇置换，比如：

$(12).$

然后做：

$(12)\sigma.$

因为：

$\text{奇}\times\text{偶}=\text{奇},$

所以结果一定是奇置换。

反过来，如果 $\tau$ 是奇置换，那么：

$(12)\tau$

就是：

$\text{奇}\times\text{奇}=\text{偶}.$

所以固定乘一个换位 $(12)$ ，会在：

$\text{偶置换}$

和

$\text{奇置换}$

之间建立一一对应。

因此两边数量必然相同。

而：

$|S_n|=n!.$

所以：

$\boxed{|A_n|=\frac{n!}{2}}.$

例如：

$|A_3|=3,$

$|A_4|=12,$

$|A_5|=60.$

5. 现在先记住一个结构

我们目前有：

$A_n\le S_n.$

可以想象成：

$\boxed{ \text{所有置换 }S_n }$

里面分成两半：

$\boxed{ \text{偶置换 }A_n }$

和

$\boxed{ \text{奇置换} }$

但这里有个很重要的不对称：

偶置换自己构成一个群，而奇置换自己不构成群。

为什么？

因为两个奇置换相乘：

$\text{奇}\times\text{奇}=\text{偶}.$

所以奇置换集合不封闭。

比如：

$(12)(23)=(123).$

左边两个都是奇置换，

右边：

$(123)$

却是偶置换。

所以奇置换不能自己组成群。

到这里先停一下。

下一步最自然的是继续讲：

$\boxed{\text{为什么 }A_n\text{ 不只是子群，而是一个“正规子群”}}$

但“正规子群”不能直接定义，否则又会跳太快。

所以更合理的下一步是先引入：

$\boxed{\text{左陪集和右陪集}}$

因为“正规子群”本质上就是：

$\text{左陪集}=\text{右陪集}.$

而且从 $A_n\subset S_n$ 这个例子出发，陪集会非常直观。

第 3 章：奇偶性、交错群与子群 ​

3.1 换位个数的奇偶性为何定义良好 ​

第四步：为什么置换有“奇”和“偶”？ ​

1. 先看例子 ​

(12) ​

(123) ​

(1234) ​

2. 一个 k-循环是什么奇偶性？ ​

3. 可是为什么奇偶性不会因为换一种拆法而改变？ ​

4. 再看一个 ​

5. 为什么交换两个元素一定改变奇偶性？ ​

6. 现在证明关键结论 ​

7. 偶置换自己形成一个群 ​

8. A₃ 是什么？ ​

3.2 把循环写成一行排列，再计算逆序数 ​

补充证明：逆序数、符号同态与交错群的大小 ​

3.4 逐条检查偶置换确实构成群 ​

先看第一条：封闭性 ​

第二条：结合律 ​

第三条：单位元在不在里面？ ​

第四条：逆元还在不在 Aₙ 里面？ ​

3.5 交错群作为对称群的子群 ​

1. 什么是子群？ ​

2. 用 S₃ 看最清楚 ​

3. 为什么 A₃ 自己真的“关起门来”就能运算？ ​

4. 为什么 Aₙ 恰好有 Sₙ 一半那么多元素？ ​

5. 现在先记住一个结构 ​

第 3 章：奇偶性、交错群与子群

3.1 换位个数的奇偶性为何定义良好

第四步：为什么置换有“奇”和“偶”？

1. 先看例子

(12)

(123)

(1234)

2. 一个 k-循环是什么奇偶性？

3. 可是为什么奇偶性不会因为换一种拆法而改变？

4. 再看一个

5. 为什么交换两个元素一定改变奇偶性？

6. 现在证明关键结论

7. 偶置换自己形成一个群

8. A₃ 是什么？

3.2 把循环写成一行排列，再计算逆序数

补充证明：逆序数、符号同态与交错群的大小

3.4 逐条检查偶置换确实构成群

先看第一条：封闭性

第二条：结合律

第三条：单位元在不在里面？

第四条：逆元还在不在 Aₙ 里面？

3.5 交错群作为对称群的子群

1. 什么是子群？

2. 用 S₃ 看最清楚

3. 为什么 A₃ 自己真的“关起门来”就能运算？

4. 为什么 Aₙ 恰好有 Sₙ 一半那么多元素？

5. 现在先记住一个结构