第 10 章：域同态、嵌入、自同构和 Galois 群

本章对象：本篇域同态要求把 1 映到 1。 $\sigma :K\to L$ 是域映射；域同态的核映到 0，Galois 群同态的核映到恒等自同构。

10.1 嵌入的单射条件

原问题：所以嵌入就是要求是单射吗

对。

在域论里，嵌入（embedding）通常就是指一个保持域结构的单射同态。

也就是说，一个映射

$\sigma:K\to L$

如果满足：

$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b),$

$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),$

$\sigma(1)=1,$

并且还是单射，那它就是一个域嵌入。

所以你可以先记成：

$\boxed{\text{域嵌入 = 保持加法乘法的单射}}$

之所以强调“单射”，是因为它要把原来的域 $K$ 原封不动地“放进”另一个域 $L$ 里，不能把两个不同元素压成同一个。

其实对域来说，只要是非零的域同态，单射往往是自动的。因为如果

$\sigma(a)=\sigma(b),$

那么

$\sigma(a-b)=0.$

而域同态的核只能是

$\{0\}$

或者整个域；但又因为

$\sigma(1)=1\neq0,$

所以不可能整个域都进核，因此只能

$a-b=0,$

也就是

$a=b.$

所以域同态天然几乎就是嵌入。

10.2 域同态的核与乘法群同态的核

原问题：为什么，此外域同态的核，指的是加法的还是乘法的

对，这里有两个容易混淆的“核”，你问得很关键。

这里说的域同态的核，指的是把域同态看成一个加法群同态时的核，也就是：

$\boxed{ \ker\varphi=\{a\in K:\varphi(a)=0\} }$

这里对应的是目标域的加法单位元 $0$ ，不是乘法单位元 $1$ 。

假设

$\varphi:K\to L$

是域同态。

为什么它的核只能是

$\{0\}$

或者整个 $K$ ？

先假设核里出现了某个非零元素：

$a\neq0,\qquad a\in\ker\varphi.$

那么：

$\varphi(a)=0.$

因为 $K$ 是域，任何非零 $a$ 都有乘法逆元：

$a^{-1}\in K.$

于是：

$a^{-1}a=1.$

对两边作用 $\varphi$ ：

$\varphi(a^{-1}a)=\varphi(1).$

因为域同态保持乘法：

$\varphi(a^{-1})\varphi(a)=1.$

但我们已经知道：

$\varphi(a)=0.$

所以左边变成：

$\varphi(a^{-1})\cdot0=0.$

于是得到：

$0=1.$

矛盾。

因此，只要 $\varphi$ 是正常的域同态（特别是 $\varphi(1)=1$ ），就不可能有任何非零元素进入核。

所以：

$\boxed{\ker\varphi=\{0\}}$

因此域同态自动是单射。

你可能会问：

那为什么刚才还说“核只能是 $\{0\}$ 或整个域”？

这是从更一般的环同态/理想角度说的。

核有一个性质：如果

$a\in\ker\varphi$

而

$r\in K,$

那么：

$\varphi(ra) = \varphi(r)\varphi(a) = \varphi(r)\cdot0 = 0.$

所以：

$ra\in\ker\varphi.$

这种对子集的要求叫做理想（ideal）。

而一个域只有两个理想：

$\boxed{\{0\}\quad\text{和}\quad K}.$

原因也正是刚才那个逆元论证：如果一个理想里包含任何非零 $a$ ，因为 $a^{-1}\in K$ ，就有

$a^{-1}a=1$

也在理想里；一旦理想包含 $1$ ，那么任意

$x=x\cdot1$

都在理想里，因此它就是整个 $K$ 。

至于你问“有没有乘法的核”，确实也可以考虑：

$K^\times\to L^\times$

这个乘法群同态。

这时群论意义下的核是：

$\{a\in K^\times:\varphi(a)=1\}.$

这是另一回事。

所以一定要区分：

$\boxed{ \text{域/环同态的核：}\varphi(a)=0 }$

因为这里关注的是加法零元；

而

$\boxed{ \text{乘法群同态的核：}\varphi(a)=1 }$

因为乘法群的单位元是 $1$ 。

我们刚才证明“域同态自动单射”时，用的是前一种：

$\boxed{\ker\varphi=\{a:\varphi(a)=0\}}.$

10.3 域自同构与 Galois 群

现在进入 Galois 理论真正的核心概念：

$\boxed{\text{域自同构（field automorphism）}}$

先不要急着碰 $x^3-2$ 。我们从最简单的

$\mathbb Q(\sqrt2)$

开始。

一个“域自同构”可以先理解成：

把这个域里的元素重新对应到这个域里的元素，同时完全保持加法和乘法结构。

也就是说，一个映射

$\sigma:K\to K$

如果满足

$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b),$

$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),$

并且是双射，那么它就是 $K$ 的一个域自同构。

但在 Galois 理论里我们通常还会指定一个基础域，比如 $\mathbb Q$ ，要求：

$\boxed{\sigma(q)=q\qquad\forall q\in\mathbb Q}$

也就是说，所有有理数必须原封不动。

这叫：

$\boxed{\mathbb Q\text{-自同构}}$

现在研究：

$K=\mathbb Q(\sqrt2).$

里面任何元素都是：

$a+b\sqrt2,\qquad a,b\in\mathbb Q.$

如果 $\sigma$ 固定所有有理数，那么

$\sigma(a)=a,\qquad \sigma(b)=b.$

所以：

$\sigma(a+b\sqrt2) = a+b\,\sigma(\sqrt2).$

因此你会发现：

整个 $\sigma$ 怎么作用，其实完全由它把 $\sqrt2$ 送到哪里决定。

那 $\sqrt2$ 能被送到哪里？

因为：

$(\sqrt2)^2=2.$

自同构必须保持乘法，所以：

$\sigma((\sqrt2)^2) = \sigma(2).$

左边：

$\sigma((\sqrt2)^2) = \sigma(\sqrt2)^2.$

右边因为 $2\in\mathbb Q$ ，而 $\sigma$ 固定 $\mathbb Q$ ，所以：

$\sigma(2)=2.$

因此：

$\sigma(\sqrt2)^2=2.$

所以：

$\sigma(\sqrt2)$

只能是方程

$x^2-2=0$

的根。

也就是：

$\boxed{\sigma(\sqrt2)=\sqrt2\quad\text{或}\quad-\sqrt2}$

这很重要。

因此 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 有两个固定 $\mathbb Q$ 的自同构。

第一个是什么都不做：

$\sigma_1(\sqrt2)=\sqrt2.$

于是：

$\sigma_1(a+b\sqrt2)=a+b\sqrt2.$

这就是恒等自同构：

$e.$

第二个把：

$\sqrt2\mapsto-\sqrt2.$

于是：

$\sigma_2(a+b\sqrt2)=a-b\sqrt2.$

比如：

$3+5\sqrt2$

被送到：

$3-5\sqrt2.$

这看起来很像我们熟悉的“共轭”。

所以：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q) = \{e,\sigma\} }$

其中：

$\sigma(\sqrt2)=-\sqrt2.$

这个群有两个元素。

而且：

$\sigma^2=e.$

所以它和一个 2 元循环群本质上一样。

现在最关键的问题来了：

为什么自同构一定把一个多项式的根送到另一个根？

假设：

$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$

其中所有：

$a_i\in\mathbb Q.$

假设：

$f(\alpha)=0.$

也就是：

$a_n\alpha^n+\cdots+a_0=0.$

现在对两边作用 $\sigma$ ：

$\sigma(a_n\alpha^n+\cdots+a_0)=\sigma(0).$

因为 $\sigma$ 保持加法和乘法，而且固定所有 $a_i\in\mathbb Q$ ，所以：

$a_n\sigma(\alpha)^n+\cdots+a_0=0.$

也就是：

$f(\sigma(\alpha))=0.$

因此：

$\boxed{ \alpha\text{ 是根} \Longrightarrow \sigma(\alpha)\text{ 仍然是根} }$

这一步就是“域自同构”和“根的置换”之间真正的桥。

现在再回头看：

$x^2-2.$

它的两个根是：

$\sqrt2,\quad-\sqrt2.$

一个固定 $\mathbb Q$ 的自同构只能：

固定两个根；
或交换两个根。

所以这些自同构实际上就是在置换根。

这就是为什么 Galois 群天然是一个置换群。

接下来再看：

$x^3-2.$

它的分裂域是：

$K=\mathbb Q(\alpha,\omega),$

其中：

$\alpha=\sqrt[3]2,$

三个根是：

$\alpha,\quad \omega\alpha,\quad \omega^2\alpha.$

如果 $\sigma$ 是一个固定 $\mathbb Q$ 的 $K$ 的自同构，那么因为

$\alpha^3=2,$

所以：

$\sigma(\alpha)^3=2.$

因此：

$\sigma(\alpha)$

只能是三个根之一：

$\alpha,\quad \omega\alpha,\quad \omega^2\alpha.$

所以自同构一定会重新排列这三个根。

于是终于得到定义：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(K/F) = \{\text{所有固定 }F\text{ 的 }K\text{ 的域自同构}\} }$

这就是：

$\boxed{\text{Galois 群}}$

它的元素不是“根本身”，而是：

$\boxed{\text{保持基础域和所有代数运算不变时，对根允许进行的置换}}$

下一步最适合具体算：

$\boxed{ \operatorname{Gal}(x^3-2/\mathbb Q) }$

到底为什么有 6 个元素，并且为什么它就是：

$\boxed{S_3}.$

这一步会把“域自同构”和我们最开始学的置换群真正合并起来。