第 9 章：完整证明代数基本定理

9.1 假设无根，倒数为什么光滑且全纯

设 $p$ 非常数，反设 $p(z)\ne0$ 对所有 $z\in\mathbb C$ 成立。写 $p=u+iv$ ，则

$\frac1p=\frac{u-iv}{u^2+v^2}.$

$u,v$ 是实坐标的多项式，分母处处为正，所以倒数的实部、虚部都是光滑实函数。另一方面由复差商的倒数法则，

$\left(\frac1p\right)'=-\frac{p'}{p^2},$

因此 $1/p$ 是整函数，并满足 Green 路线所需的正则性。

9.2 无穷远处：最高次项不能被低次项抵消

写

$p(z)=a_nz^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^k, \qquad a_n\ne0.$

反三角不等式给出

$|p(z)|\ge |a_n||z|^n -\sum_{k=0}^{n-1}|a_k||z|^k.$

除以 $|z|^n$ 后，低次部分为有限和

$\sum_{k=0}^{n-1}|a_k||z|^{k-n}\longrightarrow0.$

所以存在 $R_0\ge1$ ，使 $|z|\ge R_0$ 时

$\boxed{|p(z)|\ge\frac{|a_n|}{2}|z|^n.}$

于是 $|p(z)|\to\infty$ ，且

$\left|\frac1{p(z)}\right| \le\frac{2}{|a_n||z|^n} \le\frac{2}{|a_n|R_0^n}.$

这个估计对所有方向同时成立，不是只沿实轴观察增长。

9.3 有限闭圆盘：无零点加紧致性给出正下界

在紧集 $K=\{z:|z|\le R_0\}$ 上，连续函数 $|p|$ 取得最小值 $m$ 。无根假设保证达到最小值的点也不为零，所以

$m=\min_{z\in K}|p(z)|>0, \qquad\left|\frac1{p(z)}\right|\le\frac1m\quad(z\in K).$

单独说“每个点都不为零”并不能在任意非紧集上得到统一正下界，这里紧致性不可省略。也可以直接对连续函数 $1/p$ 在闭圆盘上取最大值。

内外两部分合并，得到全局统一上界

$\left|\frac1{p(z)}\right|\le M=\max\left\{\frac1m,\frac{2}{|a_n|R_0^n}\right\}.$

9.4 应用 Liouville，完成矛盾

$1/p$ 是有界整函数，且属于本篇已证的光滑类，因此 $1/p=c$ 为常数。由于 $1/p(z)$ 在每个点都非零， $c\ne0$ ，故 $p=1/c$ 是常数，与 $n\ge1$ 矛盾。

也可以使用无穷远处 $1/p\to0$ ：常数 $c$ 只能为零，但 $1/p$ 不可能为零，同样矛盾。

因此

$\boxed{\text{每个非常数 }p\in\mathbb C[x] \text{ 都在 }\mathbb C\text{ 中有根。}}$

9.5 从一个根到全部一次因子

找到根 $\alpha_1$ 后，用多项式除法：

$p(x)=(x-\alpha_1)q(x)+r.$

余数为常数，代入 $\alpha_1$ 得 $r=0$ 。若 $q$ 仍非常数，再应用已经证明的定理。每次次数下降 $1$ ，有限次得到

$\boxed{p(x)=a_n\prod_{j=1}^{n}(x-\alpha_j), \qquad\alpha_j\in\mathbb C.}$

根允许重复，因此“次数为 $n$ 就有 $n$ 个根”应当说成计重数恰有 $n$ 个复根。例如 $(x-1)^2$ 只有一个不同的根，却有重数 $2$ 。等价的域论表述是 $\mathbb C$ 为代数闭域。

9.6 接回此前的代数学笔记

代数基本定理说明复数域中多项式可以完全分裂；它并不说明根能用系数的有限次四则运算和开方表达。五次方程的根式障碍仍由伽罗瓦群的不可解性决定。

可以接着阅读伽罗瓦理论笔记与五次方程证明框架笔记。分圆域中的复单位根则与第 10 章的欧拉公式直接相接，见多项式与分圆域笔记。