第 2 章：复可微为什么施加了更强的条件

2.1 差商必须有一个真正的二维极限

复导数定义为

$f'(z_0)=\lim_{h\to0,\ h\in\mathbb C} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}h.$

$h$ 可以沿实轴、虚轴、任意射线，也可以沿弯曲路径趋近零。必须对所有趋近方式得到同一极限。只检验若干方向，甚至每条固定射线，都不能代替整个二维极限。

在开集上处处复可微，叫作全纯；在整个 $\mathbb C$ 上全纯，叫作整函数。只在一个点复可微，不足以推出附近全纯，更不能直接推出无限次可微。

例如 $f(z)=z^2$ ：

$\frac{(z+h)^2-z^2}{h}=2z+h\longrightarrow2z.$

这个计算不依赖 $h$ 的方向，因此 $f'(z)=2z$ 。同理，所有复系数多项式都是整函数。

反例是 $f(z)=\bar z$ 。在任一点，其差商都为 $\bar h/h$ 。若 $h=t$ 为实数，结果是 $1$ ；若 $h=it$ ，结果是 $-1$ 。所以共轭函数处处不复可微，尽管作为实平面的映射 $(x,y)\mapsto(x,-y)$ ，它十分光滑。

2.2 从两条坐标轴推导柯西–黎曼方程

写 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 。沿实轴 $h=\Delta x$ 取差商，得到

$f'(z_0)=u_x+iv_x.$

沿虚轴 $h=i\Delta y$ ，由于 $1/i=-i$ ，得到

$f'(z_0)=\frac{u_y+iv_y}{i}=v_y-iu_y.$

若复导数存在，这两个数必须相等；比较实部、虚部：

$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.}$

这就是柯西–黎曼方程，简称 CR 方程。复可微本身保证这里的偏导存在。

对 $z^2$ ，有 $u=x^2-y^2$ 、 $v=2xy$ ；于是 $u_x=v_y=2x$ ， $u_y=-2y=-v_x$ 。对 $\bar z$ ，有 $u=x$ 、 $v=-y$ ，故 $u_x=1$ 而 $v_y=-1$ ，CR 方程失败。

2.3 必要条件何时成为充分条件

只知道一个点的偏导满足 CR，不一定复可微。若实二元函数 $u,v$ 在该点实可微，则一阶展开为

$\begin{aligned} \Delta u&=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|h|),\\ \Delta v&=v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(|h|). \end{aligned}$

代入 CR 方程后，

$f(z_0+h)-f(z_0)=(u_x+iv_x)h+o(|h|).$

除以 $h$ ，误差的模趋于零，因此复导数存在。偏导在邻域连续是保证实可微的一个常用充分条件。

几何上，实可微只要求一个任意实线性近似；复可微要求线性近似必须是“乘以一个复数”。对应矩阵为

$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}, \qquad f'(z_0)=a+ib.$

它是旋转与伸缩的组合，不能随意把两个方向拉伸成不同倍数。这比普通二维实可微增加了结构约束。邻域中处处满足这样的条件，才产生全纯函数的强刚性。