第 10 章：欧拉公式为什么能把圆写成指数

10.1 先定义复指数，避免“直接把实数换成复数”的跳跃

定义

$e^z:=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, \qquad z\in\mathbb C.$

对于实数，它与熟悉的指数函数一致。对复数，先证明这个级数确实收敛，才有权用它定义函数。

因复数模满足 $|z^n|=|z|^n$ ，绝对值级数为

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|z|^n}{n!}.$

若 $z\ne0$ ，相邻项之比为 $|z|/(n+1)\to0<1$ ，所以比值判别法保证收敛。 $z=0$ 单独处理：只有第一项为 $1$ ，其余为零。于是对任何固定复数 $z$ 都绝对收敛，收敛半径为无穷大。

这里“阶乘最终压过指数”只是直觉，严格的收敛依据是比值判别法，第 11 章会证明它。

10.2 利用 i 的幂循环，拆成两条实级数

对实数 $\theta$ ， $i$ 的幂按 $1,i,-1,-i$ 循环。由绝对收敛，可把偶数项与奇数项分别收集：

$\begin{aligned} e^{i\theta} &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!} +i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}\\ &=\cos\theta+i\sin\theta. \end{aligned}$

本篇使用实微积分中已经证明的正弦、余弦幂级数展开。因此

$\boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.}$

指数里有 $i$ ，普通实指数 $e^\theta$ 不代表单位圆上的旋转。

10.3 模、角度与圆周参数化

由 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ ，

$|e^{i\theta}|=1.$

随着 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ ，它逆时针走一圈。几个特殊值是

$e^{i0}=1,\quad e^{i\pi/2}=i,\quad e^{i\pi}=-1,\quad e^{i2\pi}=1.$

任意非零复数均可写为 $z=re^{i\theta}$ ， $r=|z|>0$ ；角度只确定到整数倍 $2\pi$ 。圆 $|z-z_0|=r$ 可写成 $z=z_0+re^{it}$ 。

参数求导不必提前引用复指数的全纯性：对欧拉公式两边关于实参数 $t$ 求导，

$\frac d{dt}e^{it}=-\sin t+i\cos t=ie^{it}.$

所以第 3 章使用的 $dz=ire^{it}dt$ 有清楚的实微积分依据。