第 12 章：公式速查、复习问题与来源核对

12.1 公式必须连着条件记

公式	使用条件与作用
$f'(z_0)=\lim_{h\to0}[f(z_0+h)-f(z_0)]/h$	真正的复平面极限，不是只比较两条轴
$u_x=v_y,\ u_y=-v_x$	复可微的必要条件；配合实可微可作充分条件
$\int_\gamma f\,dz=\int f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$	曲线分段光滑，函数在曲线上连续
$\|\int_\gamma f\,dz\|\le M L(\gamma)$	$\|f\|\le M$ 在曲线上成立
$\oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA$	连续偏导、规则区域、整个正向边界
$\oint_{\partial D}f\,dz=0$	本篇证明用 $C^1$ 全纯函数，定义在闭区域邻域
$\oint_{C_r^+}dz/(z-z_0)=2\pi i$	$r>0$ ，逆时针一圈
$f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint_C f(\zeta)/(\zeta-z_0)\,d\zeta$	正向简单闭曲线，内部点，公式中的函数 $f$ 满足全纯条件
$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C f(\zeta)/(\zeta-z_0)^{n+1}\,d\zeta$	固定曲线，内部点与曲线有正距离
$\|f^{(n)}(z_0)\|\le n!M_R/R^n$	在整个闭圆盘附近有公式； $M_R$ 是圆周上界
$\|f'(z_0)\|\le M/R\Rightarrow f'=0$	全局同一个 $M$ ，定义域允许任意大 $R$
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$	$\theta$ 为实数；由绝对收敛幂级数推导

12.2 两条容易记住的估计

小圆用于恢复函数值：曲线长度中的 $\varepsilon$ 与核的 $1/\varepsilon$ 抵消，最后由连续性压小误差。

大圆用于控制导数：曲线长度给 $R$ ，导数核给 $1/R^2$ ，留下 $1/R$ ；有界整函数允许让 $R$ 任意大。

这两种极限方向不同，却都由同一条 ML 不等式完成。

12.3 自测：能回答这些问题，就抓住了主线

为什么 $\bar z$ 作为实映射很光滑，却没有复导数？
CR 方程成立为什么不能单独保证一点复可微？
Green 定理中 $-P_y$ 的负号来自哪条边的方向？
圆环上全纯为什么只保证外圆积分等于内圆积分？
$\oint dz/z=2\pi i$ 与柯西定理为什么不矛盾？
积分 $1/z$ 时，公式里要求全纯的 $f$ 为什么可以是 $1$ ？
小圆误差趋零究竟用了哪个连续性估计？
把导数放入积分为什么需要内部点与曲线保持距离？
只有圆周上界 $M_R$ 时，为什么不能直接推出 Liouville？
“无根”如何配合闭圆盘紧致性给出 $|p|$ 的正下界？
为什么“复根存在”仍不等于“能用根式写出复根”？
绝对收敛如何控制任意重排后的部分和？为什么不改顺序的有限分组要求更弱？

12.4 原对话覆盖索引

原分享中共有 26 段可见数学回答，下表以出现顺序编号。系统消息、隐藏推理及“Original custom instructions no longer available”占位文本不计入数学正文。原用户追问和助手正文按顺序保留在资料目录；下表说明每段在本篇的落点。

原回答	主题	本篇位置
A01	目标、证明路线、复导数、共轭反例	第 1—2 章
A02	CR 方程与必要、充分条件	第 2 章
A03	曲线积分、原函数、单位圆积分	第 3 章
A04	Green 与 CR 推出柯西定理	第 4—5 章
A05	挖洞、柯西公式、小圆误差	第 6 章
A06	圆环、整个定向边界、切口	第 5—6 章
A07	单连通、收缩、洞与绕数	第 5 章
A08	小圆积分与精确等式	第 6 章
A09	$1/z$ 能否使用柯西公式	第 7 章
A10	区分公式里的函数与整个被积函数	第 7 章
A11	柯西导数公式	第 8 章
A12	Liouville 的导数估计	第 8 章
A13	估计与最终矛盾的关系	第 8—9 章
A14	复可微的强约束	第 2、8 章
A15	柯西相关公式汇总	第 12 章
A16	Green 定理的矩形证明	第 4 章
A17	简单区域、拼接与内边界方向	第 4 章
A18	$\mathbb C[x]$ 与 $\mathbb Q[x]$	第 1 章
A19	系数与根的所在域	第 1 章
A20	欧拉公式及特殊角度	第 10 章
A21	欧拉公式的幂级数推导	第 10 章
A22	代入 $i\theta$ 为什么收敛	第 10—11 章
A23	任意固定复数的绝对收敛	第 10—11 章
A24	比值判别的几何级数依据	第 11 章
A25	重排与有限分组的区别	第 11 章
A26	绝对收敛保证任意重排的证明	第 11 章

12.5 本版补充与校正

本版补充了：ML 不等式的推导；CR 在实可微假设下的充分性；积分与求导交换的一致估计；导数为零推出常数的线段证明；多项式最高次项的统一下界；有限闭圆盘上的正下界；从一个根递归得到全部一次因子；复级数的 Cauchy 收敛说明；用有限和完成重排证明；偶数、奇数子级数拆分的合法性。

本版校正或收紧了：一点复可微与邻域全纯的区别；Green 路线的 $C^1$ 条件和循环论证风险；同伦必须保持闭曲线；单连通是通用充分条件，不是具体积分为零的逐例必要条件；切一刀的严格处理需要细切口极限；柯西公式需正向绕内部点一次；比值判别中的 $z=0$ 例外；不改顺序的连续有限分组对任何收敛级数都保持和；收集两个无限子级数不能字面解释成先排完第一组。

本篇作为已知使用的实分析基础是：一维微积分基本定理、连续函数的迭代积分、紧集上的极值定理、实数与复数的完备性，以及正弦、余弦的实幂级数展开。一般柯西–古尔萨定理、一般同伦不变性、留数定理和 Riemann 重排定理未在本篇完整证明。原对话最后列出的 Riemann 映射定理只是后续学习建议，未发生实际讲解。

学习重点是把每一步的条件、对象与估计连接起来：不是背下“全纯所以积分为零”，而是确认函数在哪个区域全纯、积分的是哪条定向边界，以及哪一个量能在极限中被压到零。

第 12 章：公式速查、复习问题与来源核对 ​

12.1 公式必须连着条件记 ​

12.2 两条容易记住的估计 ​

12.3 自测：能回答这些问题，就抓住了主线 ​

12.4 原对话覆盖索引 ​