第 6 章：挖掉一个小圆，推导柯西积分公式

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6.1 条件和“有奇点”的对象

设 $C$ 是逆时针简单闭曲线，围成区域 $\Omega$ ； $f$ 在 $\overline\Omega$ 的邻域全纯且属于 $C^1$ ， $z_0\in\Omega$ 。本篇可以直接取 $C$ 为圆。

考虑

$g(\zeta)=\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}.$

$f$ 在 $z_0$ 没有奇点，但 $g$ 可能有奇点。我们不能对原来的整个区域直接断言 $\oint_Cg\,d\zeta=0$ 。

在 $z_0$ 周围挖去闭小圆盘，取足够小的 $\varepsilon>0$ 使它完全位于 $\Omega$ 中，剩下区域记作 $D_\varepsilon$ 。在该区域及其边界附近， $g$ 满足 Green 路线的条件。

6.2 环形区域需要整个边界

设 $C_\varepsilon^+$ 是以 $z_0$ 为中心的小圆，逆时针。实际的内边界是顺时针，所以

$\partial D_\varepsilon=C-C_\varepsilon^+.$

应用边界版柯西定理：

$0=\oint_C g(\zeta)\,d\zeta -\oint_{C_\varepsilon^+}g(\zeta)\,d\zeta.$

因此

$\boxed{\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\,d\zeta =\oint_{C_\varepsilon^+} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}\,d\zeta.}$

这正是原对话中“挖了洞以后还需要过渡”的答案：使用的是定向边界之和，不是说外边界单独积分为零。

6.3 小圆积分：精确项与误差项

把函数拆成

$f(\zeta)=f(z_0)+[f(\zeta)-f(z_0)].$

于是小圆积分为

$f(z_0)\oint_{C_\varepsilon^+}\frac{d\zeta}{\zeta-z_0} +E_\varepsilon, \qquad E_\varepsilon=\oint_{C_\varepsilon^+} \frac{f(\zeta)-f(z_0)}{\zeta-z_0}\,d\zeta.$

第一项由第 3 章的圆周计算，恰好是 $2\pi i f(z_0)$ ，不含近似。

第二项用 ML 不等式。小圆长度为 $2\pi\varepsilon$ ，分母模为 $\varepsilon$ ，故

$\begin{aligned} |E_\varepsilon| &\le2\pi\varepsilon\cdot \frac{\max_{|\zeta-z_0|=\varepsilon}|f(\zeta)-f(z_0)|}{\varepsilon}\\ &=2\pi\max_{|\zeta-z_0|=\varepsilon}|f(\zeta)-f(z_0)| \longrightarrow0. \end{aligned}$