第 8 章：限制映射，把大群的可解性传给分裂域

本章任务：证明 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 是可解大群的商群，并完整补齐可解群关于子群、商群与扩张的三个引理。

8.1 同一个 E，已经落在 N 中

第 4 章由根式公式假设得到 $E\subseteq R$ ，第 6 章得到 $R\subseteq N$ ，所以

$F\subseteq E\subseteq N.$

第 2 章证明 $E/F$ Galois，第 6 章证明 $N/F$ Galois。第 7.3 节的全部条件已满足，于是限制映射给出

$\operatorname{res}:\operatorname{Gal}(N/F) \twoheadrightarrow\operatorname{Gal}(E/F), \qquad \ker\operatorname{res}=\operatorname{Gal}(N/E),$

因此

$\boxed{ \operatorname{Gal}(E/F) \cong\frac{\operatorname{Gal}(N/F)}{\operatorname{Gal}(N/E)}. }$

大群的元素是 $N$ 上的自同构，目标群的元素是 $E$ 上的自同构；限制不是把这些映射当作完全相同的对象，而是改变它们作用的输入范围。

8.2 为什么是商群，而不是直接当作子群

一个 $E$ 的自同构可能有多个延拓到 $N$ 。若两个 $N$ 自同构在 $E$ 上相同，则它们之差 $\sigma^{-1}\tau$ 逐点固定 $E$ ，属于 $\operatorname{Gal}(N/E)$ 。因此“它们在 $E$ 上产生相同作用”对应一个核的陪集。

把同一个陪集内的延拓认作一类，才得到 $E$ 上的一个自同构。这就是商群在这里出现的原因。一般没有一个自然、保持复合的“任选延拓”方式把 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 直接嵌入大群。

8.3 补充完整证明：可解群的子群仍可解

原问题 A05：可解群的子群和商群都是可解的是吗

设 $G=G_0\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{1\}$ 是可解列， $H\le G$ 。令 $H_i=H\cap G_i$ 。

对 $h\in H_i$ 、 $u\in H_{i+1}$ ， $huh^{-1}$ 同时属于 $H$ 与 $G_{i+1}$ ：前者由 $H$ 封闭，后者由 $G_{i+1}\triangleleft G_i$ 。故 $H_{i+1}\triangleleft H_i$ 。

定义

$H_i/H_{i+1}\longrightarrow G_i/G_{i+1}, \qquad hH_{i+1}\longmapsto hG_{i+1}.$

换代表元只差一个 $H_{i+1}\subseteq G_{i+1}$ 的元素，所以良定义；陪集乘法表明它保持运算。核中满足 $h\in G_{i+1}$ ，又 $h\in H$ ，故 $h\in H_{i+1}$ ，所以单射。

目标阿贝尔，定义域也阿贝尔。于是

$H=H_0\triangleright\cdots\triangleright H_r=\{1\}$

是一条可解列， $H$ 可解。相邻交集若相等，删去重复项即可。

8.4 补充完整证明：可解群的商群仍可解

设 $K\triangleleft G$ ， $\pi:G\to G/K$ 是投影。记 $Q_i=\pi(G_i)$ 。像保持包含，因此

$G/K=Q_0\supseteq\cdots\supseteq Q_r=\{1\}.$

若 $a\in G_i$ 、 $b\in G_{i+1}$ ，则

$\pi(a)\pi(b)\pi(a)^{-1}=\pi(aba^{-1})\in Q_{i+1}.$

所以 $Q_{i+1}\triangleleft Q_i$ 。因 $G_i/G_{i+1}$ 阿贝尔，任意 $a,b\in G_i$ 的交换子 $aba^{-1}b^{-1}\in G_{i+1}$ 。应用 $\pi$ ，便知 $Q_i/Q_{i+1}$ 中的交换子都是单位元，即该商阿贝尔。

于是投影后的列是一条可解列， $G/K$ 可解。这里仅需相邻正规性，没有暗中要求所有 $G_i$ 正规于整个 $G$ 。

8.5 补充完整证明：可解的核与商能拼出可解的整体

设 $K\triangleleft G$ ， $K$ 可解， $G/K$ 可解。令 $\pi:G\to G/K$ ，取商群的一条可解列

$G/K=Q_0\triangleright Q_1\triangleright\cdots\triangleright Q_s=\{1\}.$

取逆像 $L_i=\pi^{-1}(Q_i)$ ，有 $L_0=G$ 、 $L_s=K$ 。若 $a\in L_i$ 、 $b\in L_{i+1}$ ，其像的共轭仍在 $Q_{i+1}$ ，故 $aba^{-1}\in L_{i+1}$ 。因此 $L_{i+1}\triangleleft L_i$ 。

映射 $L_i\to Q_i/Q_{i+1}$ 由 $\pi$ 再投影得到，满射且核为 $L_{i+1}$ ；第 7.3 节同样的陪集验证给出

$L_i/L_{i+1}\cong Q_i/Q_{i+1},$

所以这些商都阿贝尔。把 $K$ 自己的可解列接在 $L_s=K$ 后面，得到 $G$ 的可解列。因此

$\boxed{K\text{ 可解且 }G/K\text{ 可解}\ \Longrightarrow\ G\text{ 可解。}}$

不要求 $G$ 由核与商群的直积构成；这个引理处理的正是一般的群扩张。

8.6 现在才把结论传给原方程

第 7 章给出 $\operatorname{Gal}(N/F)$ 可解；第 8.1 节给出 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 是其商群；第 8.4 节给出可解性在商群下保持。于是

$\boxed{ \text{假设全部根有根式表达式} \ \Longrightarrow\ \operatorname{Gal}(E/F)\text{ 可解。} }$

这才完整接上“根式可解”与“Galois 群可解”。三个可解性引理中，这一步具体使用商群引理；子群引理稍后用于 $S_5$ 的障碍，扩张引理解释跨层拼接。

第 8 章：限制映射，把大群的可解性传给分裂域 ​

8.1 同一个 E，已经落在 N 中 ​

8.2 为什么是商群，而不是直接当作子群 ​

8.3 补充完整证明：可解群的子群仍可解 ​

8.4 补充完整证明：可解群的商群仍可解 ​

8.5 补充完整证明：可解的核与商能拼出可解的整体 ​

8.6 现在才把结论传给原方程 ​