第 7 章：域塔怎样变成可解群的正规列

本章任务：证明 $\operatorname{Gal}(N/F)$ 可解，并补齐限制映射与商群识别所需的域论工具。

7.1 可解群定义要求的是相邻正规与阿贝尔商

群 $G$ 可解，是指存在有限列

$G=G_0\triangleright G_1\triangleright\cdots\triangleright G_r=\{1\},$

每个 $G_{j+1}$ 正规于 $G_j$ ，且每个 $G_j/G_{j+1}$ 阿贝尔。相邻项可以相等，重复项删去即可。不要求各 $G_j$ 都正规于整个 $G$ ；第 6 章的构造碰巧满足更强的条件。

要从域塔得到这样的群列，需要解释：这些子群是什么、正规性为什么成立、商群为什么等于相邻域层的群。

7.2 补充证明：嵌入可以逐个代数元延拓

设 $K\subseteq L$ 有限代数，已有域嵌入 $\varphi:K\to\Omega$ ， $\Omega$ 代数闭。先加入一个 $u\in L$ ，设其最小多项式是 $p(t)\in K[t]$ 。

将系数逐项应用 $\varphi$ ，得到 $p^\varphi(t)\in\varphi(K)[t]$ 。系数域同构保持不可约性：若新多项式可约，逆向传回系数就会分解 $p$ 。在 $\Omega$ 中取 $p^\varphi$ 的一个根 $v$ ，定义

$\widetilde\varphi\left(\sum_{j=0}^{d-1}c_ju^j\right) =\sum_{j=0}^{d-1}\varphi(c_j)v^j, \qquad d=\deg p.$

为何良定义并保持运算？求值映射的核是 $(p)$ ：对任意多项式先除以 $p$ ，若余式在 $u$ 处为零，余式次数更低，只能为零。故 $K(u)\cong K[t]/(p)$ 。同理， $\varphi(K)[t]/(p^\varphi)$ 是域，并可嵌入 $\Omega$ ，把 $t$ 的类送到 $v$ 。上述映射正是这两个商域之间的系数同构加求值，因而良定义、保加法乘法，并且单射。它显然延拓 $\varphi$ 。

有限扩张可以由有限个代数元生成：例如取一组有限基，其元素生成整个域。逐个重复这个构造，就将 $\varphi$ 延拓到整个 $L$ 。

这个引理只保证像在代数闭包中。若 $L/K$ 正规，并且原嵌入固定 $K$ ，才进一步保证像等于 $L$ ，使延拓成为自同构。

7.3 补充证明：限制映射与商群的一般模板

设

$B\subseteq C\subseteq D, \qquad D/B\text{ 有限 Galois},\quad C/B\text{ Galois}.$

定义

$\operatorname{res}:\operatorname{Gal}(D/B) \longrightarrow\operatorname{Gal}(C/B),\qquad \sigma\longmapsto\sigma|_C.$

逐项检查如下。

值域正确： $C/B$ 正规，使固定 $B$ 的嵌入把 $C$ 送回 $C$ ；因此 $\sigma|_C$ 确实是 $C$ 的自同构。
同态：对 $c\in C$ ， $\operatorname{res}(\sigma\tau)(c)=\sigma(\tau(c))=(\sigma|_C)(\tau|_C)(c)$ 。
核：映到恒等自同构，恰好表示逐点固定 $C$ ，故核为 $\operatorname{Gal}(D/C)$ 。
满射：任取 $\tau\in\operatorname{Gal}(C/B)$ ，用第 7.2 节延拓到 $D\to\Omega$ ；延拓仍固定 $B$ ，而 $D/B$ 正规使其像为 $D$ 。它于是属于 $\operatorname{Gal}(D/B)$ ，限制回 $C$ 就是原 $\tau$ 。