第 4 章：分裂域的位置，是中间域而不必是列出的层

原问题 A03：还是感觉差点意思，我的意思是说，如何保证根的域和系数的域就是这个塔的一部分

本章任务：准确证明 $F\subseteq E\subseteq R$ ，并区分“包含在塔顶中”与“出现在塔的建造记录中”。

4.1 系数域为什么在塔底

“用系数表达根”表示以这些系数及有理常数作为初始元素。先允许所有四则运算，就得到它们生成的域 $F$ 。之后才按第 3 章加入根式。因此从 $F$ 起塔是公式语义的翻译。

即使一个公式只实际使用部分系数，从完整系数域 $F$ 起塔仍然可行：扩大初始可用元素，只会允许更多运算，不会破坏公式。

4.2 分裂域为什么包含在塔顶

第 3 章得到 $F\subseteq R$ 与 $x_i\in R$ 。而

$E=F(x_1,\ldots,x_5)$

的定义，是包含 $F$ 和全部 $x_i$ 的最小域。 $R$ 本身就是这样一个域，所以

$\boxed{F\subseteq E\subseteq R.}$

这里“所有根都在 $R$ ”使用反证假设；“由此它们生成的域也在 $R$ ”使用生成域的最小性。这是两个明确的理由。

4.3 更正原对话例子：真正没列出的中间域

原对话取 $\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$ 作例子，暗示它没被列在

$\mathbb Q\subseteq\mathbb Q(\sqrt2) \subseteq\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$

中。然而令 $u=\sqrt2+\sqrt3$ ，就有 $u^{-1}=\sqrt3-\sqrt2$ ，故

$\sqrt2=\frac{u-u^{-1}}2,\qquad \sqrt3=\frac{u+u^{-1}}2.$

所以 $\mathbb Q(u)=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ ，它恰好等于塔顶。原结论成立，例子应改为下面这个。

取 $f(t)=t^2-6$ ，其分裂域是

$E=\mathbb Q(\sqrt6).$

用 $\sqrt6=\sqrt2\sqrt3$ 表达根，可采用塔

$\mathbb Q=R_0\subset R_1=\mathbb Q(\sqrt2) \subset R_2=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=R.$

于是 $E\subseteq R$ ，但 $E$ 不是这三层中的任何一层。

逐项证明。 $[E:\mathbb Q]=2$ ，因为 6 不是有理数平方，故 $E\ne R_0$ 。若 $\sqrt6=a+b\sqrt2$ ，其中 $a,b\in\mathbb Q$ ，平方比较系数得到

$a^2+2b^2=6,\qquad 2ab=0.$

若 $b=0$ ，有理数平方为 6，不可能；若 $a=0$ ，有 $b^2=3$ ，也不可能。所以 $E\ne R_1$ 。类似地， $\sqrt3\notin\mathbb Q(\sqrt2)$ ：平方后只能得到有理数平方为 3 或为 $3/2$ ，都不可能。因此 $[R:\mathbb Q]=4$ ，而 $[E:\mathbb Q]=2$ ，故 $E\ne R_2$ 。这些平方不可能性可由有理数既约分式中素因子指数的奇偶性直接验证。

4.4 在图里，E 与各 Rᵢ 未必可比较

准确的图是：有一座从 $F$ 到 $R$ 的根式塔；另有从 $F$ 到 $R$ 的中间域 $E$ 。一般并不知道对每个 $i$ ，是 $E\subseteq R_i$ 还是 $R_i\subseteq E$ 。

上例中 $E=\mathbb Q(\sqrt6)$ 与 $R_1=\mathbb Q(\sqrt2)$ 都是二次域且不相等，所以彼此不包含。只能确定它们都包含 $F$ 、都包含在 $R$ 中。

回到主线：后面使用 $E\subseteq N$ 和限制映射，将大群的信息传给 $E$ 。完全不需要把 $E$ 硬塞成原根式塔某一层。