第 6 章：逐层补共轭，构造对原基础域 Galois 的大域

本章任务：实际构造 $R\subseteq N$ ，同时保证 $N/F$ Galois，并保留可解性所需的阿贝尔层。不能只写“取正规闭包”就跳到“群可解”。

6.1 先看为什么只补各层负号不够

第 3.8 节中的塔满足 $\alpha^2=2$ 、 $\beta^2=1+\alpha$ 。若一个固定 $\mathbb Q$ 的嵌入把 $\alpha$ 送到 $-\alpha$ ，它必须把 $\beta$ 送到某个满足

$\gamma^2=1-\alpha$

的元素。只把 $\beta$ 换成 $-\beta$ ，其平方仍是 $1+\alpha$ ，并没有补出这次嵌入需要的像。

因此要补的对象包括被开方数在基础域自同构下的所有像，再对它们开根。第 5 章处理的单位根倍数，只是固定某一个被开方数时的根。

6.2 本章将证明的构造结论

原始塔为

$F=R_0\subseteq R_1\subseteq\cdots\subseteq R_m=R, \quad R_i=R_{i-1}(\alpha_i),\quad\alpha_i^{n_i}=a_i\in R_{i-1}.$

将构造

$F\subseteq M_0\subseteq M_1\subseteq\cdots\subseteq M_m=N,$

满足下表。

条件	为什么需要
$R_i\subseteq M_i$	新塔保留原公式的全部运算结果
每个 $M_i/F$ 有限 Galois	每层对原基础域稳定，方便使用限制映射
$\operatorname{Gal}(M_0/F)$ 阿贝尔	加单位根的那一层也纳入证明
每个 $\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1})$ 阿贝尔	将新塔翻译为可解群的正规列

注意 $F$ 始终不变。不能先把底层扩大到 $F(\mu_q)$ ，最后却忘记证明回到原 $F$ 时的群仍可解。

6.3 两个域论事实及其理由

特征零保证代数扩张可分。首一不可约多项式 $p$ 的导数 $p'$ 非零且次数更低。若 $p$ 有重根，便有 $\gcd(p,p')\ne1$ ；不可约性会迫使 $p\mid p'$ ，与次数矛盾。因此不可约多项式的根互异。

有限可分扩张的正规性，可用嵌入稳定来检验。若有限扩张 $L/K$ 中每个有根的不可约 $K$ 多项式都分裂，那么固定 $K$ 的嵌入把每个生成元送到其最小多项式的另一个根，也在 $L$ ，所以像包含在 $L$ ；有限维数给出像等于 $L$ 。反方向：任一最小多项式的任一根都定义一个简单扩张的嵌入，再按第 7.2 节的延拓构造延到 $L$ ；若所有嵌入都稳定 $L$ ，这些根便全在 $L$ 。该延拓证明独立于本章，不以正规性或可解性为前提。

特别地，共同分裂域的生成元是已加入的多项式根，任何固定系数域的嵌入仍把它们送到已加入的根；因此共同分裂域正规。

6.4 从第一层开始归纳

设 $M_0=F(\mu_q)$ ，其中 $q$ 为全部 $n_i$ 的最小公倍数。第 5.2 节已证明 $M_0/F$ 有限 Galois，群阿贝尔；并且 $R_0=F\subseteq M_0$ 。

归纳假设已经构造 $M_{i-1}$ ，使其对 $F$ 有限 Galois，且 $R_{i-1}\subseteq M_{i-1}$ 。定义有限集合

$\mathcal A_i=\{\sigma(a_i):\sigma\in\operatorname{Gal}(M_{i-1}/F)\}.$

群有限，因为有限扩张的嵌入个数不超过扩张次数：逐个加入代数生成元，每次像只能从有限个最小多项式的根中选择。故上面的集合也有限。

令 $M_i$ 是在 $M_{i-1}$ 上加入所有多项式

$t^{n_i}-b,\qquad b\in\mathcal A_i$

的全部根所得的域。由于多项式和根的数目有限，这一步是有限扩张。

6.5 它为什么仍包含原始塔的这一层

恒等自同构属于 $\operatorname{Gal}(M_{i-1}/F)$ ，所以 $a_i\in\mathcal A_i$ 。我们加入 $t^{n_i}-a_i$ 的所有根，当然包括原先选定的 $\alpha_i$ 。又有 $R_{i-1}\subseteq M_{i-1}$ ，于是

$R_i=R_{i-1}(\alpha_i)\subseteq M_i.$

这个包含关系逐层归纳，最后得到 $R\subseteq N$ 。

6.6 这一阶段的群为什么阿贝尔

因为 $n_i\mid q$ ，所有 $n_i$ 次单位根属于 $M_0$ ，因而属于 $M_{i-1}$ 。对每个非零 $b\in\mathcal A_i$ ，选一个根 $\beta_b$ ；其他根均为单位根倍数。 $b=0$ 时只有根 0，不增加扩张。

所以

$M_i=M_{i-1}(\beta_b:b\in\mathcal A_i,\ b\ne0),$

且第 5.5 节给出

$\operatorname{Gal}(M_i/M_{i-1}) \hookrightarrow\prod_{b\in\mathcal A_i,\ b\ne0}\mu_{n_i}.$

这既证明该层 Galois，也证明其群阿贝尔。一个阶段可能加入多个根式，所以群是循环群有限直积的子群，不能一律说它循环。

6.7 最关键的补充证明：为什么 Mᵢ 对原 F 也正规

任取固定 $F$ 的嵌入 $\tau:M_i\to\Omega$ 。归纳假设使

$\tau(M_{i-1})=M_{i-1},\qquad \eta=\tau|_{M_{i-1}}\in\operatorname{Gal}(M_{i-1}/F).$

对 $b=\sigma(a_i)\in\mathcal A_i$ ，有

$\tau(b)=\eta\sigma(a_i)\in\mathcal A_i.$

因此 $\tau$ 把被开方数集合送回自身； $\eta^{-1}$ 也如此，故实际上置换这个集合。

若 $\beta^{n_i}=b\in\mathcal A_i$ ，则

$\tau(\beta)^{n_i}=\tau(b)\in\mathcal A_i.$

所有这样的多项式的根已经加入 $M_i$ ，所以 $\tau(\beta)\in M_i$ 。 $M_i$ 由 $M_{i-1}$ 和这些根生成，因此 $\tau(M_i)\subseteq M_i$ 。

最后， $\tau$ 是固定 $F$ 的单射线性映射，有限维数给出

$[\tau(M_i):F]=[M_i:F],$

结合像的包含得到 $\tau(M_i)=M_i$ 。所以 $M_i/F$ 正规；特征零保证可分，故是有限 Galois 扩张。归纳完成。

6.8 最终得到的是怎样的大域

设 $N=M_m$ 。我们已经证明

$\boxed{ R\subseteq N,\quad N/F\text{ 有限 Galois}, \quad\text{新塔每个阶段的相对群都阿贝尔。} }$

这是一种明确的正规化构造，不要求 $N$ 恰好是 $R/F$ 的最小正规闭包。加入额外单位根后， $N$ 可能更大。证明只需要它有限、包含 $R$ 、对 $F$ Galois，且拥有这些阿贝尔层。

如果只知道某个根 $u$ 在 $R$ 中，那么 $u\in N$ ；因 $N/F$ 正规，它包含 $u$ 的全部 $F$ 共轭。对于不可约的原多项式，这些共轭就是它的全部根。这个补充情形也说明正规化究竟补了什么。

回到主线：域的构造已经完成。接下来要把“每层的群阿贝尔”翻译为“大群存在阿贝尔商的正规列”。