第 9 章：不相邻层可以吗？先检查使用条件

原问题 A04：然后就是相邻域之间的glaos群之间的可解，我突然想起来不相邻可以吗

本章任务：把“可解性能够跨层”与“Galois 性不自动跨层”区分，并给出能够直接使用的条件。

9.1 三层拼接的准确陈述

设 $B\subseteq C\subseteq D$ ， $D/B$ 有限 Galois，且 $C/B$ Galois。第 7.3 节给出正合结构

$1\longrightarrow\operatorname{Gal}(D/C) \longrightarrow\operatorname{Gal}(D/B) \overset{\operatorname{res}}{\longrightarrow} \operatorname{Gal}(C/B)\longrightarrow1.$

此处“正合”只是在压缩我们已经证明的事情：左侧是核，右侧限制满射。若两端群可解，第 8.5 节便给出中间群可解。这是跨层拼接的依据。

9.2 相邻两步 Galois，不保证总扩张 Galois

令 $a=\sqrt[4]2$ ，取

$\mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb Q(a).$

第一步二次 Galois。第二步由 $a^2=\sqrt2$ 得到，另一根 $-a$ 已在域内，且确实为二次：若 $\sqrt2$ 是 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 中某个 $(u+v\sqrt2)^2$ ，比较系数将给出

$u^2+2v^2=0,\qquad2uv=1,$

其中 $u,v\in\mathbb Q$ 。第一式迫使 $u=v=0$ ，与第二式矛盾。因此第二步也是二次 Galois。

塔式定理给出 $[\mathbb Q(a):\mathbb Q]=4$ ，所以 $t^4-2$ 是 $a$ 的最小多项式。其根 $ia,-ia$ 不在实域 $\mathbb Q(a)$ 中，故总扩张不正规，也不是 Galois。

因此

$D/C\text{ Galois},\ C/B\text{ Galois} \quad\not\Longrightarrow\quad D/B\text{ Galois}.$

仍可定义 $\operatorname{Aut}_B(D)$ ，通常也记作 $\operatorname{Gal}(D/B)$ ；缺少的是 Galois 扩张的性质及相应商群模板，不是“自同构群无法存在”。本篇说“该层 Galois 群”时，涉及群阶、限制满射与商群公式，都会先检查扩张条件。

9.3 在本篇加工后的塔中，跨层为什么安全

第 6 章故意保证每个 $M_i/F$ 都 Galois。因此任取 $i<j$ ， $M_j/M_i$ 也是 Galois：固定 $M_i$ 的嵌入固定 $F$ ，所以保持 $M_j$ ；特征零保证可分。

每个 $\operatorname{Gal}(M_j/F)$ 也是 $G=\operatorname{Gal}(N/F)$ 的商群，所以可解。其子群 $\operatorname{Gal}(M_j/M_i)$ 因而可解。于是

$\boxed{\text{在构造好的 }M\text{ 塔中，任意不相邻的相对群都可解。}}$

也可以固定一段 $M_i\subseteq\cdots\subseteq M_j$ ，把它反向译成群列；相邻商仍阿贝尔，所以整段的群可解。

9.4 条件表：实际应用时检查哪一条

已知条件	可得结论
$D/B$ 有限 Galois， $C/B$ Galois	限制到 $C$ 满射，核为 $\operatorname{Gal}(D/C)$ ，得到商群公式
再知两个相对群 $\operatorname{Gal}(D/C)$ 、 $\operatorname{Gal}(C/B)$ 可解	由扩张引理， $\operatorname{Gal}(D/B)$ 可解
只知 $D/C$ 与 $C/B$ 都 Galois	总扩张 $D/B$ 未必 Galois；不能直接套上一行的公式
$N/F$ 有限 Galois，群可解； $F\subseteq K\subseteq L\subseteq N$ ，且 $L/K$ Galois	$\operatorname{Gal}(L/K)$ 是可解群 $\operatorname{Gal}(N/K)$ 的商群，故可解