第 9 章：完成欧拉公式的证明

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9.1 从生成树加回原图

取连通直线平面图 $G$ 的一棵生成树 $T$ 。第 6—7 章证明了

$E(T)=V-1,\qquad F(T)=1.$

所以对这棵树， $V-E(T)+F(T)=V-(V-1)+1=2$ 。

现在依次加回原图中不属于树的边。因为始终保留着生成树，当前图始终连通；由于加回的都是原来平面图的边，也不会发生交叉。因此每一步都满足第 8 章的条件：边数和面数同时增加一，顶点数不变。

$\Delta(V-E+F)=0-1+1=0.$

图 23｜从同一组顶点出发：每加回一条边，就多一个面。减去的 E 与加上的 F 同时增一，差值不变。

全部加回后得到

$\boxed{V-E+F=2}.$

也可直接数：一共加回 $E-(V-1)$ 条边，所以 $F=1+E-(V-1)=E-V+2$ 。

第 5 章给出凸多面体与这种平面图的对应，故凸多面体同样满足该式。这个证明没有依赖正多面体条件。

9.2 适用范围与常见误用

对具有 $c$ 个连通分量的有限平面图，公式是 $V-E+F=1+c$ ，仍把外部算一个面。先在每个分量取一棵树，合称生成森林，共有 $V-c$ 条边。起初取各树一个根点，有限个孤立点的补集连通；逐条接叶子边，用第 7 章绕行证明面数仍为一。加回的其余边两端都在原来的同一个分量中，已由森林路径相连，故满足第 8 章实际需要的条件，每条多一个面。因此 $F=1+E-(V-c)$ ，得到所列公式。

这里不进一步引入曲面的柄、可定向或胞腔等术语。只需记住：本篇证明针对有限平面图及由凸体得到的球状表面，不是所有带孔表面的通用公式。

证明依赖关系是：有限线段的局部绕行与多边形分割 → 树的面数和加边引理 → 欧拉公式 → 正多面体的参数限制。没有从欧拉公式反推其中的引理。

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9.1 从生成树加回原图 ​

9.2 适用范围与常见误用 ​

第 9 章：完成欧拉公式的证明

9.1 从生成树加回原图

9.2 适用范围与常见误用