第 8 章：加回一条边为什么恰好多一个面

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8.1 条件必须说全

设 是有限直线平面图。增加一条边 ，两端 是不同的已有顶点，且已经有原图路径相连；新边的开段不碰原图。整个图连通是一个充分条件，但真正需要的只是两端原来已相连。我们要证明

记新边去掉端点后的开段为 。它连通且完全位于原图补集 中，所以位于其中一个连通分支，也就是一个原面 内。其他原面没有改变，因此只需研究 。

8.2 至少分成两个面

由于两端已在原图相连，删除路径中的重复绕行后，可取得从 到 的简单路径 。路径不重复顶点，原图边不交叉，而 的内部不碰原图，所以 是简单闭折线。

由第 4 章的多边形分割定理，这条闭折线的两侧不连通。在新边中点附近，选一个小圆盘，避开所有原图；盘内新边两侧的点 原来都在 ，现在却分别位于闭折线的两区。

任何避开 的路径也必避开 ，故不能连接 。因此 至少分成两个面。

图 21｜同样是加一条边，这次没有自由端：两端早已被旧路径连起来，绕过端点也无法逃开整个闭回路。

8.3 至多分成两个面

沿新边的开段，两侧各取一条二维窄通道，并在其中各画一条辅助路径；以下“同侧相连”指可以在该侧区域内行走，不是沿原边行走。这里不要求有一个固定宽度一直延伸到端点：只需任意两个开段上的位置之间的紧子线段周围有避开原图的窄矩形，就能在同侧相互连接。原图只有有限条线段，且与这段紧子线段不相交，所以这样的宽度存在。

取 中任意一点 。由于 折线道路连通，可以在 中用折线走向新边中点；扰动路径，使它避开端点并横交线段。考察第一次碰到 之前的部分，它把 接到新边某一侧的通道。

所以每个新分支都接到左侧通道或右侧通道；每一侧的辅助路径自身连通，至多对应一个分支。因此至多两个。

图 22｜“至多两个”另有理由：所有新分支都必须接到上、下两条通道之一。通道只沿边内部走，不要求在端点处保持固定宽度。

8.4 合并结论

至少两个且至多两个，故一个原面恰好分为两个；其他面不变。这才得到

只引用“闭曲线有内外两区”足以帮助区分两侧，却不能代替第 8.3 节对其他分支的排除。另一个重要条件是连通性：如果新边连接两个不同连通分量，它可能只是把分量接起来，并不产生新面。