第 4 章：只需简单多边形的分割定理

先解释本章的四个工作用语。

平面集合是“开”的，指每一点周围都能放一个足够小的圆盘，整个圆盘仍在该集合中。例如去掉闭折线 $C$ 后的集合 $U$ 是开集：点不在有限条闭线段上，与它们的最小距离为正。

“有限折线路径”是把有限个点依次用线段连接成的路线。“连续路径”更一般，可写作 $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ ，其中 $0\le t\le1$ ，两个坐标都连续，且每一时刻都在指定集合中。它不是图论中必须沿原边走的路径。

在一个开集里，把能够沿集合内有限折线互相走通的点归为一类，本篇把每一类称为一个区域。它就是标准的“连通分支”：固定一点，能从它走到的点周围的小圆盘也都能走到，因此这一类是开集；其余各类也是开集。若一个标准连通区域含有两类，就被两个非空的开部分分开，违背连通性。反过来，沿折线行走的连续过程不能从一边跳到互相分开的另一边。这也说明，对这里的开集，“连通”和“道路连通”一致；不把这个结论套给任意集合。

“足够小”也会给出依据：有限个互不相交的闭线段（或线段中截取的闭小段）之间，距离能取到一个正的最小值。取比它更小的圆盘半径或带宽，就不会误碰其他线段。此处引用的是初等实分析事实“有界闭集上的连续函数能取到最小值”；本篇不另行建立实数的连续性理论，后面避免只用“紧集”一词替代这个具体理由。

有限位置条件为什么能满足。 若只需从 $X$ 向边的开段上一点 $M$ 画候选路径，可以选中间点 $T$ ，用 $X o T o M$ 两段线。避开经过 $X$ 或 $M$ 与各原顶点的有限条直线，并避开会让新线段与原边重合的有限条直线，就不会穿过原顶点或沿原边走。有限条直线不可能盖住一个圆周：每条最多去掉圆周上两个点，总还有可选的 $T$ 。每段与每条原边最多相交一次，所以交点有限，真正相交时两直线不平行，正是横交。

若要求候选路径已经在某个原面 $\Omega$ 内，先利用道路连通性取得有限折线。它全程避开原图，其有限条闭线段与原图的距离有正的最小值；必要时先在原线段中插入额外折点，再把折点移动到足够小的邻域中，并避开同样的有限特殊直线，路径仍留在 $\Omega$ 中，却排除了碰顶点、沿边重合等特殊情况。这是第 7、8 章用“稍作扰动”的具体依据，而不是任意修改路线。

4.1 先定义闭折线、补集与边的开段

用 $C$ 表示一条简单闭折线：它由有限条线段首尾相接，除了相邻边的共同端点，没有其他交点。 $C$ 只包含这些线段上的点，不包含尚未定义的“多边形内部区域”。共线的多余中间顶点可先删去。

本文所说的补集，明确指

$U=\mathbb R^2\setminus C.$

也就是平面上所有不在原闭折线上的点。“区域”在这里指 $U$ 的一个连通分支；这不是预先把平面划成“内部”和“外部”。

若一条边的端点为 $A,B$ ，“边的开段”指去掉两个端点后剩下的点：

$(A,B)=\{(1-t)A+tB:0<t<1\}.$

下文用“边的开段”替代容易混淆的“边内部”。它与“多边形内部”不是同一个概念。

要证明的多边形分割定理： $U$ 恰好有两个连通分支，一个有界，一个无界，且 $C$ 是二者共同的边界。我们先证“至多两个”，再证“至少两个”；只讨论有限线段，不用一般若尔当曲线定理。

4.2 先画窄通道，再在其中连接辅助路径

先分清三种对象。

对象	是线还是区域？	在证明中的作用
原边、原闭折线 $C$	原图中的线段、线段的并集	不能碰到的障碍
窄通道	边旁边的一小片二维带状区域，不包含原边	为辅助路径的连接提供空间
辅助路径 $L$ 、 $R$	另画的连续曲线，不是多边形的边	将同一侧附近的点连接起来

这里“路径”是连续行走的轨迹；全程避开 $C$ ，可写为连续映射 $\gamma:[0,1]\to U$ 。 $L,R$ 是下面具体构造出的两条辅助闭路径，不是两个已经确定的补集区域。

图 10｜先分清三种对象：边是一条线段；窄通道是一小片平面区域；辅助路径是通道里另外画出的一条曲线。底色不是多边形的整个“内部”或“外部”。

第一步：只看一条边的中段。 沿闭折线选定一个行进方向。在这条边旁边选一个足够薄的矩形，去掉原边后，矩形分成左手旁和右手旁两个半矩形。每个半矩形就是此处的窄通道；在其中各画一条与原边平行的短线。

“左”“右”随行进方向确定：转弯后也要跟着转，不是固定指纸面左右。图 10 的上、下关系只针对图中向右的箭头。

第二步：放大一个顶点。 选一个以该顶点为圆心、足够小的圆盘，使它只遇到与此顶点关联的两条边。这两条径向线段把去掉原边后的圆盘分成两个开扇形。前一条边左手旁的短线和后一条边左手旁的短线，进入同一个开扇形；在其中用小圆弧和短线连接。右手旁的两条短线，在另一个开扇形中同样连接。

连接避开圆心和两条原边。把这些连接周围选作一片很薄的带状区域，就是顶点附近的窄通道；圆盘本身不等于通道，也不能整盘当作可走区域，因为其中仍有原边和顶点。

图 11｜放大一个顶点 V：不是让路径穿过顶点，而是在相应扇形中绕开它。左右由行进方向决定，不是纸面的左边和右边。

凹角也按同样规则连接。 两个扇形不一定一样大，也不一定都是凸扇形；它们各自都可以用路径连通其中的点。连接只依据行进方向的左手、右手，不需要先决定多边形的哪一部分叫“内部”。

图 12｜沿同样的规则也能处理凹角。这里并未把两条路径命名为“内侧”和“外侧”，只用沿箭头行进的左手、右手来辨认。

第三步：沿全部顶点做完连接。 每一条边旁的左手短线，经两端的局部连接接到相邻短线；依次走完整圈并回到起点，就形成一条辅助闭路径 $L$ 。右手旁同理得到 $R$ 。因此 $L$ 自身连通， $R$ 自身连通，而且都包含在 $U$ 中。

为什么能选得足够小、足够窄？顶点和边只有有限多个，可以先选两两不交、避开其他边的顶点圆盘；圆盘外互不相交的紧线段之间有正距离，再把中段矩形选得比这些距离更窄。于是各处连接不会误碰非关联边，左右辅助路径也可保持互不相交。

图 13｜局部连接做完一整圈，才得到 L、R 两条辅助闭路径。矩形只是一个具体例子；构造规则同时适用于图 12 那样的转角。图中央未着色的部分同样属于补集，通道并不占满补集。

到这里证明的是：可以在 $U$ 中画出 $L,R$ ，且二者各自连通。还没有证明它们位于不同的补集分支。两条辅助曲线互不相交，并不能单独排除它们经过更远的地方互通。

4.3 为什么补集 U 至多有两个连通分支

目标： 任取 $X\in U$ ，证明它能在 $U$ 内连接到 $L$ 或 $R$ 。这里的“连接”全程不能碰到原闭折线 $C$ ，并不是沿原多边形的边走。

先在任意一条边的开段上选一点 $M$ ，从 $X$ 向 $M$ 画一条有限折线路径。可以把折点稍作扰动，使它避开所有原顶点，与原边不重合，也只作有限次横交。此时不要求整条候选路径都在 $U$ 中；它的用途只是找到第一次碰到 $C$ 的位置。

因为终点 $M\in C$ ，第一次相遇必存在，记为 $Q$ 。 $Q$ 位于某条边的开段，而不是原顶点。从 $X$ 出发到碰到 $Q$ 之前，这段候选路径都在 $U$ 中。

在 $Q$ 之前足够近的位置取一点 $Z$ ，实际行走只走到 $Z$ ，不走到 $Q$ 。此时 $Z$ 已经靠近原边的某一侧。在同侧的局部半矩形，或顶点圆盘对应的开扇形中，可以把 $Z$ 连接到第 4.2 节构造的 $L$ 或 $R$ ；这个局部连接同样不碰 $C$ 。

图 14｜“走到边上”不是允许路径碰边：Q 只用于确定首次相遇位置，实际连接在 Q 前的 Z 处转弯。若从另一侧接近，则以相同方式接到 R。

拼接“从 $X$ 到 $Z$ ”与“从 $Z$ 接到辅助路径”这两段路，就得到一条完全位于 $U$ 中的路径。因此每个 $X\in U$ 都与 $L$ 或 $R$ 的点处于同一个连通分支。

$L$ 自身连通，所以整条 $L$ 只属于一个分支； $R$ 也只属于一个分支。 $U$ 的每个分支都含有二者之一，故 $U$ 至多有两个连通分支。此处仍允许两条辅助路径属于同一个分支；下一节才排除这一可能。

“每个点都能接到 $L$ 或 $R$ ”补上了全局覆盖这一步；仅说“原边附近有两侧”，不能排除远处还有第三个分支。

4.4 整条射线的总交点数为何在局部保持奇偶性

先把坐标轴转到一个合适方向，使所有边都不水平，并且任意两个不同顶点不在同一条水平线上。为什么能选到？边与顶点对只有有限多个，只需避开由它们决定的有限个方向，仍有无穷多个方向可选。以后所有射线统一朝右，不能在移动起点时任意转动射线。

对 $X=(x,y)\in U$ ，向右的射线是 $\{(x+s,y):s\ge0\}$ 。若它不经过顶点，令 $N(X)$ 为它与原闭折线 $C$ 的全部交点数。每条非水平边至多贡献一个交点，而边只有有限条，所以 $N(X)$ 是有限整数；定义奇偶标签 $\varepsilon(X)$ 为它除以 $2$ 的余数，即 $0$ 或 $1$ 。

“一般位置”在这里仅指起点不在 $C$ 上，且该水平射线不经过顶点。不要把“附近最多两个交点”误读为整条射线最多两个交点。

第一步：普通交点在小范围内不会消失。 对一条非水平边，其与水平直线的交点坐标随高度连续变化。如果交点在边的开段内，而且位于起点右方，两项都是严格条件；起点移动足够小，这些条件仍成立。若某条边原来不与射线相交，情况改变时必有一项严格条件失效。

因此交点要出现或消失，只可能是：交点走到边的端点，或走到射线起点。前者是射线扫过顶点；后者就是起点碰到 $C$ ，而我们的移动始终在 $U$ 内，禁止后一事件。因为边数有限，可以把邻域选得足够小，同时保护所有不涉及顶点事件的普通交点。

第二步：穷尽分析一个顶点附近的变化。 设射线扫过前方顶点 $V$ 。顶点有且只有两条关联边；两条边都不水平，所以从 $V$ 离开后，每条边只能伸向水平线上方或下方。

两条关联边相对于 V 的水平线	射线从上方移到下方时，局部交点数
两条都在上方	从 2 变为 0
两条都在下方	从 0 变为 2
一条在上方、一条在下方	从 1 变为 1，交点换到另一条边

这不是仅凭几幅图猜规律：两条边各有“向上、向下”两种可能，表中已覆盖全部组合。若顶点在射线起点左方，邻近移动中它仍在后方，不贡献交点。

图 15｜图只画一个顶点附近。穷尽性来自正文的上下分类，不来自“图看起来如此”；全部其他交点还要加回总数。

第三步：把局部变化加回整条射线。 把远离该顶点的普通交点数记为 $K$ 。在足够小的邻域中，这些交点保持不变。总交点数可能为

$K+2\longleftrightarrow K+0,\qquad K+1\longleftrightarrow K+1.$

例如 $K=7$ ，前者就是 $9\leftrightarrow7$ ，仍都是奇数。这里 $K$ 不必很小；一条射线完全可能穿过许多条边。由于开头还避开了顶点等高的方向，小范围内至多遇到一个顶点事件；若不加该方向限制，也只需将同时发生的多个偶数变化相加，结果仍为偶数。

图 16｜整条射线可以穿过许多边。图示远处七个交点都保留，局部减少两个，所以总数从九变七。两条射线表示同一方向下起点的不同位置。

第四步：给恰好射过顶点的起点定义标签。 不把顶点粗略算作一次普通交点。分别把射线向上、向下稍微平移，取邻近一般位置的奇偶标签；表中说明两边相同，于是用这个共同值定义原特殊位置的 $\varepsilon$ 。顶点在后方的情形没有特殊交点，直接取邻近值即可。

至此证明了“局部不变”：对每个 $X\in U$ ，存在一个足够小的邻域，其中所有点的标签都等于 $\varepsilon(X)$ 。这个邻域完全避开 $C$ 。

第五步：局部不变为什么推出整条路径上不变。 设 $\gamma:[0,1]\to U$ 是任意连续路径。每个时刻附近，起点只在上述小邻域中移动，所以 $\varepsilon(\gamma(t))$ 在一段时间内不变。若它能在整段时间从 $0$ 变成 $1$ ，就把区间 $[0,1]$ 分成“标签为 0”和“标签为 1”两个非空、各自相对开的部分。这与实数区间的连通性矛盾；该基本性质等价于常见的中间值思想：连续过程不能在两个互相分离的状态间无跳变地切换。这里的标签函数因局部不变而连续，并不是预先假定它连续。

第六步：确实找到两个标签不同的点。 取一条边上一个不与任何顶点等高的点 $Q$ ，在它左、右取足够近的 $X_-,X_+$ ，使水平小线段只穿过这一条边。较左起点的右射线多经过该边一次；较右起点的射线在穿过该边之后才开始。它们在远处的交点完全相同，故总交点数相差一，标签不同。

它们不可能在 $U$ 内沿路径相连，否则违背第五步。结合第 4.3 节“至多两个分支”，得到恰好两个。

最后补上有界性和共同边界。 $C$ 装在一个大圆盘中，圆盘外所有点可以互通，所以只能有一个无界分支，而且它确实存在；另一分支有界。任意边的开段附近，两侧标签相反；顶点由关联边的点逼近，因此 $C$ 的每一点都邻近两个分支。反过来，不在 $C$ 上的点周围有完全避开 $C$ 的小圆盘，全部属于同一分支，不会成为两个分支的边界。因此二者共同的边界恰为 $C$ 。

本节分析的是局部变化，标签却由整条射线的总交点数定义。有限性保护其他交点；连续路径把局部结论传到全程。这三个层次缺一不可。

第 4 章：只需简单多边形的分割定理 ​

4.1 先定义闭折线、补集与边的开段 ​

4.2 先画窄通道，再在其中连接辅助路径 ​

4.3 为什么补集 U 至多有两个连通分支 ​

4.4 整条射线的总交点数为何在局部保持奇偶性 ​

第 4 章：只需简单多边形的分割定理

4.1 先定义闭折线、补集与边的开段

4.2 先画窄通道，再在其中连接辅助路径

4.3 为什么补集 U 至多有两个连通分支

4.4 整条射线的总交点数为何在局部保持奇偶性