第 2 章：两条路线为何得到同一限制

2.1 从局部角度出发

正 $p$ 边形的每个内角是 $\alpha=(p-2)\pi/p$ 。凸多面体的真正顶点处，相邻面的面内角之和严格小于 $2\pi$ ，其证明见第 10 章。因此

$q\frac{(p-2)\pi}{p}<2\pi.$

先约去正数 $\pi$ ，再乘以正数 $p$ ，得到 $q(p-2)<2p$ ，即 $pq-2p-2q<0$ 。两边加 $4$ 并因式分解：

$\boxed{(p-2)(q-2)<4}.$

2.2 从整体计数出发

每个面有 $p$ 条棱，但每条棱被两个面共享；每个顶点有 $q$ 条棱，但每条棱有两个端点。所以

$pF=2E,\qquad qV=2E.$

图 9｜两条双重计数等式，都来自“同一个对象被数了几次”。

将 $F=2E/p$ 、 $V=2E/q$ 代入将于第 9 章证明的欧拉公式 $V-E+F=2$ ：

$\frac{2E}{q}-E+\frac{2E}{p}=2.$

由于 $E>0$ ，两边除以 $2E$ 并移项：

$\frac1p+\frac1q=\frac12+\frac1E>\frac12.$

乘以正数 $2pq$ ，得到 $2p+2q>pq$ ，再整理就得到同一不等式。严格大于来自 $1/E>0$ ，没有额外的几何假设藏在这一代数步骤中。

两条路线可以分别成立：欧拉公式的证明不需要预先知道顶点角和；顶点角和的证明也不需要欧拉公式。