第 7 章：树为什么只有一个面

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7.1 有限线段的绕行引理

设在一个直线平面图 上增加一条线段 ： 是已有顶点， 是新顶点，线段除 外不碰原图。这样的边是悬挂边。这里原图的补集是 ；增加后是 。我们要证明两者的连通分支数相同。

证明要解释为什么两侧仍能互通。它的内部和新端点都位于原图的同一个面 。取该面中避开新线段的任意两点，先在 中用折线连接；稍作扰动，让它与新线段只在有限个内部点横交，且避开 。

若路径穿过线段，可以沿线段一侧走向自由端 ，绕 一个小半圆，再沿另一侧返回，替代原来的穿越。路径与线段的交点有限，并且全离 有正距离，故只需在远离 的紧子线段周围选一个避开原图的窄通道。这里的“通道”仍指二维带状区域，绕行路径画在其中；它连同 的小圆盘完全在 内。

逐次替换有限个穿越，得到完全避开新线段的路径。因此 没有被分裂。其他面没有受到影响，且增加障碍不能把原本不同的面合并，所以面数不变。

图 20｜树不分割平面的核心动作：把一次“穿过边”替换成“绕自由端”。这一步可对有限多个交点逐一进行。

7.2 为什么“没有回路”不是充分的解释文字

“没有回路，所以没有围出区域”描述的是正确图景，但直接把它当作理由，仍然省略了平面连通性的论证。上面的自由端绕行给出可逐步检查的依据。

单个点的补集连通：连接任意两点的折线若碰到它，绕一个小圆弧即可避开。从单顶点树出发，按第 6 章删除叶子的逆过程，逐条增加悬挂边；每一步面数不变，所以

这里没有用欧拉公式倒推，因此不存在循环论证。