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第 5 章：从凸体表面到直线平面图
5.1 径向投影：为什么表面像一个球面
先解释所需的几何联系。取凸多面体内部一点 
，从它沿任意方向发出射线。射线与凸体相交的部分，从 开始，恰好是一个有限闭线段：凸性排除中间空缺，有界性排除无穷延伸，包含边界保证能到达最后一点。因此每个方向恰好对应一个离开边界的点。
把这个边界点沿同一射线移到以 为球心的单位球面，就叫径向投影。它保持一一对应，而且方向小幅改变时离开点也连续改变。用半空间式可以检查连续性：沿方向 
的离开距离是各个前方支撑平面相交距离的最小值；当相应平面不限制这条射线时忽略它。限制前的分子是正的，实际最先碰到的平面随方向改变只会连续交接，不会突然跳远。
更精确地，把 平移为原点，则各半空间常数 
，方向向量 长度为一，离开距离为 
。给定方向 
和距离 
，比它稍近的点严格满足所有约束，连续性与有限性保证邻近方向仍能走到这里；某个最先碰到的支撑平面又保证邻近方向不会走得比它远很多。这分别给出距离的下界与上界，证明没有跳跃。
这里不要求球面三角学。只是利用“从体内看，每个方向恰有一个表面点”，说明表面连成整张封闭壳，而不是有断开的另一片表面。
任意两个面的内部点可以在球面上用有限条圆弧连接，并稍微调整圆弧，使它们避开有限个投影顶点，且不沿投影棱行走。投影棱是平面经过 后与球面的交弧；选取的有限圆弧与这些棱只作有限次相交。拉回凸体表面，就得到依次经过一串面的路线，相邻面共享一条棱。这证明面与面之间沿公共棱的邻接关系连通。
每个面的边界自身连通；这些边界又沿公共棱接起来，所以整个边图也连通。这里补上了“表面连通”到“边图连通”之间的具体步骤。
把面邻接连通的截面论证再展开。 取内部点 ，给定两个面 
。先选 
在 
的面内内部，避开有限条直线 
与该面的交点；再选 
在 
的面内内部，使 
不共线，且平面 
不经过任何原顶点。这样的 存在：对每个原顶点 
，坏情况将 限制在平面 
与 的交线上；该交线不是整个 ，因为前一平面过内部点 ，后一支撑平面不过 。有限条直线不能覆盖面内一片开区域。
是由有限半平面限制出的有界凸多边形，且 旁的小圆盘保证它有二维内部。
在该截面边界上，因为各自所在面在整个 
上支撑。沿截面边界从 走到 ，每段位于一个原面，相邻段在某条原棱的开段相接：截面没有经过原顶点，也不可能包含整条原棱（否则会经过其端点）。故这些原面依次共享棱，得到一条有限面链。再在各面内沿边界循环改选旗标，就得到第 1.9 节需要的完整旗标路线。这个论证只用凸体与平面的线性限制，不借用欧拉公式或正则性。
5.2 透视投影：选观察点时必须满足什么
选择一个面 。在该面的平面内、避开边界的点叫面相对内部的点：它在这个平面内有一小块圆盘仍留在面中；作为三维实体的边界点，它当然不是凸体内部点。
此处只使用每个真正面对应的支撑半空间，去掉重复或冗余的限制。取 相对内部一点 
，从它向凸体外侧移动很小距离，得到观察点 
。面 以外的支撑不等式在 都是严格的；限制只有有限个，所以距离可以小到让 仍严格满足所有这些限制，只违反 的那个限制。
从 向 的内部发出一条视线，先在 上进入凸体，再在其余表面某处离开。凸性保证没有反复进出。反过来，把其余表面一点 
沿直线 
投到 的平面，投影点在 
之间；它满足所有其他半空间约束，也满足 平面的等式，所以落在面 内。
因此，除 内部外的表面可投到 的轮廓内。不同行进方向的视线不混淆，同一视线又只有一个离开点，所以面内部不会互相盖住，棱也不会交叉。直线的透视像仍是直线，这就得到有限、连通的直线平面图，称为 Schlegel 图。它不是把多面体剪开并按原长度铺平；投影允许边长、角度改变，只保留连接关系。
5.3 顶点、棱、面怎样逐一对应
每个原顶点投成一个图顶点，每条原棱投成一条图边。各个未选中的原面，对应轮廓内部的各个有界区域；被选中的面 ，则对应图的无界外部区域。这个最后的对应是计数约定，不是说 自己真的投到了无穷远。
所以 
都保留。立方体有八个图顶点、十二条图边、五个有界区域，再加一个无界区域，总面数仍是六。
下文的“面”统一指平面去掉图后的区域，亦即第 4 章解释过的开集连通分支，包括无界分支。“图边”和“面内另画的辅助路径”是不同对象。