第 3 章：五组整数解与五种立体

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3.1 不漏项地枚举

令 、，则 是正整数，且 。

若 ，则 ；若 ，则只能 ；若 ，也只能 ；若 ，任何正整数 都不可能。因此恰好五组参数。

每面边数 p	每顶点面数 q	立体	V	E	F
3	3	正四面体	4	6	4
3	4	正八面体	6	12	8
3	5	正二十面体	12	30	20
4	3	正六面体（立方体）	8	12	6
5	3	正十二面体	20	30	12

计数可以由参数反算：

例如 ，分母为 ，所以 、、。

3.2 为什么正六边形不行

正六边形每角 ，至少三面相交就达到 ，不满足凸顶点的严格不等式。边数更多的正多边形内角更大，也被排除。

这里排除的是三维凸正多面体；不排除平面铺砌，也没有在讨论允许自交的星形正多面体。