第 11 章：相等概率为什么是加权平均

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11.1 相等事件怎样分成互不重叠的情况

已知 $T_p,T_q$ 独立，且 $T_q$ 取任意具体值的概率都不超过 $1/2$ 。要计算 $T_p=T_q$ ，需要考虑它们可能同时等于0、同时等于1，等等。

不同共同取值对应互不重叠的事件：一次选择不可能既使两者同时等于0，又使它们同时等于1。因此可以把这些概率相加。独立性允许把每个“同时发生”的概率拆成乘积，于是

$P(T_p=T_q)=\sum_t P(T_p=t,T_q=t) =\sum_tP(T_p=t)P(T_q=t).$

求和覆盖所有可能的整数 $t$ ；范围之外的概率为0。这里有两个不同理由：能相加，是因为共同取值的情况互不重叠；能相乘，是因为两个随机变量独立。不能把二者合并成一句“概率相加相乘”。

11.2 为什么不是把多个二分之一直接相加

令 $a_t=P(T_p=t)$ 、 $b_t=P(T_q=t)$ 。第一个概率 $a_t$ 是“ $T_p$ 取这个值”的比例，第二个概率 $b_t$ 是这个值出现后，独立的 $T_q$ 恰好匹配它的概率。

因此 $a_tb_t$ 才是这一种匹配在所有情况中所占的比例。只加 $b_t$ ，就忽略了 $T_p$ 取各个值的机会不同；把每一类内部的匹配率都当成全部情况的匹配率，也就不再是在算原来的事件。

这里 $a_t\ge0$ 且 $\sum_ta_t=1$ ，因为 $T_p$ 总会取它的某一个可能值。因此 $\sum_ta_tb_t$ 是以 $a_t$ 为权重，对 $b_t$ 取加权平均。权重总和为1，是后面上界能保持为 $1/2$ 的关键。

11.3 一个短例子区分实际值与上界

用你补充过的分布核对这句话：若 $a_t$ 依次为 $1/4,1/4,1/2$ ，而 $b_t$ 为 $1/2,1/2,0$ ，实际相等概率是

$\frac14\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac12+\frac12\cdot0=\frac14.$

只知道每个 $b_t\le1/2$ 时，可以把每一项的 $b_t$ 替换成更大的上界 $1/2$ ，得到

$P(T_p=T_q)\le \frac14\cdot\frac12+\frac14\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12 =\left(\frac14+\frac14+\frac12\right)\frac12=\frac12.$

第三个实际匹配率0被放宽成 $1/2$ ，所以实际值 $1/4$ 与通用上界 $1/2$ 可以同时成立。这里真正发挥作用的是三个权重加起来为1，而不是只有三个可能取值。下一节不再依赖这些具体比例。

11.4 一般情况下，上界为什么不会被求和放大

对每一个 $t$ ，由于 $a_t\ge0$ 且 $b_t\le1/2$ ，都有 $a_tb_t\le a_t/2$ 。逐项相加，得到

$\begin{aligned} P(T_p=T_q) &=\sum_ta_tb_t\\ &\le\sum_t a_t\cdot\frac12\\ &=\frac12\sum_ta_t\\ &=\frac12. \end{aligned}$

第二行使用每一项的上界，第三行只把公共常数 $1/2$ 提出求和，第四行使用权重总和为1。可能取值更多，并不会改变最后一步；增加一个可能值，也意味着要在总和为1的权重中分给它一部分。

这就是一般原则：若 $a_t\ge0$ 、 $\sum_ta_t=1$ ，且每个 $b_t\le M$ ，那么 $\sum_ta_tb_t\le M$ 。加权平均不会超过参与平均的各个值的最大值。

11.5 条件概率怎样解释同一个推导

全概率公式把相等事件按 $T_p$ 的取值分类：

$P(T_p=T_q) =\sum_{t:P(T_p=t)>0}P(T_p=t)\,P(T_q=t\mid T_p=t).$

条件概率 $P(T_q=t\mid T_p=t)$ 表示：已知 $T_p=t$ 后， $T_q$ 恰好匹配它的概率。由于独立，已知 $T_p$ 不会改变 $T_q$ 的分布，所以这个条件概率等于 $P(T_q=t)\le1/2$ 。将这些匹配概率按 $T_p$ 各值出现的比例平均，总匹配概率仍不超过 $1/2$ 。