第 7 章：公式中的函数、核和整个被积函数

7.1 三个对象分别是谁

这是原对话中最容易混淆的一点。柯西公式中的

$\underbrace{f(\zeta)}_{\text{待恢复的全纯函数}} \cdot \underbrace{\frac1{\zeta-z_0}}_{\text{核}} =\underbrace{\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}}_{\text{整个被积函数}}$

不是三个同名对象。前提要求 $f$ 在内部及边界附近全纯；核在 $z_0$ 的奇点是公式刻意引入的结构。

7.2 积分 1/ζ 时，公式里的 f 可以是 1

取 $f(\zeta)=1$ 、 $z_0=0$ ，于是整个被积函数是 $1/\zeta$ 。公式给出

$1=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta|=1}\frac{d\zeta}{\zeta}.$

所以确实是在积分 $1/\zeta$ ，而要求全纯的函数对象是常数函数 $f=1$ 。这与直接参数化算出 $2\pi i$ 相符。

7.3 如果真的令 f(ζ)=1/ζ 并取 z₀=0

此时整个被积函数变成 $1/\zeta^2$ ，而 $f(0)$ 根本未定义，所以不能使用柯西积分公式。

虽然

$\oint_{|\zeta|=1}\frac{d\zeta}{\zeta^2}=0,$

也不能据此解释成 $f(0)=0$ 。积分为零可直接由参数化计算，或由原函数 $-1/\zeta$ 证明；它不修复缺失的前提。

7.4 1/ζ 在不包含零点的小圆内可以使用公式

取 $z_0=2$ ，圆 $|\zeta-2|=1/2$ 的内部与边界均避开零点，故

$\frac12=\frac1{2\pi i} \oint_{|\zeta-2|=1/2}\frac{d\zeta}{\zeta(\zeta-2)}.$

右边的积分是 $\pi i$ 。这里公式中的函数 $f(\zeta)=1/\zeta$ 满足前提。

若改为大圆 $|\zeta|=3$ ，内部还包含 $f$ 自身的奇点 $0$ ，不能直接套公式。部分分式给出

$\frac1{\zeta(\zeta-2)} =-\frac1{2\zeta}+\frac1{2(\zeta-2)}.$

两个基本积分分别是 $2\pi i$ ，贡献抵消，因此大圆上的总积分为零。这不是公式矛盾，而是它的前提已经失败。