第 5 章：柯西积分定理的条件与有洞区域

5.1 用 Green 定理和 CR 方程推导

写 $f=u+iv$ 、 $dz=dx+i\,dy$ ，展开：

$f\,dz=(u\,dx-v\,dy)+i(v\,dx+u\,dy).$

假设 $f$ 在 $\overline D$ 的邻域全纯，且 $u,v$ 有连续一阶偏导。分别应用 Green 定理：

$\begin{aligned} \oint_{\partial D}(u\,dx-v\,dy) &=\iint_D(-v_x-u_y)\,dA=0,\\ \oint_{\partial D}(v\,dx+u\,dy) &=\iint_D(u_x-v_y)\,dA=0. \end{aligned}$

最后两个零由 CR 方程给出。因此

$\boxed{\oint_{\partial D}f(z)\,dz=0.}$

这直接是整个定向边界版，区域可以有洞，只要函数在剩余区域及边界附近满足条件。

5.2 单连通版说的是另一个对象

区域通常指开且连通的集合。若其中任何闭曲线都能在区域内连续缩成一点，区域称为单连通。圆盘、整个复平面、半平面都是例子； $\mathbb C\setminus\{0\}$ 和圆环不是。

正式的收缩同伦 $H(s,t)$ 除了连续、始终落在 $D$ 、起点为原曲线、终点为常值外，还要满足

$H(s,0)=H(s,1)\qquad(0\le s\le1),$

即变形过程中始终是闭曲线。原对话的形式定义省略了这一条件。

柯西定理的常见一般版本是： $D$ 单连通且 $f$ 在 $D$ 全纯，则对任意分段光滑闭曲线 $\gamma\subset D$ ， $\oint_\gamma f\,dz=0$ 。这里讨论的是任意一条闭曲线；上一节讨论的是某个区域的全部定向边界。两者不能混为同一个表述。

单连通是这个通用版本的充分条件，不能把它说成“每个具体函数、每条具体曲线积分为零的必要条件”。例如 $f=1$ 在有洞的区域上也有原函数 $z$ ，任意闭曲线积分仍为零。

5.3 1/z 为什么不违反定理

$1/z$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上全纯，但单位圆绕着被排除的零点：

$\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i\ne0.$

它不满足“在整个圆盘及其边界附近全纯”的条件，定义域也不满足单连通条件。因此闭合本身不足以保证积分为零。

在圆环 $r<|z|<R$ 上， $1/z$ 满足边界版的条件，于是

$\oint_{C_R^+}\frac{dz}{z} -\oint_{C_r^+}\frac{dz}{z} =2\pi i-2\pi i=0.$

两个圆分别积分非零，而定向边界总和为零，完全一致。

5.4 “切一刀”的几何直觉要怎样理解

把圆环沿连接内外边界的线切开，可以直观看到外圆、内圆反向、切口两侧构成一条边界。两侧沿同一条切线反向行走，积分抵消，留下外圆积分等于内圆积分。

若要从单连通版严格推出，应使用有细小宽度的切口，再令宽度趋于零，以连续性证明两侧积分趋于相反数；零宽切口的两侧不是两条互不相交的普通边界，不能省略极限论证。本篇实际证明用上一节的 Green 边界版，不依赖这张直觉图来完成逻辑。