第 4 章：Green 定理是怎样由一维微积分拼起来的

4.1 定理和条件

设 $P,Q$ 在包含闭区域 $\overline D$ 的开集上属于 $C^1$ ， $D$ 有规则边界，取正向边界，即行进时区域始终在左侧。Green 定理为

$\boxed{\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.}$

有洞时 $\partial D$ 是整个边界，包含外边界和全部内边界。下面先证明矩形，再说明简单曲边区域及有限拼接的推广。

4.2 矩形上先证明一半

取 $D=[a,b]\times[c,d]$ ，逆时针方向。积分 $\oint P\,dx$ 在两条竖边上为零，因为 $dx=0$ 。下边向右，上边向左：

$\oint_{\partial D}P\,dx =\int_a^bP(x,c)\,dx-\int_a^bP(x,d)\,dx.$

固定 $x$ ，一维微积分基本定理给出

$P(x,d)-P(x,c)=\int_c^dP_y(x,y)\,dy.$

代回，利用连续函数的迭代积分：

$\boxed{\oint_{\partial D}P\,dx =-\int_a^b\int_c^dP_y(x,y)\,dy\,dx =-\iint_D P_y\,dA.}$

负号来自上边界反向，不能记成加号。

4.3 另一半及相加

对 $\oint Q\,dy$ ，上下两条水平边没有贡献。右边向上，左边向下：

$\oint_{\partial D}Q\,dy =\int_c^d[Q(b,y)-Q(a,y)]\,dy.$

固定 $y$ ，使用

$Q(b,y)-Q(a,y)=\int_a^bQ_x(x,y)\,dx,$

得到

$\boxed{\oint_{\partial D}Q\,dy=\iint_DQ_x\,dA.}$

两半相加就是 Green 定理。因此它的局部来源就是 $F(b)-F(a)=\int_a^bF'$ ，分别沿两个坐标方向使用一次。

4.4 曲边区域与内部公共边抵消

若

$D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \phi_1(x)\le y\le\phi_2(x)\},$

同样沿上下图像走，有

$\begin{aligned} \oint_{\partial D}P\,dx &=\int_a^b[P(x,\phi_1(x))-P(x,\phi_2(x))]\,dx\\ &=-\int_a^b\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}P_y(x,y)\,dy\,dx. \end{aligned}$

两条可能存在的竖直连接边仍无贡献。若区域对水平线也简单，交换 $x,y$ 的角色可得 $Q\,dy$ 的另一半。圆盘等区域可这样处理，必要时在极少数端点按极限解释。

对能有限分割为这类简单区域的 $D=D_1\cup\cdots\cup D_m$ ，逐块使用公式再相加。面积积分相加得到整个区域的面积积分；内部公共边在两块的正向边界中方向相反，所以抵消，最终留下 $\partial D$ 。

此论证完整覆盖本篇所需的圆盘和挖去小圆盘的区域。更一般边界的 Green 定理还需要相应分割或逼近论证；“所有区域都随便切几块”不能替代条件说明。

4.5 为什么内边界必须顺时针

正向的统一规则是：区域在左侧。外圆逆时针时，内部区域在左侧。沿洞的圆周逆时针走，左侧却是洞内部，真正的区域在右侧，所以必须反向。

若把两个圆都先记成逆时针，则

$\partial D=C_R^+-C_r^+,$

Green 定理成为

$\oint_{C_R^+}(P\,dx+Q\,dy) -\oint_{C_r^+}(P\,dx+Q\,dy) =\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$

内圆前的负号表达定向，并不意味着每一条边界各自积分为零。