第 3 章：复曲线积分、方向与 ML 估计

3.1 定义：沿曲线代入参数

若 $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ 分段光滑， $f$ 在曲线上连续，定义

$\int_\gamma f(z)\,dz =\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.$

复数积分按实部、虚部分别进行。符号 $dz$ 不是曲线长度元；长度元为 $|\gamma'(t)|dt$ ，而 $dz=\gamma'(t)dt$ 携带方向。

例如从 $0$ 到 $1+i$ 的直线 $\gamma(t)=(1+i)t$ ， $0\le t\le1$ ：

$\int_\gamma z\,dz =\int_0^1(1+i)^2t\,dt =\int_0^1 2it\,dt=i.$

3.2 原函数与闭曲线

如果在曲线经过的开集上 $F'=f$ ，由链式法则

$\frac d{dt}F(\gamma(t))=f(\gamma(t))\gamma'(t),$

所以

$\int_\gamma f(z)\,dz=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).$

因此具有单值原函数时，积分只依赖端点；闭曲线的积分为零。上例也可由原函数 $F(z)=z^2/2$ 直接算出。

反向走曲线，积分变号： $\int_{-\gamma}f\,dz=-\int_\gamma f\,dz$ 。分段连接曲线，积分相加。这两条规则解释了以后“切口抵消”和“内边界负号”。

3.3 单位圆上的特殊积分

逆时针单位圆可写成

$z=e^{it},\quad 0\le t\le2\pi,\qquad dz=ie^{it}\,dt.$

于是

$\boxed{\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z} =\int_0^{2\pi}i\,dt=2\pi i.}$

更一般地，令 $z=z_0+re^{it}$ ，对任意 $r>0$ ：

$\oint_{C_r^+}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i.$

半径消掉了，结果只反映绕行方向和圈数。顺时针一圈是 $-2\pi i$ ，逆时针两圈是 $4\pi i$ 。第 10 章补欧拉公式的依据；也可直接用 $z=z_0+r(\cos t+i\sin t)$ 做同样计算。

$1/z$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上没有全局单值全纯原函数，否则所有闭曲线积分都应为零。局部复对数可以作为原函数，但绕原点一圈会改变辐角，不能不加限制地使用一个全局的 $\log z$ 。

3.4 ML 不等式从哪里来

先对参数积分使用三角不等式：

$\begin{aligned} \left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| &\le\int_a^b|f(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|\,dt\\ &\le\left(\max_{z\in\gamma}|f(z)|\right) \int_a^b|\gamma'(t)|\,dt. \end{aligned}$

最后一个积分就是曲线长度，所以

$\boxed{\left|\int_\gamma f(z)\,dz\right| \le M L(\gamma),\qquad M=\max_\gamma|f|.}$

连续函数在紧曲线像上能取到最大值；更一般时用上确界。小圆误差估计和 Liouville 定理都只需这条不等式。