第 1 章：目标是什么，为什么复分析能证明它

1.1 系数在复数域，根也在复数域

代数基本定理的标准表述是：若

$p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb C[x], \qquad a_n\ne0,\quad n\ge1,$

则存在 $\alpha\in\mathbb C$ 使 $p(\alpha)=0$ 。

“非常数”不可省略：常数多项式 $1$ 没有根；零多项式则处处为零，次数不按上述方式定义。系数可以是任意复数，并非只允许有理数。由于 $\mathbb Q\subset\mathbb C$ ，有理系数多项式也包含在结论中，但它的根未必是有理数。例如 $x^2-2$ 在 $\mathbb Q$ 中无根，却在 $\mathbb C$ 中有根。

把形式变量换成复变量 $z$ 后， $p(z)$ 同时是一个复函数。代数问题于是进入复分析。

1.2 反证法的最后一跳

假设 $p(z)$ 在整个复平面都不为零，定义

$f(z)=\frac1{p(z)}.$

它在整个复平面全纯；最高次项控制无穷远处的增长，因此 $f(z)\to0$ 。再在有限闭圆盘上用连续性和紧致性，得到 $f$ 全局有界。

Liouville 定理说：有界整函数必为常数。于是 $1/p$ 是常数，继而 $p$ 是常数，与 $n\ge1$ 矛盾。第 9 章会把增长估计、有限圆盘的下界、常数不能为零这几步全部写出。

真正的分析力量集中在

$\text{柯西导数公式} \ \Longrightarrow\ |f'(z_0)|\le\frac{M}{R} \ \Longrightarrow\ f'(z_0)=0.$

$M$ 是整个复平面的统一上界，而 $R$ 可以任意大。一个固定的非负数被任意小的上界压住，只能等于零。

1.3 本篇的证明依赖，避免循环

原对话通过 Green 定理证明柯西定理。Green 定理需要连续偏导，因此这一路线先适用于 $C^1$ 且全纯的函数。不能先借柯西公式推出“全纯函数自动光滑”，再拿这个结论去证明柯西公式本身。

本篇沿用并严格完成 $C^1$ 路线。最终使用的 $1/p$ 是分母处处非零的有理函数，直接由实坐标表达式就知道它光滑，不需要提前使用柯西公式。因此这个版本已经足够完整证明代数基本定理。

一般全纯函数无须另假设 $C^1$ ，也满足柯西定理与公式；去掉额外正则性条件需要柯西–古尔萨定理等论证。本篇说明这个一般结论，但不把其完整证明冒充为 Green 路线已经完成的内容。