第 7 章：域的特征、有限域与 Frobenius

本章对象： $p$ 始终是素数； $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域。横线 $\bar f$ 表示把整数系数逐个模 $p$ 。

7.1 域的特征：从不断累加单位元开始

原问题：所以特征为0和可分到底是什么意思

这两个概念其实是两条不同的线，只是在 Galois 理论里碰到了一起。

先说域的特征（characteristic）。

设 $F$ 是一个域。我们不断把 $1$ 相加：

$1,\quad 1+1,\quad 1+1+1,\quad \ldots$

如果永远不可能得到 $0$ ，就说

$\boxed{\operatorname{char}F=0}.$

例如：

$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$

都是特征 $0$ ，因为对任意正整数 $n$ ，

$n\cdot1\neq0.$

如果存在最小正整数 $p$ ，使得

$\underbrace{1+\cdots+1}_{p\text{ 次}}=0,$

那么：

$\operatorname{char}F=p.$

对于一个域，这个 $p$ 一定是素数。

例如：

$\mathbf F_5=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

里：

$1+1+1+1+1=0,$

所以

$\operatorname{char}\mathbf F_5=5.$

7.2 补充证明：域的正特征为什么一定是素数

若最小正整数 $c$ 满足 $c\cdot1_F=0$ ，而 $c=ab$ ， $1<a,b<c$ ，则 $(a\cdot1_F)(b\cdot1_F)=0$ 。由最小性两因子均非零，与域无零因子矛盾。因此 $c$ 是素数。

当 $p$ 是素数，任意 $1\le a<p$ 与 $p$ 互素，整数 Bézout 等式给出模 $p$ 的逆元，所以 $\mathbb{F}_p$ 确实是域。特征 $p$ 只说明整数倍单位元组成的素子域是 $\mathbb{F}_p$ ，并不限制整个域的元素数。

Frobenius 的中间项消失，还用到 $p\mid\binom pk$ （ $0<k<p$ ）： $\binom pk=p!/(k!(p-k)!)$ 是整数，分母不含素因子 $p$ ，而分子含 $p$ ，故该整数被 $p$ 整除。

7.3 特征 p 的域不一定只有 p 个元素

原问题：所以特征p就是模p吗

可以把它理解成“整数部分按模 $p$ 运算”，但特征 $p$ 的域不一定就是 $\mathbf F_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 。

特征 $p$ 的定义是：

$\boxed{ \underbrace{1+1+\cdots+1}_{p\text{ 次}}=0 }$

而且 $p$ 是最小的正整数满足这一点。

因此在这样的域里：

$p=0,\qquad p+1=1,\qquad -1=p-1$

这些整数系数的运算确实和“模 $p$ ”完全一样。

例如特征 $3$ 中：

$3=0,\qquad 4=1,\qquad 5=2.$

所以

$3x^2+4x+5$

就等同于

$x+2.$

但是域本身可以比 $\mathbf F_p$ 大得多。

例如：

$\mathbf F_p$

当然是特征 $p$ 。

但

$\mathbf F_p(t)$

——系数在 $\mathbf F_p$ 中的有理函数域——也是特征 $p$ 。

它里面除了

$0,1,\dots,p-1$

还有

$t,\quad \frac1t,\quad t^2+1,\quad \frac{t+1}{t^2+t+1},\dots$

很多元素。

所以更准确地说：

$\boxed{ \operatorname{char}F=p \Longrightarrow F\text{ 内部的整数运算按照模 }p\text{ 发生} }$

而不是说：

$F=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

事实上，每个特征 $p$ 的域内部都会天然包含一个最小的子域：

$\boxed{\mathbf F_p}$

这叫它的素子域（prime subfield）。

这也解释了我们刚才为什么在特征 $p$ 中有：

$(x-\alpha)^p=x^p-\alpha^p.$

因为二项式展开中的

$\binom pk$

对 $1\le k\le p-1$ 都是 $p$ 的倍数，而在特征 $p$ 的域里：

$p=0,$

所以这些中间项全部消失。

7.4 有限域上的多项式环怎样读、怎样运算

原问题：这个finx不知道怎么念

你应该是指我刚才写的

$\mathbf F_p[x]$

这个记号。

中文一般读作：

$\boxed{\text{“F 下标 p，方括号 x”}}$

更有数学意义地说，就是：

$\boxed{\text{“$\mathbf F_p$ 上的多项式环”}}$

英文通常说 “the polynomial ring over F sub p”，或者直接读 “F sub p bracket x”。

这里：

$\mathbf F_p$

表示有 $p$ 个元素的有限域（当 $p$ 是素数时就是）

$\mathbf F_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

而

$\mathbf F_p[x]$

就是系数来自 $\mathbf F_p$ 的所有多项式组成的环。

例如在

$\mathbf F_3[x]$

里，

$5x^2+7x+4$

和

$2x^2+x+1$

其实是同一个多项式，因为系数都对 3 取模：

$5\equiv2,\quad 7\equiv1,\quad4\equiv1\pmod3.$

所以你前面看到的“在模 $p$ 下研究多项式”，严格地说，就是把多项式放进

$\boxed{\mathbf F_p[x]}$

里面研究。

7.5 费马小定理：用非零剩余类的排列证明

原问题：费马小定理呢

费马小定理是我们前面证明

$g(x^p)\equiv g(x)^p \pmod p$

时用到的一步。它本身也值得单独讲清楚。

费马小定理说：

$\boxed{ a^p\equiv a\pmod p }$

对任意整数 $a$ 和素数 $p$ 都成立。

等价地，如果

$p\nmid a,$

那么：

$\boxed{ a^{p-1}\equiv1\pmod p }$

这两个形式是等价的。

例如 $p=5$ ，取 $a=2$ ：

$2^5=32\equiv2\pmod5.$

或者：

$2^4=16\equiv1\pmod5.$

为什么成立？最漂亮的证明之一是看模 $p$ 的非零余数：

$1,2,\dots,p-1.$

假设 $p\nmid a$ 。把它们全部乘以 $a$ ：

$a,2a,3a,\dots,(p-1)a.$

对 $p$ 取模以后，这些仍然恰好只是

$1,2,\dots,p-1$

的一个重新排列。

为什么不会重复？如果

$ia\equiv ja\pmod p,$

那么

$p\mid a(i-j).$

因为 $p$ 是素数且 $p\nmid a$ ，所以只能：

$p\mid(i-j).$

但 $1\le i,j\le p-1$ ，所以只能 $i=j$ 。

于是把这些数全部相乘：

$a\cdot2a\cdot3a\cdots(p-1)a \equiv 1\cdot2\cdot3\cdots(p-1) \pmod p.$

左边是：

$a^{p-1}(p-1)!.$

所以：

$a^{p-1}(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p.$

因为 $p$ 不整除 $(p-1)!$ ，所以它在模 $p$ 下可逆，可以约掉：

$\boxed{ a^{p-1}\equiv1\pmod p. }$

再乘一个 $a$ ，得到：

$\boxed{ a^p\equiv a\pmod p. }$

这正是我们前面需要的地方，因为

$g(x)^p \equiv a_0^p+a_1^px^p+\cdots+a_m^px^{mp} \pmod p,$

再用费马小定理：

$a_i^p\equiv a_i\pmod p,$

于是：

$g(x)^p \equiv a_0+a_1x^p+\cdots+a_mx^{mp} = g(x^p).$

所以你可以把那一步记成两层：

$\boxed{ (A+B)^p\equiv A^p+B^p\pmod p }$

来自二项式系数被 $p$ 整除；

而

$\boxed{ a^p\equiv a\pmod p }$

来自费马小定理。

两者合起来才得到：

$\boxed{ g(x)^p\equiv g(x^p)\pmod p. }$

7.6 从互素情形补上被素数整除的情形

原问题：为什么在ap互素的情况下很快就乘以a就得到了任一情况

对，这里其实省略了一个分类讨论，所以看起来像“突然从互素推广到了任意 $a$ ”。

前面我们证明的是：

$p\nmid a \Longrightarrow a^{p-1}\equiv1\pmod p.$

这时候两边乘以 $a$ ：

$a^p\equiv a\pmod p.$

所以对于所有满足 $p\nmid a$ 的整数 $a$ ，结论成立。

那如果 $p\mid a$ 呢？

这时

$a\equiv0\pmod p.$

于是

$a^p\equiv0^p=0\pmod p.$

所以同样有

$a^p\equiv a\equiv0\pmod p.$

因此实际上分成两种情况：

$\boxed{ \begin{cases} p\nmid a: & a^{p-1}\equiv1 \Rightarrow a^p\equiv a; \\[4pt] p\mid a: & a\equiv0,\ a^p\equiv0. \end{cases}}$

两种情况合起来，才得到对任意整数 $a$ ：

$\boxed{a^p\equiv a\pmod p}.$

所以严格地说，不是“乘一个 $a$ 就从互素情况推广到了任意情况”，而是：

$\boxed{ \text{互素情况靠费马小定理；不互素情况本身就是显然的。} }$

7.7 Frobenius 恒等式：系数模素数后为什么成立

我们先把这一步讲透：

$\boxed{g(x^p)\equiv g(x)^p\pmod p}$

这里的“ $\bmod p$ ”是指：所有多项式系数都对 $p$ 取模。

假设

$g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$

其中 $a_i\in\mathbb{Z}$ 。

那么

$g(x)^p = (a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m)^p.$

在模 $p$ 意义下，有一个非常重要的现象：

$\boxed{(A+B)^p\equiv A^p+B^p\pmod p}$

因为二项式展开：

$(A+B)^p = A^p+\binom p1 A^{p-1}B+\cdots+\binom p{p-1}AB^{p-1}+B^p.$

当 $p$ 是素数时，

$p\mid\binom pk,\qquad 1\le k\le p-1.$

所以中间所有项模 $p$ 都消失，只剩：

$(A+B)^p\equiv A^p+B^p\pmod p.$

同理推广到很多项：

$(a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m)^p \equiv a_0^p+a_1^px^p+\cdots+a_m^px^{mp} \pmod p.$

另一方面，费马小定理告诉我们：

$a_i^p\equiv a_i\pmod p.$

于是：

$g(x)^p \equiv a_0+a_1x^p+\cdots+a_mx^{mp}.$

但右边正好就是：

$g(x^p).$

所以：

$\boxed{ g(x)^p\equiv g(x^p)\pmod p }$

这有时叫 characteristic $p$ 下的 Frobenius 现象。