第 8 章：连续像为什么紧致，连续函数为什么能取到极值

你问的是为什么：

$\boxed{\text{紧集在连续映射下的像仍然是紧集}}$

这是数学分析中的连续映射保持紧致性定理（Continuous Image of a Compact Set Is Compact）。

这个定理其实可以从两个更基础的性质直接证明：

紧致性：在有限维欧氏空间中，紧集里的任意序列，都能找到一个收敛到该集合内部某点的子序列。
连续性：如果 $x_n\to x$ ，那么 $f(x_n)\to f(x)$ 。

把这两个性质结合起来，就能完成证明。

一、先证明连续映射后的集合仍然紧致

设：

$f:K\to\mathbb R$

其中 $K\subseteq\mathbb R^n$ 是紧集， $f$ 是连续函数。

我们希望证明：

$f(K)=\{f(x):x\in K\}$

仍然是紧集。

第一步：从 $f(K)$ 中任意选择一个序列。

假设：

$y_1,y_2,y_3,\ldots\in f(K)$

由于每个 $y_i$ 都是某个 $x_i\in K$ 的函数值，所以可以找到：

$y_i=f(x_i)$

于是我们就有了定义域中的序列：

$x_1,x_2,x_3,\ldots\in K$

第二步：利用 $K$ 的紧致性。

因为 $K$ 是紧集，所以一定可以从 $\{x_n\}$ 中选出一个收敛子序列：

$\boxed{x_{n_k}\to x^*\in K}$

注意，这里不仅保证子序列收敛，还保证极限 $x^*$ 仍然属于 $K$ 。

第三步：利用函数的连续性。

由于 $f$ 连续，因此：

$x_{n_k}\to x^* \quad\Longrightarrow\quad f(x_{n_k})\to f(x^*)$

又因为：

$y_{n_k}=f(x_{n_k})$

所以：

$\boxed{y_{n_k}\to f(x^*)}$

并且：

$f(x^*)\in f(K)$

我们证明了什么？

对于 $f(K)$ 中任意一个序列，都能够找到一个收敛子序列，而且极限仍然属于 $f(K)$ 。

这恰好就是序列紧致性（Sequential Compactness）的定义。

在欧氏空间中，序列紧致与紧致等价，因此：

$\boxed{K\text{ 紧致},\ f\text{ 连续}\Longrightarrow f(K)\text{ 紧致}}$

证毕。

二、为什么这又能保证函数一定取到最大值？

回到实数轴上的情况。

我们已经证明：

$f(K)\subseteq\mathbb R$

是紧集。

根据 Heine–Borel 定理，它必然有界且闭合。

有界意味着：

$M=\sup f(K)$

存在且是有限实数。

这里的 $\sup$ 是上确界（supremum），也就是函数值集合的最小上界。

但要注意：

存在上确界，并不意味着一定能够取到上确界。

例如：

$f(K)=(0,1)$

它的上确界为 1，但集合中没有 1。

现在关键来了。

根据上确界定义，一定可以找到一列函数值：

$y_n\in f(K)$

满足：

$M-\frac1n<y_n\leq M$

因此：

$y_n\to M$

而 $f(K)$ 是闭集，所以它包含其所有极限点。

于是：

$\boxed{M\in f(K)}$

这意味着存在某个 $x_{\max}\in K$ ，使得：

$\boxed{f(x_{\max})=M=\max_{x\in K}f(x)}$

同理可以证明最小值一定存在。

这就得到了极值定理：

$\boxed{ K\text{ 非空紧致},\ f\text{ 连续} \Longrightarrow f\text{ 在 }K\text{ 上取得最大值和最小值} }$

三、能不能更直接地证明极值定理？

其实可以，而且更容易记忆。

假设连续函数 $f$ 在非空紧集 $K$ 上有有限上确界 $M$ 。

根据上确界定义，存在一列点：

$x_n\in K$

使得：

$f(x_n)\to M$

因为 $K$ 紧致，所以存在收敛子序列：

$x_{n_k}\to x^*\in K$

由于连续性：

$f(x_{n_k})\to f(x^*)$

但原来已经知道：

$f(x_{n_k})\to M$

根据极限的唯一性：

$\boxed{f(x^*)=M}$

这就证明最大值可以取到。

当然，上面先假设了 $M$ 有限。这个前提也可以证明：如果 $f$ 在 $K$ 上无界，就能选择 $x_n\in K$ 使得 $|f(x_n)|>n$ ，但紧致性保证其中有收敛子序列，而连续性要求对应函数值收敛到有限值，产生矛盾。

因此证明是完整的。

补充：直接从开覆盖证明连续像紧致

设 $f:K\to Y$ 连续， $K$ 紧致。若 $\{V_\alpha\}$ 是 $f(K)$ 的开覆盖，则 $\{f^{-1}(V_\alpha)\}$ 是 $K$ 的相对开覆盖。紧致性给出有限个原像覆盖 $K$ ，相应有限个 $V_\alpha$ 就覆盖 $f(K)$ 。相对开集是形如 $K\cap O$ 的集合，可用环境开集 $O$ 转成前章的定义。

这个证明不需要 $f$ 为单射，也不用求逆函数； $f^{-1}(V)$ 表示集合的原像。

补充：为什么球面满足所有条件

单位球面 $S^{n-1}=\{x\in\mathbb R^n:\|x\|=1\}$ 在 $n\geq1$ 时非空，且有界。若球面上 $x_j\to x$ ，由反三角不等式

$\big|\|x_j\|-\|x\|\big|\leq\|x_j-x\|\to0,$

可知 $\|x\|=1$ ，所以球面闭，从而紧致。二次型 $x\mapsto x^TAx$ 是有限项多项式，连续，于是能取到最大、最小值。

仅有闭集不够： $f(x)=x$ 在 $[0,\infty)$ 无最大值。仅有有界不够： $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 无最大、最小值。即便定义域紧致，连续性也不能删去：在 $[0,1]$ 上令 $f(x)=x$ （ $x<1$ ），而 $f(1)=0$ ，上确界为 $1$ 却取不到。