第 7 章：紧致性、闭且有界和收敛子序列

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对，你现在问的是数学分析中非常重要的 Heine–Borel 定理（海涅–博雷尔定理）：

$\boxed{ K\subseteq\mathbb R^n \text{ 是紧集} \iff K\text{ 是闭集且有界} }$

这个定理并不是紧集的定义，而是一个需要证明的结论。并且要特别注意：这个等价关系依赖于有限维欧氏空间的性质，在一般的无限维空间中不成立。

我们从紧集的原始定义开始，证明两个方向。

一、紧集的原始定义是什么？

紧集（Compact Set）最经典的定义来自开覆盖（Open Cover）。

假设有一个集合：

$K\subseteq\mathbb R^n$

存在一族开集 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$ ，满足：

$K\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$

这意味着这些开集加起来，可以完全覆盖 $K$ 。

如果无论你怎样用开集覆盖 $K$ ，都能从中选出有限个开集，仍然覆盖整个 $K$ ，那么就称 $K$ 是紧集。

数学表达为：

$\boxed{ K\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha \Longrightarrow \exists\,\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\quad K\subseteq\bigcup_{i=1}^mU_{\alpha_i} }$

这就是有限子覆盖性质（Finite Subcover Property）。

注意，不是要求每种覆盖本来就只有有限个开集，而是即使提供无限多个开集，也总能从里面挑出有限个来完成覆盖。

二、先证明：紧集一定有界

这个方向比较简单。

假设 $K$ 是紧集。

我们考虑以原点为圆心、半径不断增大的开球：

$B(0,1),B(0,2),B(0,3),\ldots$

它们的并集能够覆盖整个 $\mathbb R^n$ ，当然也能覆盖 $K$ ：

$K\subseteq\bigcup_{m=1}^{\infty}B(0,m)$

由于 $K$ 是紧集，根据有限子覆盖性质，可以从这些开球中选出有限个，覆盖整个 $K$ 。

假设选中的最大半径为 $M$ 。

由于这些球都是同心的：

$K\subseteq B(0,M)$

这说明 $K$ 中所有点到原点的距离都小于 $M$ 。

因此：

$\boxed{K\text{ 紧致}\Longrightarrow K\text{ 有界}}$

三、再证明：紧集一定是闭集

回忆闭集的一个等价定义：

集合 $K$ 是闭集，当且仅当它的补集 $\mathbb R^n\setminus K$ 是开集。

因此，我们只需要证明：对于任意一个不属于 $K$ 的点 $\mathbf p$ ，都能在它周围找到一个完全不与 $K$ 相交的小球。

取：

$\mathbf p\notin K$

对于 $K$ 内每个点 $\mathbf x$ ，构造开球：

$B\left(\mathbf x,\frac{\|\mathbf x-\mathbf p\|}{3}\right)$

由于 $\mathbf p\ne\mathbf x$ ，每个球的半径都大于零。

这些球显然覆盖整个 $K$ ，因为每个点都是其对应球的球心。

由紧致性，存在有限个球：

$B(\mathbf x_1,r_1),\ldots,B(\mathbf x_m,r_m)$

仍然覆盖 $K$ ，其中：

$r_i=\frac{\|\mathbf x_i-\mathbf p\|}{3}$

令：

$\delta=\min(r_1,\ldots,r_m)>0$

现在，对于任意 $\mathbf z\in K$ ，它必然属于某个选中的球，例如 $B(\mathbf x_i,r_i)$ 。

根据三角不等式：

$\|\mathbf z-\mathbf p\| \geq \|\mathbf x_i-\mathbf p\|-\|\mathbf z-\mathbf x_i\|$

因为：

$\|\mathbf x_i-\mathbf p\|=3r_i,\qquad \|\mathbf z-\mathbf x_i\|<r_i$

所以：

$\|\mathbf z-\mathbf p\|>2r_i\geq2\delta$

因此，开球 $B(\mathbf p,\delta)$ 完全不与 $K$ 相交。

这意味着 $K$ 的补集是开集，所以：

$\boxed{K\text{ 紧致}\Longrightarrow K\text{ 闭}}$

至此，我们已经证明：

$\boxed{\text{紧致}\Longrightarrow\text{闭且有界}}$

四、最关键的一步：为什么闭且有界一定紧致？

这才是 Heine–Borel 定理真正需要用到欧氏空间特殊性质的地方。

我们要证明：

$\boxed{ K\subseteq\mathbb R^n\text{ 闭且有界} \Longrightarrow K\text{ 紧致} }$

也就是证明：对 $K$ 的任意开覆盖，一定存在有限子覆盖。

这里使用一个非常巧妙的方法：不断将空间分割成越来越小的立方体，并使用反证法。

第一步：假设结论不成立

假设 $K$ 是闭且有界的，但它不是紧集。

那么存在一种开覆盖：

$K\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$

无论选多少个有限的 $U_\alpha$ ，都无法覆盖整个 $K$ 。

由于 $K$ 有界，我们可以找到一个足够大的闭立方体 $C_0$ ，使得：

$K\subseteq C_0$

第二步：不断细分立方体

以二维为例，我们先把正方形分成 4 个小正方形。

由于 $K$ 不能被有限个开集覆盖，至少有一个小正方形与 $K$ 的交集，也不能被有限个开集覆盖。

否则，如果四个小正方形中的部分 $K$ 都可以被有限覆盖，那么把这四组有限覆盖合并起来，就得到整个 $K$ 的有限覆盖，与假设矛盾。

于是我们选择这个有问题的小正方形，继续分割。

最终得到一系列嵌套的闭立方体：

$C_0\supseteq C_1\supseteq C_2\supseteq\cdots$

并且每个 $K\cap C_m$ 都无法被有限个开集覆盖。

同时，立方体直径不断缩小：

$\boxed{\operatorname{diam}(C_m)\to0}$

第三步：证明这些立方体最终收敛到一个点

在每个 $K\cap C_m$ 中选择一点 $\mathbf x_m$ 。

由于这些立方体不断嵌套，对于任意 $j,k\geq N$ ，都有：

$\mathbf x_j,\mathbf x_k\in C_N$

所以：

$\|\mathbf x_j-\mathbf x_k\| \leq\operatorname{diam}(C_N)$

而立方体直径趋于零，因此序列 $\{\mathbf x_m\}$ 是柯西序列（Cauchy Sequence）。

欧氏空间 $\mathbb R^n$ 是完备的，所以存在极限：

$\boxed{\mathbf x_m\to\mathbf x^*}$

又因为 $K$ 是闭集，所有 $\mathbf x_m\in K$ ，因此：

$\boxed{\mathbf x^*\in K}$

而且，由于立方体嵌套且闭合， $\mathbf x^*$ 属于每一个 $C_m$ 。

第四步：利用开集性质得到矛盾

这是整个证明最精彩的地方。

因为我们的开集族覆盖 $K$ ，所以必然有某一个开集 $U_\beta$ 包含 $\mathbf x^*$ ：

$\mathbf x^*\in U_\beta$

既然 $U_\beta$ 是开集，那么存在一个 $\varepsilon>0$ ，使得：

$B(\mathbf x^*,\varepsilon)\subseteq U_\beta$

但是，立方体 $C_m$ 的直径正在趋近零，而且每个都包含 $\mathbf x^*$ 。

因此，当 $m$ 足够大时：

$C_m\subseteq B(\mathbf x^*,\varepsilon)$

于是：

$\boxed{K\cap C_m\subseteq U_\beta}$

也就是说，仅仅一个开集 $U_\beta$ ，就已经能够覆盖这个立方体内的全部 $K$ ！

但我们在构造立方体时，要求每个 $K\cap C_m$ 都不能被有限个开集覆盖。

矛盾！

因此，原来的假设不成立。

$\boxed{ K\text{ 闭且有界} \Longrightarrow K\text{ 紧致} }$

Heine–Borel 定理证毕。

五、为什么又可以用收敛子序列来理解紧致性？

现在回到你最开始关心的那个问题：

为什么闭且有界集合中的任意序列，都存在收敛到集合内部的子序列？

实际上，它与刚才的证明有相同的数学基础。

这里使用 Bolzano–Weierstrass 定理（博尔查诺–魏尔斯特拉斯定理）：

$\boxed{\mathbb R^n\text{ 中任意有界序列都有收敛子序列}}$

例如，假设有一个二维有界序列：

$\mathbf x_n=(a_n,b_n)$

由于整个序列有界，坐标序列 $\{a_n\}$ 也有界。

根据一维 Bolzano–Weierstrass 定理，可以从中选出收敛子序列：

$a_{n_k}\to a$

然后只考虑对应的 $\{b_{n_k}\}$ 。

它同样有界，因此可以继续选出一个子序列：

$b_{n_{k_j}}\to b$

由于第二次选择的仍然是第一次收敛子序列的一部分，所以对应的 $a_{n_{k_j}}$ 也收敛到 $a$ 。

于是：

$\boxed{\mathbf x_{n_{k_j}}\to(a,b)}$

推广到有限维，只需要对每个坐标依次提取子序列。

如果原来的序列全部位于闭集 $K$ ，那么它的极限也必然属于 $K$ 。

因此：

$\boxed{ K\text{ 闭且有界} \Longrightarrow \text{任意序列都有收敛到 }K\text{ 内的子序列} }$

这种性质叫作序列紧致性（Sequential Compactness）。

对于欧氏空间：

$\boxed{ \text{开覆盖紧致} \iff \text{序列紧致} \iff \text{闭且有界} }$

前面通过嵌套立方体的证明，展示了闭且有界为什么能推出开覆盖紧致；而序列紧致是理解这一结论的另一种方式。

六、为什么强调有限维？

这里还有一个很重要的数学事实。

在无限维空间，例如平方可和序列组成的 Hilbert 空间 $\ell^2$ 中，考虑单位向量：

$\mathbf e_1=(1,0,0,\ldots)$

$\mathbf e_2=(0,1,0,\ldots)$

$\mathbf e_3=(0,0,1,\ldots)$

它们都在闭单位球内，长度都等于 1。

但对于任意 $i\ne j$ ：

$\|\mathbf e_i-\mathbf e_j\|=\sqrt2$

所以这些向量之间始终保持固定距离，根本无法找到收敛子序列。

因此，无限维空间的闭单位球虽然闭且有界，却并不紧致（相对于范数拓扑）。

这意味着：有限维不仅仅是证明中的技术限制，而是定理成立的重要条件。

对，开覆盖（Open Cover）完全不要求由小球组成，只要求每一个覆盖集合都是开集（Open Set）。

例如，在二维欧氏空间 $\mathbb R^2$ 中，以下都可以作为开覆盖的组成部分：

开圆盘： $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$
开矩形： $\{(x,y):0<x<2,\ 0<y<3\}$
开半平面： $\{(x,y):x>0\}$
不规则形状的开区域，甚至多个不相连开区域的并集

只要这些开集的并集包含目标集合 $K$ ，它们就构成 $K$ 的一个开覆盖：

$\boxed{K\subseteq\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha}$

那为什么证明中经常使用小球？

因为在欧氏空间中，开集的定义本身就可以通过开球来描述。

如果 $U$ 是开集，那么对其中任意一点 $\mathbf x\in U$ ，一定存在 $\varepsilon>0$ ，满足：

$\boxed{B(\mathbf x,\varepsilon)\subseteq U}$

这里的开球是：

$B(\mathbf x,\varepsilon) = \{\mathbf y:\|\mathbf y-\mathbf x\|<\varepsilon\}$

这意味着，不管开集 $U$ 的形状多么复杂，只要一点位于它内部，就能在这个点周围找到一个完全包含在 $U$ 里面的小球。

所以，在刚才 Heine–Borel 定理的证明中，我们首先知道：

$\mathbf x^*\in U_\beta$

因为 $U_\beta$ 是开集，所以可以找到：

$B(\mathbf x^*,\varepsilon)\subseteq U_\beta$

而随着嵌套立方体越来越小，最终整个立方体都会落入这个小球，也就落入 $U_\beta$ ，从而产生矛盾。

注意这里的逻辑：不是说开覆盖必须由小球组成，而是任何开集内部都可以找到适当的小球。

还有一个更深一层的结论：在欧氏空间中，所有开球构成拓扑的一个基（Basis）。因此，讨论开覆盖时，实际上也可以只检验由开球构成的覆盖是否存在有限子覆盖；如果这个性质对所有开球覆盖成立，那么它对任意开集覆盖也成立。

二维示意只展示几次细分，不指定真实 K 的形状；n 维每步分成 2ⁿ 个闭立方体。极限点落入某个原开集后，整个小立方体最终都落入它。

补充证明一：从实数完备性到一维 Bolzano–Weierstrass

设有界序列 $(x_j)$ 落在闭区间 $I_0$ 中。把区间对半分，至少一半包含无穷多个序列项的指标；选取它为 $I_1$ 。逐次重复，得到闭区间 $I_k$ ，长度为 $2^{-k}|I_0|$ ，每个都含无穷多个指标的序列项。

可依次选严格增加的指标 $j_k$ ，使 $x_{j_k}\in I_k$ 。当 $r,s\geq k$ 时，两项均落在 $I_k$ ，所以 $|x_{j_r}-x_{j_s}|\leq|I_k|$ 。它是柯西序列，由实数完备性收敛。这就补上了原对话中直接引用的一维定理；有限维坐标提取在上文已经说明。

补充证明二：序列紧致也推出闭且有界

若 $K$ 序列紧致却无界，可选 $x_j\in K$ 满足 $\|x_j\|>j$ 。任何子序列都不可能收敛，矛盾。

若 $K$ 不闭，则存在 $p\notin K$ ，每个 $B(p,1/j)$ 都与 $K$ 相交。选择 $x_j\in K\cap B(p,1/j)$ ，则 $x_j\to p$ 。序列紧致给出一个极限在 $K$ 中的子序列；极限唯一性迫使该极限就是 $p$ ，矛盾。因此 $K$ 闭。

把这两个结论与上文的 Heine–Borel 证明、有限维有界序列提取结合，才得到完整的三个等价条件：开覆盖紧致、序列紧致、闭且有界。这里没有把一个尚未证明的等价关系当作定义偷用。

空集也紧致、闭且有界、序列紧致；极值定理另需非空。闭集证明中对非空 $K$ 选有限球，空集情形单独直接成立。

补充：开球覆盖为什么足够

若只知道所有开球覆盖都有有限子覆盖，面对任意开覆盖 $\{U_\alpha\}$ ，为每个 $x\in K$ 选 $U_{\alpha(x)}\ni x$ 及 $r_x>0$ 使 $B(x,r_x)\subset U_{\alpha(x)}$ 。这些小球构成覆盖；取有限个后，相应有限个原开集也覆盖 $K$ 。因此“可以化成开球来证明”与“定义只允许开球”是两个不同的陈述。

在无限维 $\ell^2$ 的例子中，如果不引用一般度量空间的紧致与序列紧致等价，也能直接给出失败的开覆盖：对闭单位球内每个点 $x$ 取 $B(x,1/2)$ 。一个这样的球至多包含一个标准基向量 $e_j$ ，因为两点在同球内的距离小于 $1$ ，而 $\|e_i-e_j\|=\sqrt2$ 。任何有限个球都不能覆盖全部 $e_j$ ，所以闭单位球不紧致。