第 4 章：内部极值为什么必须驻点，为什么还要看二阶

4.1 定义与条件

设 $f:U\to\mathbb R$ ， $U\subseteq\mathbb R^n$ 为开集。若存在 $r>0$ ，对所有 $x\in B(p,r)$ 有 $f(x)\geq f(p)$ ，则 $p$ 为局部极小点；除 $p$ 外严格大于时为严格局部极小点。极大点反向定义。驻点指可微且 $\nabla f(p)=0$ 。

“最高/最低”在本笔记的判别法中指局部极值，除非明确写全局。二阶信息只描述邻域，不能直接推出全局结论。

4.2 从一元费马定理到多元必要条件

若一元可微函数 $g$ 在内部点 $0$ 取局部极小值，则 $t>0$ 时 $(g(t)-g(0))/t\geq0$ ， $t<0$ 时该商 $\leq0$ 。两侧极限存在且相等，只能都等于零。因此 $g'(0)=0$ 。

对每个坐标单位向量 $e_i$ ，令 $g_i(t)=f(p+te_i)$ 。内部点条件允许正、负小 $t$ ；局部极小条件使 $g_i$ 也在零处取极小值。因此

$\partial_if(p)=g_i'(0)=0\quad(i=1,\ldots,n),\qquad\nabla f(p)=0.$

局部极大对 $-f$ 应用同一证明即可。 $x^2+y^2$ 、 $-x^2-y^2$ 、 $x^2-y^2$ 在原点全是驻点，却分别为极小、极大、鞍点。这说明一阶条件不足以分类。

4.3 二阶量为何形成一个矩阵

当 $f\in C^2(U)$ ，定义 $H_{ij}(p)=\partial_i\partial_jf(p)$ 。沿固定方向 $v$ ，置 $g(t)=f(p+tv)$ ，链式法则给出

$g'(0)=\nabla f(p)^Tv,\qquad g''(0)=\sum_{i,j}v_iv_j\partial_i\partial_jf(p)=v^TH(p)v.$

Hessian 把所有方向的二阶变化率组织起来；只看坐标方向的 $f_{xx},f_{yy}$ 会漏掉交叉项。下一步要解释的正是：为什么这个二次型能由正交主方向描述，以及为什么“每个方向都正”能变成控制整个邻域的统一估计。