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代数基本定理笔记

第二版 · 2026-10-07（北京时间）

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从复导数出发，沿着 Green 定理、柯西积分公式和 Liouville 定理，理解为什么每个非常数复系数多项式都有复根。本篇根据原学习对话整理，保留追问的逻辑重点，合并重复讲解，并补齐原对话中尚未展开的证明步骤。

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第 1 章：目标是什么，为什么复分析能证明它4
第 2 章：复可微为什么施加了更强的条件5
第 3 章：复曲线积分、方向与 ML 估计7
第 4 章：Green 定理是怎样由一维微积分拼起来的9
第 5 章：柯西积分定理的条件与有洞区域12
第 6 章：挖掉一个小圆，推导柯西积分公式14
第 7 章：公式中的函数、核和整个被积函数16
第 8 章：导数公式、柯西估计与 Liouville 定理18
第 9 章：完整证明代数基本定理20
第 10 章：欧拉公式为什么能把圆写成指数23
第 11 章：比值判别、绝对收敛与任意重排25
第 12 章：公式速查、复习问题与来源核对28

阅读路线与符号

先读第 1 章看目标；第 2—3 章建立导数与积分；第 4 章补 Green 定理；第 5—7 章专门处理你反复追问的柯西定理、挖洞、核与函数的区别；第 8—9 章完成代数基本定理。第 10—11 章回补圆周参数化用到的欧拉公式、绝对收敛和重排；第 12 章用于复习和核对原对话。

记号	含义
$z = x + i y$ ； $\bar{z} = x - i y$	复数与复共轭； $i^{2} = - 1$
$f = u + i v$	$u, v$ 是函数的实部、虚部，都是实二元函数
$u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$	对实坐标的偏导数
$D$ ； $\partial D$	平面区域；它的整个定向边界
$γ (t)$ ； $L (γ)$	分段光滑的曲线参数化；曲线长度
$\oint$ ； $d A$	闭合曲线积分；面积元 $d x d y$
$C_{r}^{+}$ ； $C_{r}^{-}$	半径为 $r$ 的圆，分别逆时针、顺时针
$z_{0}$ ； $ζ$	待求值的内部点；柯西公式中的积分变量
$C^{1}$	一阶实偏导存在且连续；不同于“只在一点复可微”
$C [x]$	系数为复数的多项式环； $x$ 是形式变量

本篇默认曲线分段 $C^{1}$ ，边界由有限条互不相交的分段光滑简单闭曲线组成，积分方向均明确说明。柯西公式的基本版本使用正向简单闭曲线；多次绕行需要另加绕数。

第 1 章：目标是什么，为什么复分析能证明它

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1.1 系数在复数域，根也在复数域

代数基本定理的标准表述是：若

p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} \in C [x], a_{n} \neq 0, n \geq 1,

则存在 $α \in C$ 使 $p (α) = 0$ 。

“非常数”不可省略：常数多项式 $1$ 没有根；零多项式则处处为零，次数不按上述方式定义。系数可以是任意复数，并非只允许有理数。由于 $Q \subset C$ ，有理系数多项式也包含在结论中，但它的根未必是有理数。例如 $x^{2} - 2$ 在 $Q$ 中无根，却在 $C$ 中有根。

把形式变量换成复变量 $z$ 后， $p (z)$ 同时是一个复函数。代数问题于是进入复分析。

1.2 反证法的最后一跳

假设 $p (z)$ 在整个复平面都不为零，定义

f (z) = \frac{1}{p (z)} .

它在整个复平面全纯；最高次项控制无穷远处的增长，因此 $f (z) \to 0$ 。再在有限闭圆盘上用连续性和紧致性，得到 $f$ 全局有界。

Liouville 定理说：有界整函数必为常数。于是 $1 / p$ 是常数，继而 $p$ 是常数，与 $n \geq 1$ 矛盾。第 9 章会把增长估计、有限圆盘的下界、常数不能为零这几步全部写出。

真正的分析力量集中在

柯西导数公式 ⟹ | f^{'} (z_{0}) | \leq \frac{M}{R} ⟹ f^{'} (z_{0}) = 0.

$M$ 是整个复平面的统一上界，而 $R$ 可以任意大。一个固定的非负数被任意小的上界压住，只能等于零。

1.3 本篇的证明依赖，避免循环

原对话通过 Green 定理证明柯西定理。Green 定理需要连续偏导，因此这一路线先适用于 $C^{1}$ 且全纯的函数。不能先借柯西公式推出“全纯函数自动光滑”，再拿这个结论去证明柯西公式本身。

本篇沿用并严格完成 $C^{1}$ 路线。最终使用的 $1 / p$ 是分母处处非零的有理函数，直接由实坐标表达式就知道它光滑，不需要提前使用柯西公式。因此这个版本已经足够完整证明代数基本定理。

一般全纯函数无须另假设 $C^{1}$ ，也满足柯西定理与公式；去掉额外正则性条件需要柯西–古尔萨定理等论证。本篇说明这个一般结论，但不把其完整证明冒充为 Green 路线已经完成的内容。

第 2 章：复可微为什么施加了更强的条件

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2.1 差商必须有一个真正的二维极限

复导数定义为

f^{'} (z_{0}) = lim_{h \to 0, h \in C} \frac{f (z_{0} + h) - f (z_{0})}{h} .

$h$ 可以沿实轴、虚轴、任意射线，也可以沿弯曲路径趋近零。必须对所有趋近方式得到同一极限。只检验若干方向，甚至每条固定射线，都不能代替整个二维极限。

在开集上处处复可微，叫作全纯；在整个 $C$ 上全纯，叫作整函数。只在一个点复可微，不足以推出附近全纯，更不能直接推出无限次可微。

例如 $f (z) = z^{2}$ ：

\frac{(z + h)^{2} - z^{2}}{h} = 2 z + h ⟶ 2 z .

这个计算不依赖 $h$ 的方向，因此 $f^{'} (z) = 2 z$ 。同理，所有复系数多项式都是整函数。

反例是 $f (z) = \bar{z}$ 。在任一点，其差商都为 $\bar{h} / h$ 。若 $h = t$ 为实数，结果是 $1$ ；若 $h = i t$ ，结果是 $- 1$ 。所以共轭函数处处不复可微，尽管作为实平面的映射 $(x, y) \mapsto (x, - y)$ ，它十分光滑。

2.2 从两条坐标轴推导柯西–黎曼方程

写 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ 。沿实轴 $h = Δ x$ 取差商，得到

f^{'} (z_{0}) = u_{x} + i v_{x} .

沿虚轴 $h = i Δ y$ ，由于 $1 / i = - i$ ，得到

f^{'} (z_{0}) = \frac{u_{y} + i v_{y}}{i} = v_{y} - i u_{y} .

若复导数存在，这两个数必须相等；比较实部、虚部：

u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x} .

这就是柯西–黎曼方程，简称 CR 方程。复可微本身保证这里的偏导存在。

对 $z^{2}$ ，有 $u = x^{2} - y^{2}$ 、 $v = 2 x y$ ；于是 $u_{x} = v_{y} = 2 x$ ， $u_{y} = - 2 y = - v_{x}$ 。对 $\bar{z}$ ，有 $u = x$ 、 $v = - y$ ，故 $u_{x} = 1$ 而 $v_{y} = - 1$ ，CR 方程失败。

2.3 必要条件何时成为充分条件

只知道一个点的偏导满足 CR，不一定复可微。若实二元函数 $u, v$ 在该点实可微，则一阶展开为

\begin{aligned} Δ u & = u_{x} Δ x + u_{y} Δ y + o (| h |), \\ Δ v & = v_{x} Δ x + v_{y} Δ y + o (| h |) . \end{aligned}

代入 CR 方程后，

f (z_{0} + h) - f (z_{0}) = (u_{x} + i v_{x}) h + o (| h |) .

除以 $h$ ，误差的模趋于零，因此复导数存在。偏导在邻域连续是保证实可微的一个常用充分条件。

几何上，实可微只要求一个任意实线性近似；复可微要求线性近似必须是“乘以一个复数”。对应矩阵为

(\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}), f^{'} (z_{0}) = a + i b .

它是旋转与伸缩的组合，不能随意把两个方向拉伸成不同倍数。这比普通二维实可微增加了结构约束。邻域中处处满足这样的条件，才产生全纯函数的强刚性。

第 3 章：复曲线积分、方向与 ML 估计

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3.1 定义：沿曲线代入参数

若 $γ : [a, b] \to C$ 分段光滑， $f$ 在曲线上连续，定义

\int_{γ} f (z) d z = \int_{a}^{b} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t .

复数积分按实部、虚部分别进行。符号 $d z$ 不是曲线长度元；长度元为 $| γ^{'} (t) | d t$ ，而 $d z = γ^{'} (t) d t$ 携带方向。

例如从 $0$ 到 $1 + i$ 的直线 $γ (t) = (1 + i) t$ ， $0 \leq t \leq 1$ ：

\int_{γ} z d z = \int_{0}^{1} (1 + i)^{2} t d t = \int_{0}^{1} 2 i t d t = i .

3.2 原函数与闭曲线

如果在曲线经过的开集上 $F^{'} = f$ ，由链式法则

\frac{d}{d t} F (γ (t)) = f (γ (t)) γ^{'} (t),

所以

\int_{γ} f (z) d z = F (γ (b)) - F (γ (a)) .

因此具有单值原函数时，积分只依赖端点；闭曲线的积分为零。上例也可由原函数 $F (z) = z^{2} / 2$ 直接算出。

反向走曲线，积分变号： $\int_{- γ} f d z = - \int_{γ} f d z$ 。分段连接曲线，积分相加。这两条规则解释了以后“切口抵消”和“内边界负号”。

3.3 单位圆上的特殊积分

逆时针单位圆可写成

z = e^{i t}, 0 \leq t \leq 2 π, d z = i e^{i t} d t .

于是

\oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = \int_{0}^{2 π} i d t = 2 π i .

更一般地，令 $z = z_{0} + r e^{i t}$ ，对任意 $r > 0$ ：

\oint_{C_{r}^{+}} \frac{d z}{z - z_{0}} = 2 π i .

半径消掉了，结果只反映绕行方向和圈数。顺时针一圈是 $- 2 π i$ ，逆时针两圈是 $4 π i$ 。第 10 章补欧拉公式的依据；也可直接用 $z = z_{0} + r (\cos t + i \sin t)$ 做同样计算。

$1 / z$ 在 $C ∖ {0}$ 上没有全局单值全纯原函数，否则所有闭曲线积分都应为零。局部复对数可以作为原函数，但绕原点一圈会改变辐角，不能不加限制地使用一个全局的 $\log z$ 。

3.4 ML 不等式从哪里来

先对参数积分使用三角不等式：

\begin{aligned} | \int_{γ} f (z) d z | & \leq \int_{a}^{b} | f (γ (t)) | | γ^{'} (t) | d t \\ \leq (max_{z \in γ} | f (z) |) \int_{a}^{b} | γ^{'} (t) | d t . \end{aligned}

最后一个积分就是曲线长度，所以

| \int_{γ} f (z) d z | \leq M L (γ), M = max_{γ} | f | .

连续函数在紧曲线像上能取到最大值；更一般时用上确界。小圆误差估计和 Liouville 定理都只需这条不等式。

第 4 章：Green 定理是怎样由一维微积分拼起来的

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4.1 定理和条件

设 $P, Q$ 在包含闭区域 $\overset{―}{D}$ 的开集上属于 $C^{1}$ ， $D$ 有规则边界，取正向边界，即行进时区域始终在左侧。Green 定理为

\oint_{\partial D} P d x + Q d y = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A .

有洞时 $\partial D$ 是整个边界，包含外边界和全部内边界。下面先证明矩形，再说明简单曲边区域及有限拼接的推广。

4.2 矩形上先证明一半

取 $D = [a, b] \times [c, d]$ ，逆时针方向。积分 $\oint P d x$ 在两条竖边上为零，因为 $d x = 0$ 。下边向右，上边向左：

\oint_{\partial D} P d x = \int_{a}^{b} P (x, c) d x - \int_{a}^{b} P (x, d) d x .

固定 $x$ ，一维微积分基本定理给出

P (x, d) - P (x, c) = \int_{c}^{d} P_{y} (x, y) d y .

代回，利用连续函数的迭代积分：

\oint_{\partial D} P d x = - \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} P_{y} (x, y) d y d x = - \iint_{D} P_{y} d A .

负号来自上边界反向，不能记成加号。

4.3 另一半及相加

对 $\oint Q d y$ ，上下两条水平边没有贡献。右边向上，左边向下：

\oint_{\partial D} Q d y = \int_{c}^{d} [Q (b, y) - Q (a, y)] d y .

固定 $y$ ，使用

Q (b, y) - Q (a, y) = \int_{a}^{b} Q_{x} (x, y) d x,

得到

\oint_{\partial D} Q d y = \iint_{D} Q_{x} d A .

两半相加就是 Green 定理。因此它的局部来源就是 $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'}$ ，分别沿两个坐标方向使用一次。

4.4 曲边区域与内部公共边抵消

若

D = {(x, y) : a \leq x \leq b, ϕ_{1} (x) \leq y \leq ϕ_{2} (x)},

同样沿上下图像走，有

\begin{aligned} \oint_{\partial D} P d x & = \int_{a}^{b} [P (x, ϕ_{1} (x)) - P (x, ϕ_{2} (x))] d x \\ = - \int_{a}^{b} \int_{ϕ_{1} (x)}^{ϕ_{2} (x)} P_{y} (x, y) d y d x . \end{aligned}

两条可能存在的竖直连接边仍无贡献。若区域对水平线也简单，交换 $x, y$ 的角色可得 $Q d y$ 的另一半。圆盘等区域可这样处理，必要时在极少数端点按极限解释。

对能有限分割为这类简单区域的 $D = D_{1} \cup \dots \cup D_{m}$ ，逐块使用公式再相加。面积积分相加得到整个区域的面积积分；内部公共边在两块的正向边界中方向相反，所以抵消，最终留下 $\partial D$ 。

此论证完整覆盖本篇所需的圆盘和挖去小圆盘的区域。更一般边界的 Green 定理还需要相应分割或逼近论证；“所有区域都随便切几块”不能替代条件说明。

4.5 为什么内边界必须顺时针

正向的统一规则是：区域在左侧。外圆逆时针时，内部区域在左侧。沿洞的圆周逆时针走，左侧却是洞内部，真正的区域在右侧，所以必须反向。

若把两个圆都先记成逆时针，则

\partial D = C_{R}^{+} - C_{r}^{+},

Green 定理成为

\oint_{C_{R}^{+}} (P d x + Q d y) - \oint_{C_{r}^{+}} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A .

内圆前的负号表达定向，并不意味着每一条边界各自积分为零。

第 5 章：柯西积分定理的条件与有洞区域

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5.1 用 Green 定理和 CR 方程推导

写 $f = u + i v$ 、 $d z = d x + i d y$ ，展开：

f d z = (u d x - v d y) + i (v d x + u d y) .

假设 $f$ 在 $\overset{―}{D}$ 的邻域全纯，且 $u, v$ 有连续一阶偏导。分别应用 Green 定理：

\begin{aligned} \oint_{\partial D} (u d x - v d y) & = \iint_{D} (- v_{x} - u_{y}) d A = 0, \\ \oint_{\partial D} (v d x + u d y) & = \iint_{D} (u_{x} - v_{y}) d A = 0. \end{aligned}

最后两个零由 CR 方程给出。因此

\oint_{\partial D} f (z) d z = 0.

这直接是整个定向边界版，区域可以有洞，只要函数在剩余区域及边界附近满足条件。

5.2 单连通版说的是另一个对象

区域通常指开且连通的集合。若其中任何闭曲线都能在区域内连续缩成一点，区域称为单连通。圆盘、整个复平面、半平面都是例子； $C ∖ {0}$ 和圆环不是。

正式的收缩同伦 $H (s, t)$ 除了连续、始终落在 $D$ 、起点为原曲线、终点为常值外，还要满足

H (s, 0) = H (s, 1) (0 \leq s \leq 1),

即变形过程中始终是闭曲线。原对话的形式定义省略了这一条件。

柯西定理的常见一般版本是： $D$ 单连通且 $f$ 在 $D$ 全纯，则对任意分段光滑闭曲线 $γ \subset D$ ， $\oint_{γ} f d z = 0$ 。这里讨论的是任意一条闭曲线；上一节讨论的是某个区域的全部定向边界。两者不能混为同一个表述。

单连通是这个通用版本的充分条件，不能把它说成“每个具体函数、每条具体曲线积分为零的必要条件”。例如 $f = 1$ 在有洞的区域上也有原函数 $z$ ，任意闭曲线积分仍为零。

5.3 $1 / z$ 为什么不违反定理

$1 / z$ 在 $C ∖ {0}$ 上全纯，但单位圆绕着被排除的零点：

\oint_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = 2 π i \neq 0.

它不满足“在整个圆盘及其边界附近全纯”的条件，定义域也不满足单连通条件。因此闭合本身不足以保证积分为零。

在圆环 $r < | z | < R$ 上， $1 / z$ 满足边界版的条件，于是

\oint_{C_{R}^{+}} \frac{d z}{z} - \oint_{C_{r}^{+}} \frac{d z}{z} = 2 π i - 2 π i = 0.

两个圆分别积分非零，而定向边界总和为零，完全一致。

5.4 “切一刀”的几何直觉要怎样理解

把圆环沿连接内外边界的线切开，可以直观看到外圆、内圆反向、切口两侧构成一条边界。两侧沿同一条切线反向行走，积分抵消，留下外圆积分等于内圆积分。

若要从单连通版严格推出，应使用有细小宽度的切口，再令宽度趋于零，以连续性证明两侧积分趋于相反数；零宽切口的两侧不是两条互不相交的普通边界，不能省略极限论证。本篇实际证明用上一节的 Green 边界版，不依赖这张直觉图来完成逻辑。

第 6 章：挖掉一个小圆，推导柯西积分公式

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6.1 条件和“有奇点”的对象

设 $C$ 是逆时针简单闭曲线，围成区域 $Ω$ ； $f$ 在 $\overset{―}{Ω}$ 的邻域全纯且属于 $C^{1}$ ， $z_{0} \in Ω$ 。本篇可以直接取 $C$ 为圆。

考虑

g (ζ) = \frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}} .

$f$ 在 $z_{0}$ 没有奇点，但 $g$ 可能有奇点。我们不能对原来的整个区域直接断言 $\oint_{C} g d ζ = 0$ 。

在 $z_{0}$ 周围挖去闭小圆盘，取足够小的 $ε > 0$ 使它完全位于 $Ω$ 中，剩下区域记作 $D_{ε}$ 。在该区域及其边界附近， $g$ 满足 Green 路线的条件。

6.2 环形区域需要整个边界

设 $C_{ε}^{+}$ 是以 $z_{0}$ 为中心的小圆，逆时针。实际的内边界是顺时针，所以

\partial D_{ε} = C - C_{ε}^{+} .

应用边界版柯西定理：

0 = \oint_{C} g (ζ) d ζ - \oint_{C_{ε}^{+}} g (ζ) d ζ .

因此

\oint_{C} \frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}} d ζ = \oint_{C_{ε}^{+}} \frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}} d ζ .

这正是原对话中“挖了洞以后还需要过渡”的答案：使用的是定向边界之和，不是说外边界单独积分为零。

6.3 小圆积分：精确项与误差项

把函数拆成

f (ζ) = f (z_{0}) + [f (ζ) - f (z_{0})] .

于是小圆积分为

f (z_{0}) \oint_{C_{ε}^{+}} \frac{d ζ}{ζ - z_{0}} + E_{ε}, E_{ε} = \oint_{C_{ε}^{+}} \frac{f (ζ) - f (z_{0})}{ζ - z_{0}} d ζ .

第一项由第 3 章的圆周计算，恰好是 $2 π i f (z_{0})$ ，不含近似。

第二项用 ML 不等式。小圆长度为 $2 π ε$ ，分母模为 $ε$ ，故

\begin{aligned} | E_{ε} | & \leq 2 π ε \cdot \frac{max_{| ζ - z_{0} | = ε} | f (ζ) - f (z_{0}) |}{ε} \\ = 2 π max_{| ζ - z_{0} | = ε} | f (ζ) - f (z_{0}) | ⟶ 0. \end{aligned}

最后一步只使用 $f$ 在 $z_{0}$ 的连续性：给定任意误差限，足够小的整个邻域内差值都小，所以小圆上的最大值也小。不是只对某个移动点成立的点态论证。

6.4 从极限得到精确等式

外边界积分不依赖 $ε$ ，而每个足够小的小圆积分都与它相等。令 $ε \to 0$ ，得到

\oint_{C} \frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}} d ζ = 2 π i f (z_{0}) .

即

f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}} d ζ .

这就是柯西积分公式。已知边界上的函数值，通过核 $1 / (ζ - z_{0})$ 的加权积分，提取出内部的函数值。

注意曲线须正向绕内部点一次；一般闭曲线的对应版本带有绕数，不能把任意绕行都直接写成上述等式。

第 7 章：公式中的函数、核和整个被积函数

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7.1 三个对象分别是谁

这是原对话中最容易混淆的一点。柯西公式中的

\underset{待恢复的全纯函数}{\underset{⏟}{f (ζ)}} \cdot \underset{核}{\underset{⏟}{\frac{1}{ζ - z_{0}}}} = \underset{整个被积函数}{\underset{⏟}{\frac{f (ζ)}{ζ - z_{0}}}}

不是三个同名对象。前提要求 $f$ 在内部及边界附近全纯；核在 $z_{0}$ 的奇点是公式刻意引入的结构。

7.2 积分 $1 / ζ$ 时，公式里的 $f$ 可以是 $1$

取 $f (ζ) = 1$ 、 $z_{0} = 0$ ，于是整个被积函数是 $1 / ζ$ 。公式给出

1 = \frac{1}{2 π i} \oint_{| ζ | = 1} \frac{d ζ}{ζ} .

所以确实是在积分 $1 / ζ$ ，而要求全纯的函数对象是常数函数 $f = 1$ 。这与直接参数化算出 $2 π i$ 相符。

7.3 如果真的令 $f (ζ) = 1 / ζ$ 并取 $z_{0} = 0$

此时整个被积函数变成 $1 / ζ^{2}$ ，而 $f (0)$ 根本未定义，所以不能使用柯西积分公式。

虽然

\oint_{| ζ | = 1} \frac{d ζ}{ζ^{2}} = 0,

也不能据此解释成 $f (0) = 0$ 。积分为零可直接由参数化计算，或由原函数 $- 1 / ζ$ 证明；它不修复缺失的前提。

7.4 $1 / ζ$ 在不包含零点的小圆内可以使用公式

取 $z_{0} = 2$ ，圆 $| ζ - 2 | = 1 / 2$ 的内部与边界均避开零点，故

\frac{1}{2} = \frac{1}{2 π i} \oint_{| ζ - 2 | = 1 / 2} \frac{d ζ}{ζ (ζ - 2)} .

右边的积分是 $π i$ 。这里公式中的函数 $f (ζ) = 1 / ζ$ 满足前提。

若改为大圆 $| ζ | = 3$ ，内部还包含 $f$ 自身的奇点 $0$ ，不能直接套公式。部分分式给出

\frac{1}{ζ (ζ - 2)} = - \frac{1}{2 ζ} + \frac{1}{2 (ζ - 2)} .

两个基本积分分别是 $2 π i$ ，贡献抵消，因此大圆上的总积分为零。这不是公式矛盾，而是它的前提已经失败。

第 8 章：导数公式、柯西估计与 Liouville 定理

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8.1 求导的是内部点，积分变量不变

为了区分变量，把内部点暂记作 $w$ 。柯西公式为

f (w) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (ζ)}{ζ - w} d ζ .

固定曲线 $C$ ，取 $w$ 在内部。形式求导时

\frac{d}{d w} (ζ - w)^{- 1} = (ζ - w)^{- 2},

两个负号抵消。但不能只写形式计算，还要解释为什么可以把导数放进积分。

8.2 用差商和一致估计补齐交换步骤

设 $d = dist (w, C) > 0$ ，取 $| h | < d / 2$ ，且 $w + h$ 仍在内部。两次柯西公式相减并除以 $h$ ：

\frac{f (w + h) - f (w)}{h} = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (ζ)}{(ζ - w - h) (ζ - w)} d ζ .

核与极限核的差满足

| \frac{1}{(ζ - w - h) (ζ - w)} - \frac{1}{(ζ - w)^{2}} | \leq \frac{2 | h |}{d^{3}} .

因为 $| ζ - w | \geq d$ 、 $| ζ - w - h | \geq d / 2$ 。这个上界对曲线上所有 $ζ$ 都成立，因此核一致收敛。乘上曲线上有限的 $max | f |$ ，再用 ML 不等式，积分误差也趋于零。所以

f^{'} (w) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (ζ)}{(ζ - w)^{2}} d ζ .

继续对核求导，在内部紧子集上分母始终与零有正距离，同样的估计允许逐次求导，得到

f^{(n)} (w) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (ζ)}{(ζ - w)^{n + 1}} d ζ, n \geq 0.

这说明一旦在邻域上有柯西公式，就能推出所有阶导数。结合一般柯西定理，全纯自动无限次复可微；更进一步还可由核的几何级数展开推出局部幂级数表示。本篇完整使用的是前述 $C^{1}$ 版本，不需要先借这些后续结论补充 Green 定理的条件。

8.3 柯西估计

在以 $z_{0}$ 为中心、半径 $R$ 的圆上，若 $| f | \leq M_{R}$ ，并且 $f$ 在整个闭圆盘附近满足公式条件，则

\begin{aligned} | f^{(n)} (z_{0}) | & \leq \frac{n!}{2 π} (2 π R) \frac{M_{R}}{R^{n + 1}} \\ = \frac{n! M_{R}}{R^{n}} . \end{aligned}

因此

| f^{'} (z_{0}) | \leq \frac{M_{R}}{R} .

对一般函数， $M_{R}$ 可能随 $R$ 增长，不能随便令右边趋于零。Liouville 的关键是存在一个与半径无关的全局上界 $M$ 。

8.4 Liouville 的证明

假设 $f$ 在整个复平面全纯且属于本篇已证的 $C^{1}$ 类，并且对所有 $z$ 都有 $| f (z) | \leq M$ 。任取 $z_{0}$ ，由于任意大的闭圆盘都位于定义域内，

| f^{'} (z_{0}) | \leq \frac{M}{R} 对所有 R > 0.

令 $R \to \infty$ ，得 $f^{'} (z_{0}) = 0$ 。 $z_{0}$ 任意，所以导数处处为零。

补上最后一步：任取 $a, b \in C$ ，沿线段 $γ (t) = a + t (b - a)$ ，有

\frac{d}{d t} f (γ (t)) = f^{'} (γ (t)) (b - a) = 0.

实部、虚部作为实函数都为常数，故 $f (a) = f (b)$ ， $f$ 是常数。

一般 Liouville 定理同样不需要额外假设 $C^{1}$ ，因为一般柯西公式成立；在代数基本定理的应用中，我们已经独立知道 $1 / p$ 光滑，因此没有逻辑缺口。

8.5 “估计导出矛盾”到底是哪一层

Liouville 本身用估计直接把导数压成零，并不一定要反证。用于代数基本定理时，才把它放入“假设多项式无根”的反证链中。你在原对话提出的直觉可以精确写成：柯西公式提供导数估计，估计给出刚性，刚性排除无根的非常数多项式。

第 9 章：完整证明代数基本定理

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9.1 假设无根，倒数为什么光滑且全纯

设 $p$ 非常数，反设 $p (z) \neq 0$ 对所有 $z \in C$ 成立。写 $p = u + i v$ ，则

\frac{1}{p} = \frac{u - i v}{u^{2} + v^{2}} .

$u, v$ 是实坐标的多项式，分母处处为正，所以倒数的实部、虚部都是光滑实函数。另一方面由复差商的倒数法则，

{(\frac{1}{p})}^{'} = - \frac{p^{'}}{p^{2}},

因此 $1 / p$ 是整函数，并满足 Green 路线所需的正则性。

9.2 无穷远处：最高次项不能被低次项抵消

写

p (z) = a_{n} z^{n} + \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} z^{k}, a_{n} \neq 0.

反三角不等式给出

| p (z) | \geq | a_{n} | | z |^{n} - \sum_{k = 0}^{n - 1} | a_{k} | | z |^{k} .

除以 $| z |^{n}$ 后，低次部分为有限和

\sum_{k = 0}^{n - 1} | a_{k} | | z |^{k - n} ⟶ 0.

所以存在 $R_{0} \geq 1$ ，使 $| z | \geq R_{0}$ 时

| p (z) | \geq \frac{| a_{n} |}{2} | z |^{n} .

于是 $| p (z) | \to \infty$ ，且

| \frac{1}{p (z)} | \leq \frac{2}{| a_{n} | | z |^{n}} \leq \frac{2}{| a_{n} | R_{0}^{n}} .

这个估计对所有方向同时成立，不是只沿实轴观察增长。

9.3 有限闭圆盘：无零点加紧致性给出正下界

在紧集 $K = {z : | z | \leq R_{0}}$ 上，连续函数 $| p |$ 取得最小值 $m$ 。无根假设保证达到最小值的点也不为零，所以

m = min_{z \in K} | p (z) | > 0, | \frac{1}{p (z)} | \leq \frac{1}{m} (z \in K) .

单独说“每个点都不为零”并不能在任意非紧集上得到统一正下界，这里紧致性不可省略。也可以直接对连续函数 $1 / p$ 在闭圆盘上取最大值。

内外两部分合并，得到全局统一上界

| \frac{1}{p (z)} | \leq M = max {\frac{1}{m}, \frac{2}{| a_{n} | R_{0}^{n}}} .

9.4 应用 Liouville，完成矛盾

$1 / p$ 是有界整函数，且属于本篇已证的光滑类，因此 $1 / p = c$ 为常数。由于 $1 / p (z)$ 在每个点都非零， $c \neq 0$ ，故 $p = 1 / c$ 是常数，与 $n \geq 1$ 矛盾。

也可以使用无穷远处 $1 / p \to 0$ ：常数 $c$ 只能为零，但 $1 / p$ 不可能为零，同样矛盾。

因此

每个非常数 p \in C [x] 都在 C 中有根。

9.5 从一个根到全部一次因子

找到根 $α_{1}$ 后，用多项式除法：

p (x) = (x - α_{1}) q (x) + r .

余数为常数，代入 $α_{1}$ 得 $r = 0$ 。若 $q$ 仍非常数，再应用已经证明的定理。每次次数下降 $1$ ，有限次得到

p (x) = a_{n} \prod_{j = 1}^{n} (x - α_{j}), α_{j} \in C .

根允许重复，因此“次数为 $n$ 就有 $n$ 个根”应当说成计重数恰有 $n$ 个复根。例如 $(x - 1)^{2}$ 只有一个不同的根，却有重数 $2$ 。等价的域论表述是 $C$ 为代数闭域。

9.6 接回此前的代数学笔记

代数基本定理说明复数域中多项式可以完全分裂；它并不说明根能用系数的有限次四则运算和开方表达。五次方程的根式障碍仍由伽罗瓦群的不可解性决定。

可以接着阅读伽罗瓦理论笔记与五次方程证明框架笔记。分圆域中的复单位根则与第 10 章的欧拉公式直接相接，见多项式与分圆域笔记。

第 10 章：欧拉公式为什么能把圆写成指数

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10.1 先定义复指数，避免“直接把实数换成复数”的跳跃

定义

e^{z} := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}, z \in C .

对于实数，它与熟悉的指数函数一致。对复数，先证明这个级数确实收敛，才有权用它定义函数。

因复数模满足 $| z^{n} | = | z |^{n}$ ，绝对值级数为

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{| z |^{n}}{n!} .

若 $z \neq 0$ ，相邻项之比为 $| z | / (n + 1) \to 0 < 1$ ，所以比值判别法保证收敛。 $z = 0$ 单独处理：只有第一项为 $1$ ，其余为零。于是对任何固定复数 $z$ 都绝对收敛，收敛半径为无穷大。

这里“阶乘最终压过指数”只是直觉，严格的收敛依据是比值判别法，第 11 章会证明它。

10.2 利用 $i$ 的幂循环，拆成两条实级数

对实数 $θ$ ， $i$ 的幂按 $1, i, - 1, - i$ 循环。由绝对收敛，可把偶数项与奇数项分别收集：

\begin{aligned} e^{i θ} & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k}}{(2 k)!} + i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} θ^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} \\ = \cos θ + i \sin θ . \end{aligned}

本篇使用实微积分中已经证明的正弦、余弦幂级数展开。因此

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ .

指数里有 $i$ ，普通实指数 $e^{θ}$ 不代表单位圆上的旋转。

10.3 模、角度与圆周参数化

由 $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ ，

| e^{i θ} | = 1.

随着 $θ$ 从 $0$ 增加到 $2 π$ ，它逆时针走一圈。几个特殊值是

e^{i 0} = 1, e^{i π / 2} = i, e^{i π} = - 1, e^{i 2 π} = 1.

任意非零复数均可写为 $z = r e^{i θ}$ ， $r = | z | > 0$ ；角度只确定到整数倍 $2 π$ 。圆 $| z - z_{0} | = r$ 可写成 $z = z_{0} + r e^{i t}$ 。

参数求导不必提前引用复指数的全纯性：对欧拉公式两边关于实参数 $t$ 求导，

\frac{d}{d t} e^{i t} = - \sin t + i \cos t = i e^{i t} .

所以第 3 章使用的 $d z = i r e^{i t} d t$ 有清楚的实微积分依据。

第 11 章：比值判别、绝对收敛与任意重排

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11.1 比值小于一，尾项被几何级数控制

设 $a_{n} > 0$ ，且 $a_{n + 1} / a_{n} \to L < 1$ 。选 $L < q < 1$ ，则存在 $N$ ，使所有 $n \geq N$ 都满足 $a_{n + 1} \leq q a_{n}$ 。逐次迭代，

a_{N + k} \leq a_{N} q^{k} (k \geq 0) .

因此

\sum_{n = N}^{\infty} a_{n} \leq a_{N} \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{a_{N}}{1 - q} < \infty .

有限个前项不影响收敛。比值判别法的本质就是比较几何级数，而不是仅仅判断 $a_{n} \to 0$ 。项趋零是必要条件，远非充分条件，例如调和级数发散。

若比值极限 $L > 1$ ，取 $1 < q < L$ ，尾项最终至少按 $q$ 倍增长，因而不趋零，级数发散。若 $L = 1$ ，该判别法没有结论： $\sum 1 / n$ 发散， $\sum 1 / n^{2}$ 收敛，两者比值极限都为 $1$ 。

对于复级数，应把比值判别用于绝对值，而不能比较复数本身的大小关系。

11.2 绝对收敛为什么保证复级数收敛

若 $\sum | a_{n} | < \infty$ ，则对 $m > n$ ，

| \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} | \leq \sum_{k = n + 1}^{m} | a_{k} | ⟶ 0.

部分和因此是复数域中的 Cauchy 序列； $C$ 的完备性保证其收敛。所以可以把和记成 $S = \sum a_{n}$ 。

11.3 任意重排不改变和：尾项估计的完整证明

设 $σ : N \to N$ 是双射。每一项恰好出现一次，没有遗漏或重复。给定 $ε > 0$ ，由绝对收敛选 $N$ ，使

\sum_{n > N} | a_{n} | < \frac{ε}{2} .

令 $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ 。因为 $σ$ 是双射，存在 $M_{0}$ ，使当 $M \geq M_{0}$ 时，重排后的前 $M$ 项包含原来的全部前 $N$ 项。记

T_{M} = \sum_{k = 1}^{M} a_{σ (k)} .

$T_{M} - S_{N}$ 只是有限个编号大于 $N$ 的项之和，所以

| T_{M} - S_{N} | \leq \sum_{n > N} | a_{n} | < \frac{ε}{2} .

原级数的尾和也满足 $| S - S_{N} | < ε / 2$ 。于是对每个 $M \geq M_{0}$ ，

| T_{M} - S | \leq | T_{M} - S_{N} | + | S_{N} - S | < ε .

因此 $T_{M} \to S$ ，任意重排保持和。这个证明不用先假设“剩余项的无限子级数”已经合法，直接用有限和估计与原级数尾和就够了。

直觉是：前面有限个项包含几乎全部绝对大小；其余所有项的绝对值总量已经小，怎么搬动都无法制造一个固定大小的新贡献。

11.4 收集偶数项和奇数项，不等于写一个无限长的排列前段

偶数项、奇数项的绝对值级数都被 $\sum | a_{n} |$ 控制，因此各自收敛。令

A_{m} = \sum_{k = 0}^{m} a_{2 k}, B_{m} = \sum_{k = 0}^{m} a_{2 k + 1} .

两者之和是原级数的一个有限部分和。令 $m \to \infty$ ，得到原和等于两个子级数的和。这严格说明了欧拉公式中的拆分。

不能把“先写完所有偶数项，再写所有奇数项”字面理解成 $N$ 的排列：第一组永远写不完，奇数项就不会出现。正确操作是先证明两个子级数收敛，再加它们的和。

11.5 加括号与重排的条件不同

如果原级数已经收敛，只在原顺序中把连续的有限项组成括号，每个项都最终被纳入，那么分组后的部分和就是原部分和的子序列，因此和不变，不需要绝对收敛。

任意重排则强得多。条件收敛的实级数，例如交错调和级数，依赖正负抵消；重排可能改变和或使其发散。这里的 Riemann 重排定理只是边界提醒，本篇没有展开其构造证明。

绝对收敛保证的是：任意排列，以及把全部项分配到已证明收敛的子级数再相加，都能安全处理。它不授权遗漏、重复项或未经定义的“无限括号”运算。

第 12 章：公式速查、复习问题与来源核对

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12.1 公式必须连着条件记

公式	使用条件与作用
$f^{'} (z_{0}) = lim_{h \to 0} [f (z_{0} + h) - f (z_{0})] / h$	真正的复平面极限，不是只比较两条轴
$u_{x} = v_{y}, u_{y} = - v_{x}$	复可微的必要条件；配合实可微可作充分条件
$\int_{γ} f d z = \int f (γ (t)) γ^{'} (t) d t$	曲线分段光滑，函数在曲线上连续
$\| \int_{γ} f d z \| \leq M L (γ)$	$\| f \| \leq M$ 在曲线上成立
$\oint_{\partial D} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (Q_{x} - P_{y}) d A$	连续偏导、规则区域、整个正向边界
$\oint_{\partial D} f d z = 0$	本篇证明用 $C^{1}$ 全纯函数，定义在闭区域邻域
$\oint_{C_{r}^{+}} d z / (z - z_{0}) = 2 π i$	$r > 0$ ，逆时针一圈
$f (z_{0}) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} f (ζ) / (ζ - z_{0}) d ζ$	正向简单闭曲线，内部点，公式中的函数 $f$ 满足全纯条件
$f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} f (ζ) / (ζ - z_{0})^{n + 1} d ζ$	固定曲线，内部点与曲线有正距离
$\| f^{(n)} (z_{0}) \| \leq n! M_{R} / R^{n}$	在整个闭圆盘附近有公式； $M_{R}$ 是圆周上界
$\| f^{'} (z_{0}) \| \leq M / R \Rightarrow f^{'} = 0$	全局同一个 $M$ ，定义域允许任意大 $R$
$e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$	$θ$ 为实数；由绝对收敛幂级数推导

12.2 两条容易记住的估计

小圆用于恢复函数值：曲线长度中的 $ε$ 与核的 $1 / ε$ 抵消，最后由连续性压小误差。

大圆用于控制导数：曲线长度给 $R$ ，导数核给 $1 / R^{2}$ ，留下 $1 / R$ ；有界整函数允许让 $R$ 任意大。

这两种极限方向不同，却都由同一条 ML 不等式完成。

12.3 自测：能回答这些问题，就抓住了主线

为什么 $\bar{z}$ 作为实映射很光滑，却没有复导数？
CR 方程成立为什么不能单独保证一点复可微？
Green 定理中 $- P_{y}$ 的负号来自哪条边的方向？
圆环上全纯为什么只保证外圆积分等于内圆积分？
$\oint d z / z = 2 π i$ 与柯西定理为什么不矛盾？
积分 $1 / z$ 时，公式里要求全纯的 $f$ 为什么可以是 $1$ ？
小圆误差趋零究竟用了哪个连续性估计？
把导数放入积分为什么需要内部点与曲线保持距离？
只有圆周上界 $M_{R}$ 时，为什么不能直接推出 Liouville？
“无根”如何配合闭圆盘紧致性给出 $| p |$ 的正下界？
为什么“复根存在”仍不等于“能用根式写出复根”？
绝对收敛如何控制任意重排后的部分和？为什么不改顺序的有限分组要求更弱？

12.4 原对话覆盖索引

原分享中共有 26 段可见数学回答，下表以出现顺序编号。系统消息、隐藏推理及“Original custom instructions no longer available”占位文本不计入数学正文。原用户追问和助手正文按顺序保留在资料目录；下表说明每段在本篇的落点。

原回答	主题	本篇位置
A01	目标、证明路线、复导数、共轭反例	第 1—2 章
A02	CR 方程与必要、充分条件	第 2 章
A03	曲线积分、原函数、单位圆积分	第 3 章
A04	Green 与 CR 推出柯西定理	第 4—5 章
A05	挖洞、柯西公式、小圆误差	第 6 章
A06	圆环、整个定向边界、切口	第 5—6 章
A07	单连通、收缩、洞与绕数	第 5 章
A08	小圆积分与精确等式	第 6 章
A09	$1 / z$ 能否使用柯西公式	第 7 章
A10	区分公式里的函数与整个被积函数	第 7 章
A11	柯西导数公式	第 8 章
A12	Liouville 的导数估计	第 8 章
A13	估计与最终矛盾的关系	第 8—9 章
A14	复可微的强约束	第 2、8 章
A15	柯西相关公式汇总	第 12 章
A16	Green 定理的矩形证明	第 4 章
A17	简单区域、拼接与内边界方向	第 4 章
A18	$C [x]$ 与 $Q [x]$	第 1 章
A19	系数与根的所在域	第 1 章
A20	欧拉公式及特殊角度	第 10 章
A21	欧拉公式的幂级数推导	第 10 章
A22	代入 $i θ$ 为什么收敛	第 10—11 章
A23	任意固定复数的绝对收敛	第 10—11 章
A24	比值判别的几何级数依据	第 11 章
A25	重排与有限分组的区别	第 11 章
A26	绝对收敛保证任意重排的证明	第 11 章

12.5 本版补充与校正

本版补充了：ML 不等式的推导；CR 在实可微假设下的充分性；积分与求导交换的一致估计；导数为零推出常数的线段证明；多项式最高次项的统一下界；有限闭圆盘上的正下界；从一个根递归得到全部一次因子；复级数的 Cauchy 收敛说明；用有限和完成重排证明；偶数、奇数子级数拆分的合法性。

本版校正或收紧了：一点复可微与邻域全纯的区别；Green 路线的 $C^{1}$ 条件和循环论证风险；同伦必须保持闭曲线；单连通是通用充分条件，不是具体积分为零的逐例必要条件；切一刀的严格处理需要细切口极限；柯西公式需正向绕内部点一次；比值判别中的 $z = 0$ 例外；不改顺序的连续有限分组对任何收敛级数都保持和；收集两个无限子级数不能字面解释成先排完第一组。

本篇作为已知使用的实分析基础是：一维微积分基本定理、连续函数的迭代积分、紧集上的极值定理、实数与复数的完备性，以及正弦、余弦的实幂级数展开。一般柯西–古尔萨定理、一般同伦不变性、留数定理和 Riemann 重排定理未在本篇完整证明。原对话最后列出的 Riemann 映射定理只是后续学习建议，未发生实际讲解。

学习重点是把每一步的条件、对象与估计连接起来：不是背下“全纯所以积分为零”，而是确认函数在哪个区域全纯、积分的是哪条定向边界，以及哪一个量能在极限中被压到零。

代数基本定理笔记

目录

阅读路线与符号

第 1 章：目标是什么，为什么复分析能证明它

1.1 系数在复数域，根也在复数域

1.2 反证法的最后一跳

1.3 本篇的证明依赖，避免循环

第 2 章：复可微为什么施加了更强的条件

2.1 差商必须有一个真正的二维极限

2.2 从两条坐标轴推导柯西–黎曼方程

2.3 必要条件何时成为充分条件

第 3 章：复曲线积分、方向与 ML 估计

3.1 定义：沿曲线代入参数

3.2 原函数与闭曲线

3.3 单位圆上的特殊积分

3.4 ML 不等式从哪里来

第 4 章：Green 定理是怎样由一维微积分拼起来的

4.1 定理和条件

4.2 矩形上先证明一半

4.3 另一半及相加

4.4 曲边区域与内部公共边抵消

4.5 为什么内边界必须顺时针

第 5 章：柯西积分定理的条件与有洞区域

5.1 用 Green 定理和 CR 方程推导

5.2 单连通版说的是另一个对象

5.3 1/z 为什么不违反定理

5.4 “切一刀”的几何直觉要怎样理解

第 6 章：挖掉一个小圆，推导柯西积分公式

6.1 条件和“有奇点”的对象

6.2 环形区域需要整个边界

6.3 小圆积分：精确项与误差项

6.4 从极限得到精确等式

第 7 章：公式中的函数、核和整个被积函数

7.1 三个对象分别是谁

7.2 积分 1/ζ 时，公式里的 f 可以是 1

7.3 如果真的令 f(ζ)=1/ζ 并取 z0=0

7.4 1/ζ 在不包含零点的小圆内可以使用公式

第 8 章：导数公式、柯西估计与 Liouville 定理

8.1 求导的是内部点，积分变量不变

8.2 用差商和一致估计补齐交换步骤

8.3 柯西估计

8.4 Liouville 的证明

8.5 “估计导出矛盾”到底是哪一层

第 9 章：完整证明代数基本定理

9.1 假设无根，倒数为什么光滑且全纯

9.2 无穷远处：最高次项不能被低次项抵消

9.3 有限闭圆盘：无零点加紧致性给出正下界

9.4 应用 Liouville，完成矛盾

9.5 从一个根到全部一次因子

9.6 接回此前的代数学笔记

第 10 章：欧拉公式为什么能把圆写成指数

10.1 先定义复指数，避免“直接把实数换成复数”的跳跃

10.2 利用 i 的幂循环，拆成两条实级数

10.3 模、角度与圆周参数化

第 11 章：比值判别、绝对收敛与任意重排

11.1 比值小于一，尾项被几何级数控制

11.2 绝对收敛为什么保证复级数收敛

11.3 任意重排不改变和：尾项估计的完整证明

11.4 收集偶数项和奇数项，不等于写一个无限长的排列前段

11.5 加括号与重排的条件不同

第 12 章：公式速查、复习问题与来源核对

12.1 公式必须连着条件记

12.2 两条容易记住的估计

12.3 自测：能回答这些问题，就抓住了主线

12.4 原对话覆盖索引

12.5 本版补充与校正

5.3 $1 / z$ 为什么不违反定理

7.2 积分 $1 / ζ$ 时，公式里的 $f$ 可以是 $1$

7.3 如果真的令 $f (ζ) = 1 / ζ$ 并取 $z_{0} = 0$

7.4 $1 / ζ$ 在不包含零点的小圆内可以使用公式

10.2 利用 $i$ 的幂循环，拆成两条实级数