从置换到五次方程：我的伽罗瓦理论笔记

第二版：按知识依赖重排，保留原对话中的数学证明和追问，并补齐关键缺口。

原始材料：《介绍抽象代数》分享对话。正文覆盖其中 92 段数学回答；4 段关于文档工具与使用方式的讨论另留在原材料中。A01—A96 是原回答编号，用于核对覆盖情况，不表示本篇阅读顺序。

我的目标是一步步理解一般五次及以上方程为什么没有根式通解。后面问到的基础问题已移到第一次需要它的位置；“原问题”保留我的实际提问，“补充证明”是本版加入的推导。段落中保留的“你”或“我们”来自原解释，它们不被当作我已经独立完成的思考。

阅读顺序是：置换与群 → 陪集与商群 → 同态与可解群 → A₅ 的障碍 → 域与嵌入 → Galois 群与限制映射 → 根式塔的正规化 → 一般方程的群 → 无根式通解。根的重命名、自同构允许的根置换以及一般形式根的任意置换，是不同阶段的概念，正文分别证明它们的联系。

目录

• 第 1 章：目标：从问题出发，而不是提前背结论
• 第 2 章：置换与群：循环、复合和换位
• 第 3 章：奇偶性、交错群与子群
• 第 4 章：陪集与 Lagrange 定理
• 第 5 章：正规子群和商群：让陪集乘法没有歧义
• 第 6 章：群同态、核、像和第一同构定理
• 第 7 章：可解群：定义、例子及保持可解的三个引理
• 第 8 章：A₅ 的结构：完整证明五次的群论障碍
• 第 9 章：域、理想、代数元与扩张次数
• 第 10 章：域同态、嵌入、自同构和 Galois 群
• 第 11 章：分裂域、正规性与嵌入的延拓
• 第 12 章：完整例子：三次分裂域的群为什么是 S₃
• 第 13 章：中间域、限制映射和商群公式
• 第 14 章：根式塔：单位根、共轭与正规闭包
• 第 15 章：完整搭桥：根式可解 ⇒ Galois 群可解
• 第 16 章：一般方程的群与 Abel–Ruffini 定理

常用符号速查

这张表用于查阅，不代替局部定义。a、α、σ 等字母在不同例子中重新声明；本节的对象约定写在章首。涉及正规、可分、单位根、满射的条件会在应用时再次指出。

第 1 章：目标：从问题出发，而不是提前背结论

本章对象：rᵢ 表示第 i 个根；此处先讨论根的重命名，不认定任意重命名都是域自同构。

1.1 从韦达关系发现根的置换

我们可以完全按照你前面学多元微积分的方式：一次只推进一个核心概念，每一步都说明“为什么现在需要它”，直到最后真正看懂 Abel–Ruffini 定理背后的 Galois 理论。

先把最终目标说准确一点：

不是“所有五次及以上方程都没有根式解”。

正确说法是：不存在一个像二次公式那样，仅用系数、四则运算和有限次开方，就能解所有一般五次方程的公式。

某些五次方程当然有根式解，例如

我们最终要理解的逻辑链大致是：

方程的根 → 根之间的置换 → 群 → 子群/正规子群 → 域 → 域扩张 → Galois 群 → 可解群 → 根式扩张 → S₅ 不可解 → 一般五次方程无根式通解。

但现在先不碰“域”“Galois 群”。

第一步：为什么解方程会突然和“置换”有关？

假设一个三次方程有三个根：

例如

根就是

你写方程时，并没有规定谁必须叫 r₁、谁必须叫 r₂。

所以：

和

其实描述的是同一组根。

也就是说，我们可以把三个根重新排列。

例如：

这叫一个 permutation（置换）。

三个东西有多少种置换？

如果有三个根：

可能排列成：

一共

种。

这些置换的全体叫

读作：

symmetric group on 3 letters
三个对象上的对称群（S₃ 的阶是 6）

这里的“对称”不是几何上的镜像对称，而是说：

对三个对象进行所有可能重新排列所形成的结构。

为什么这和方程有关系？

这才是最关键的地方。

考虑一个一般三次方程：

三个根是

根据韦达定理：

注意一个非常重要的现象。

如果交换 r₁,r₂：

那么

完全不变。

同样，

也不变。

以及

也不变。

所以：

方程的系数只能“看到”根的某些对称组合，却不能区分每一个根是谁。

这其实就是整个 Galois 理论的种子。

例如：

展开为

你把 r₁,r₂,r₃ 随便交换，展开结果完全一样。

因此：

Galois 最伟大的想法之一就是：

不要直接问“根长什么样”，而要问“在保持已有代数关系不变的情况下，这些根允许怎样互相置换？”

最终，“哪些置换允许发生”就会形成一个群。

而这个群竟然能够告诉我们：

下一步我们就正式解释：

什么叫“群”？

而且我不会直接扔四条公理，而是先从“连续做两个置换”开始，让你看到为什么群的定义几乎是被迫出现的。

第 2 章：置换与群：循环、复合和换位

本章对象：Sₙ 是 n 个对象上的置换群；e 是恒等置换，στ 先作用 τ 再作用 σ。

2.1 置换的复合、单位元和逆：群的定义

我们现在正式进入抽象代数的第一个核心概念：群（group）。

但先不背定义。先看为什么“群”会自然出现。

第二步：为什么置换会形成“群”？

上一节我们有三个根：

考虑两个操作。

第一个操作 σ：

也就是

再考虑另一个操作 τ：

即

现在问题来了：

如果我先做 τ，再做 σ，结果是什么？

这就是“两个置换的复合”。

1. 先做 τ，再做 σ

我们逐个跟踪。

对 r₁

先做 τ：

再做 σ：

所以最终：

对 r₂

先做 τ：

再做 σ：

所以：

对 r₃

先做 τ：

再做 σ：

所以：

最终得到：

这是一个新的置换。

可以写成：

注意传统约定：

通常表示：

先做 τ，再做 σ。

和函数复合一样：

第一个重要现象：做完还是置换

我们从两个置换出发：

把它们连续做，得到的东西仍然是一个置换。

不会突然得到“半个置换”或者某种不在系统里的对象。

这叫：

英文：

closure

也就是：

如果

那么

第二个现象：有一个“什么都不做”的操作

考虑一个置换 e：

什么都没变。

这叫：

英文：

identity permutation

记作：

它满足：

就像普通数字里：

所以群里也需要一个“1”一样的东西。

这叫：

或

英文：

identity element

第三个现象：每个操作都能撤销

比如：

做一次以后 r₁,r₂ 换了。

再做一次：

又换回来。

所以：

因此：

这里的

叫 σ 的逆。

它满足：

这叫：

英文：

inverse

不过不是所有置换都等于自己的逆。

例如：

这是一个三循环。

做一次：

它的逆就是反方向：

所以：

第四个现象：三个操作连续做时，括号怎么放不重要

假设有三个置换：

那么：

和

结果一样。

为什么？

因为它们本质上都是：

先做 ρ，再做 τ，最后做 σ。

区别只在于你“先把哪两个看成一组”。

数学上写成：

这叫：

英文：

associativity

现在群的定义自然出现了

一个集合 G，如果里面的元素有一种运算，满足：

那么 G 就叫一个：

英文：

所以并不是数学家凭空发明了四条奇怪公理。

恰恰相反：

这四条性质正是“可组合、可撤销的对称操作”天然具有的性质。

S₃ 就是一个群

三个对象所有置换组成：

共有：

个元素。

我们可以写成：

这些括号是什么意思，我们下一步会仔细讲。

例如：

表示：

而 3 不动。

表示：

这里先记住一个非常重要的思想：

这就是为什么群会在 Galois 理论里出现。

对于一个方程，我们最终不主要研究：

本身长什么样，而研究：

这些允许的交换会形成一个群。

而这个群，就是后来所谓的 Galois 群。

不过现在还没资格定义它。

下一步我建议先讲一个非常具体而重要的东西：

因为如果连 S₃、S₄、S₅ 里的元素都不会算，后面“S₅ 为什么不可解”会完全失去直觉。

2.2 置换群这个具体模型

原问题：现在讨论的都是这种置换群对吧

对，目前我们讲的群，全部都是从“置换”这个具体例子出发的。

更准确地说：

本身就是一个置换群，因为它的元素都是对 n 个对象的置换。

而

也是置换群，因为它只是从 Sₙ 中挑出了所有偶置换。

但要注意：

“群”这个概念远远不只包括置换群。

比如整数在加法下：

也是群。

因为有封闭性、结合律、单位元 0、每个整数 a 都有逆元 -a。

还有非零实数在乘法下：

也是群。

所以现在的学习顺序其实是：

我们暂时一直用置换群，是因为它和后面的方程根最直接相关，而且最容易看见“对称性”。

以后讲到 Galois 群时，仍然会回到置换：

只是到那时，这些置换会受到“必须保持代数关系”的限制。

所以目前你可以先把：

理解成一个更抽象的大概念，而

是群里面特别重要的一类。

2.3 循环记号、乘法顺序与非交换性

第三步：置换的循环记号到底是什么意思？

我们还是从三个对象开始：

假设有一个置换：

我们把它写成：

这个记号的意思不是一个三位数，而是：

因为最后 3 又回到 1，所以叫一个 cycle，循环。

1. 为什么 (123) 和 (231) 是同一个置换？

看：

而

完全一样。

所以：

只是从循环里的不同位置开始写。

但是：

就不同了。

它表示：

它恰好是 (123) 的反方向。

因此：

2. 二循环：(12)

表示：

其他元素不动。

这种只交换两个元素的置换叫：

所以：

都是换位。

而且换位有一个简单性质：

因为交换两次就回去了。

3. 为什么一个置换可以拆成几个循环？

考虑四个元素：

假设某个置换是：

同时：

我们就写成：

这表示：

以及：

因为这两个循环涉及的元素完全不同，所以叫：

disjoint cycles。

4. 不相交循环为什么可以交换顺序？

比如：

你可以先做 (34)，再做 (12)。

也可以先做 (12)，再做 (34)。

因为它们操作的是不同元素，所以：

这是一个很特殊的现象。

注意：

一般来说，置换乘法并不满足交换律。

也就是说通常：

5. 来算一个真正的例子

考虑：

按照约定：

表示：

先做右边的 (23)，再做左边的 (12)。

逐个追踪。

对 1：

先做 (23)：

再做 (12)：

所以：

对 2：

先做 (23)：

再做 (12)：

所以：

对 3：

先做 (23)：

再做 (12)：

所以：

因此：

6. 反过来算

现在算：

还是先做右边的 (12)。

对 1：

所以：

对 3：

所以：

对 2：

所以：

因此：

于是：

具体就是：

这说明：

7. 什么叫交换群？

如果一个群 G 中对所有 a,b 都有：

那么这个群叫：

中文也叫：

例如整数加法：

所以：

是阿贝尔群。

但：

不是。

8. 为什么“非交换”以后会非常重要？

因为一般五次方程的障碍，最终就和某些群的复杂非交换结构有关。

但不是简单地说：

这不对。

因为三次、四次方程的 Galois 群也可能非交换，但仍然有根式公式。

真正关键的是更精细的概念：

后面我们会看到：

• S₂ 可解；
• S₃ 可解；
• S₄ 可解；
• S₅ 不可解。

而“一般 n 次方程能否根式求解”最终就跟这个有关。

9. 还差一个重要事实：所有置换都可以拆成换位

例如：

可以写成：

一个更长的循环：

可以写成：

或者用另一套等价分解。

一般地：

总能拆成若干个换位。

这意味着：

这个事实之后会引出一个非常重要的概念：

然后会自然得到：

也就是交错群 alternating group。

而最终五次方程理论中最核心的怪物之一就是：

因为：

这正是 S₅ 不可解的核心原因之一。

所以，下一步我们就讲：

这一步非常关键，因为它会第一次把我们带到 A₅。

2.4 为什么任意置换都可写成不相交循环

原问题：置换群为什么都可以写成括号形式貌似没解释

对，这一块前面确实跳过去了。更准确地说，不是“置换群本身写成括号”，而是：

这些循环就是我们一直写的：

这种括号形式。

关键问题就是：为什么任意置换都一定能这么写？

先看一个具体置换。假设对集合

有置换 σ：

同时

以及

我们从 1 开始追踪：

它回到了起点，所以这一部分可以写成：

再找一个还没出现过的元素，比如 2：

所以：

最后：

理论上可以写成：

但长度为 1 的循环通常省略。

因此整个置换写成：

这里其实已经透露了证明的方法。

为什么一定会“绕回来”？

设我们有有限集合：

和一个置换 σ。

所谓置换，本质上是这个集合到自身的双射：

现在任选一个元素，比如 a，不断作用 σ：

因为一共只有有限个元素，所以这个序列不可能永远出现全新的元素。

迟早会有重复。

假设第一次发生重复时：

由于 σ 是双射，所以有逆：

两边同时作用 ，得到：

所以从 a 一直追踪，最终一定回到 a。

于是得到一个循环：

因此可以写成：

这就是循环为什么必然出现。

还有一个问题：

会不会从另一个元素出发，追踪一会儿，然后“撞进”刚才那个循环？

例如已经有：

有没有可能另一个元素 2 满足：

不可能。

因为如果：

同时：

那就有两个不同元素都映到 3。

这违反了置换是一一对应（injective）。

所以：

因此，我们可以这样构造任意置换的循环分解：

先随便取一个元素，比如 1，不断作用 σ，直到回到 1，得到第一个循环。

然后找一个没出现在第一个循环里的元素，再重复，得到第二个循环。

继续下去。

因为元素只有有限多个，这个过程最终结束。

于是任意置换都可以写成：

其中每个 Cᵢ 都是一个循环，而且这些循环彼此不相交。

举一个完整例子。

假设：

从 1 开始：

所以得到：

再取还没用过的 3：

得到：

5 不动：

所以整个置换：

固定点 5 被省略了。

如果你愿意完整写，也可以写：

只是数学上通常不这么写。

这里还有一个很重要的结论：

例如：

和

是同一个置换，因为两个循环不相交。

而：

也是同一个循环，因为只是换了起点。

除了这些写法上的变化，循环结构本身是确定的。

所以我们才可以很自然地讨论一个置换“有一个 3-循环、一个 2-循环”等结构。

最后再补一句，避免一个常见混淆：

不是说“先把整个群拆成括号”。

而是说某一个具体置换 σ 的作用可以描述为：

以及

所以：

而一个置换群，则是很多这样的置换组成的集合。

比如：

下一步如果继续，我建议顺着这里再证明一个前面用过但还没有真正证明的结论：

从而得到：

这样之前“奇置换/偶置换”的基础就彻底补齐了。

2.5 把循环拆成换位：原问题所需的连接

下一步我建议先把前面一个基础缺口彻底补上：

也就是证明

一定可以写成 k-1 个二循环（换位）的乘积。

例如：

为什么可以写成

这一步补完以后，我们就能严密串起：

这样之前关于 Aₙ 的基础就完整了，然后再回到：

所以下一步就只证明“一个循环为什么可以拆成换位”，不再往后跳。

补充证明：循环分解与换位分解

本节的元素是有限集合 {1,…,n} 上的双射；乘积 στ 表示先做 τ，再做 σ。

任选尚未处理的元素 a₁，反复作用 σ。由于集合有限，一定会重复。第一次重复必然回到 a₁：若先重复在 aⱼ，且 j>1，σ 的单射性会让它前面的两个元素也相同，与“第一次重复”矛盾。因此得到一个循环。再从这个循环外选元素重复操作；这些循环彼此不相交，且最终覆盖所有元素。这证明任意置换都能分解为不相交循环。若两个循环不相交，则对任意元素，至多一个循环改变它，故两循环复合的先后顺序无关。

对 k≥2，换位分解为

逐个检查：a₁ 先被最右换位送到 a₂，其余换位不动 a₂；对 2≤j<k，先做的换位不动 aⱼ，随后 (a₁aⱼ) 把它送到 a₁，紧接着 (a₁aⱼ₊₁) 把它送到 aⱼ₊₁，余下换位不动它；aₖ 最后被 (a₁aₖ) 送到 a₁。循环外的元素都不动。这与左端对每个元素的作用完全一致，故等式成立。结合不相交循环分解，任意置换都能拆成换位。原对话提出了这个证明任务，但没有把上述逐元素验证写完，这里补齐。

第 3 章：奇偶性、交错群与子群

本章对象：inv 表示一行排列的逆序数；sgn 是取值为 ±1 的符号映射；Aₙ 是偶置换组成的交错群。

3.1 换位个数的奇偶性为何定义良好

现在进入一个非常关键的概念：置换的奇偶性。它会自然产生 Aₙ，而 A₅ 正是最后“五次方程为什么出问题”的核心对象。

第四步：为什么置换有“奇”和“偶”？

上一节我们知道：

任意置换都可以拆成若干个换位。

比如

用了两个换位。

于是很自然会问：

一个置换能不能既拆成 2 个换位，又拆成 3 个换位？

如果可以，那么“用了奇数个还是偶数个换位”就没有意义。

神奇的地方就在这里：

同一个置换可能有很多不同的换位分解，但所有分解中换位个数的奇偶性一定相同。

所以我们可以定义：

• 能拆成偶数个换位 → 偶置换
• 能拆成奇数个换位 → 奇置换

1. 先看例子

(12)

它本身就是一个换位：

用了 1 个。

所以它是：

(123)

我们刚才有：

用了 2 个换位。

所以：

(1234)

例如：

用了 3 个换位。

所以：

2. 一个 k-循环是什么奇偶性？

一般来说：

可以拆成：

总共用了：

个换位。

所以：

例如：

3. 可是为什么奇偶性不会因为换一种拆法而改变？

这才是真正需要解释的地方。

我们先引入一个非常直观的量：

英文叫：

inversion number

假设有排列：

我们问：

有多少对数字的大小顺序被“颠倒”了？

正常顺序应该是：

现在排列为：

看每一对。

顺序正常，因为：

不算逆序。

但：

反了，因为：

算一个。

还有：

也反了。

所以总共有：

个逆序。

于是：

这是偶数。

而 231 对应的正是置换：

所以它是偶置换。

4. 再看一个

排列：

只有：

发生逆序。

所以：

是奇数。

对应：

正好是奇置换。

5. 为什么交换两个元素一定改变奇偶性？

先看最简单的：交换两个相邻元素。

比如：

交换 2,3：

逆序数从：

变成：

奇偶性翻转。

再交换一次：

又从奇变偶。

所以：

那如果交换两个不相邻元素呢？

例如：

交换 1 和 4：

这种交换其实可以拆成奇数个相邻交换。

比如把 1 一步步移到右边：

然后把 4 往左移：

总共：

次。

也就是奇数次。

一般交换位置 i,j，需要：

次相邻交换。

它永远是奇数。

因此：

6. 现在证明关键结论

从恒等排列：

开始。

它的逆序数是：

所以是偶数。

如果一个置换由 m 个换位得到，那么每做一次换位，逆序数的奇偶性就翻转一次。

因此：

• m 为偶数 → 最终逆序数为偶数；
• m 为奇数 → 最终逆序数为奇数。

但一个确定的排列，它的逆序数是确定的。

所以不可能同一个排列同时由：

和

得到。

于是：

这就是我们需要的结论。

7. 偶置换自己形成一个群

现在考虑 Sₙ 中的所有偶置换。

把它们收集起来：

这个群叫：

中文：

所以：

为什么它是一个群？

因为：

• 偶 × 偶 = 偶；
• 单位元是偶置换；
• 偶置换的逆仍然是偶置换。

所以：

本身就是一个群。

8. A₃ 是什么？

S₃ 有 6 个元素：

其中：

是偶置换。

三个换位：

都是奇置换。

两个三循环：

都是偶置换。

所以：

一共三个元素。

正好是 S₃ 的一半。

实际上：

因此：

而这 60 个偶置换组成的：

以后会成为整个故事的关键。

原因是：

而且比“不交换”更严重：

换句话说，它是一个：

而这正是一般五次方程无法通过一层层根式“拆开”的根本障碍。

不过现在“正规子群”和“单群”都还没学。

所以下一步我们应该先讲：

然后再讲：

这条线很重要，因为“可解群”的定义就是建立在一层层正规子群和商群之上的。

3.2 把循环写成一行排列，再计算逆序数

原问题：逆序数在括号的形式不好数吧

对，逆序数不是直接对循环括号记号来数的。它最自然是对“一行排列”来数。

比如置换

循环记号表示

如果要数逆序数，先把它写成一行形式：

然后看

里面有多少逆序对。

有：

所以逆序数是

因此 (123) 是偶置换。

再比如

它对应

所以一行形式是

只有一个逆序：

所以逆序数是 1，是奇置换。

因此你可以区分三种常见表示法：

适合看“元素怎么绕圈走”；

适合数逆序数；

还有一种两行记号：

它直接表示

所以前面说“用逆序数证明奇偶性良定义”时，其实默认是把置换先转换成一行排列，再数逆序数。

而实际判断一个循环的奇偶性时，通常根本不会去数逆序数，而是直接用：

可以拆成 k-1 个换位，因此

所以例如：

是一个 5-循环，

是偶数，因此它是偶置换。

你这个问题非常重要，因为它说明了循环记号和逆序数其实是两套不同用途的表示工具。

补充证明：逆序数、符号同态与交错群的大小

一行记号 [σ(1),…,σ(n)] 的逆序数，是满足 i<j 且 σ(i)>σ(j) 的数对 (i,j) 的数量。交换两个相邻位置时，只有这两个数彼此的大小次序改变；其他数字与它们产生的逆序总数不变，所以逆序数恰好改变 1。交换相距 j−i 的两个位置可以用 2(j−i)−1 次相邻交换完成：先把左边的数向右移，再把原来右边的数向左移。这是奇数，故任何换位都改变逆序数的奇偶性。

从恒等排列开始做 m 次换位，最终逆序数模 2 就是 m 模 2。因此同一置换不可能有奇偶性不同的换位分解。若 σ、τ 分别拆成 p、q 个换位，把两串分解接起来就是 στ 的分解，所以

这说明 sgn 是到乘法群 {1,−1} 的群同态。对 n≥2，固定一个换位 t，映射 σ↦tσ 给出偶置换与奇置换之间的双射，逆映射也是乘以 t。因此两者数量相同，|Aₙ|=n!/2。n=1 时不适用这个一半公式，A₁=S₁ 都只有一个元素。

3.4 逐条检查偶置换确实构成群

原问题：太快了，为什么偶置换自己就成为一个群了

对，这里确实跳得太快了。我们先只回答一个问题：

为什么所有偶置换放在一起，仍然满足“群”的四条要求？

我们一点一点检查。

假设我们把 Sₙ 中所有偶置换拿出来，组成集合

要证明它是一个群，就必须检查群的四条性质。

先看第一条：封闭性

我们需要证明：

如果

那么

因为 σ 是偶置换，所以它可以写成偶数个换位：

同理，

那么：

总共用了：

个换位。

仍然是偶数。

所以：

于是：

所以封闭性成立。

第二条：结合律

这一条甚至不用重新证明。

因为 Aₙ 里的运算，和 Sₙ 里的运算完全一样，都是“置换复合”。

而我们已经知道所有置换的复合满足：

既然这在整个 Sₙ 里成立，那么当然在 Aₙ 这个更小的集合里也成立。

所以结合律自动继承下来。

第三条：单位元在不在里面？

群必须有一个单位元：

它什么都不做。

现在要问：

是不是偶置换？

是。

因为我们可以认为它由：

个换位组成。

而

是偶数。

所以：

因此单位元也有。

第四条：逆元还在不在 Aₙ 里面？

这是最值得仔细看的。

假设：

也就是 σ 由偶数个换位组成。

那么逆置换：

是什么？

利用：

得到：

但每个换位都等于自己的逆。

例如：

所以：

你会发现：

仍然有：

个换位。

所以：

仍然是偶置换。

因此：

所以逆元条件也满足。

于是四条全部成立：

因此：

更准确地说：

你可以先把这里理解成一个非常朴素的原则：

从一个大群里挑出一部分元素，如果这部分元素在“做运算、找单位元、找逆元”时都不会跑出去，那么它自己也组成一个小群。

这就是“子群”的直觉。

下一步最好就只讲这个：

先不碰陪集、正规子群。

3.5 交错群作为对称群的子群

我们就沿着“偶置换群 Aₙ”继续，而且慢一点。

下一步先把一个概念讲清楚：

1. 什么是子群？

假设有一个群 G。

如果我们从里面挑出一部分元素，形成一个集合 H，并且 H 自己在同样的运算下也构成一个群，那么就说：

意思是：

英文叫：

subgroup

例如：

因为 Aₙ 里的元素本来就是 Sₙ 的置换，只不过我们只挑出了偶置换。

而且刚才已经证明了：

• 偶置换乘偶置换还是偶置换；
• 单位元是偶置换；
• 偶置换的逆还是偶置换。

所以：

2. 用 S₃ 看最清楚

我们知道：

其中偶置换是：

所以：

现在你可以把它理解成：

是一个有 6 个元素的大群，

而

是它里面一个有 3 个元素的小群。

3. 为什么 A₃ 自己真的“关起门来”就能运算？

我们随便算。

例如：

做两次 (123)。

第一次：

再做一次：

所以：

而：

再算：

也还在 A₃。

再算：

仍然在 A₃。

所以你会发现：

无论怎么复合，都不会跑到：

这些奇置换里面去。

这就是“封闭”的直观意义。

4. 为什么 Aₙ 恰好有 Sₙ 一半那么多元素？

这个结论很重要：

我们先别急着证明一般情况，先看 S₃。

S₃ 一共有：

个置换。

其中：

个偶置换，

个奇置换。

刚好一半一半。

再看一个非常巧妙的对应。

假设 σ 是偶置换。

我们固定拿一个奇置换，比如：

然后做：

因为：

所以结果一定是奇置换。

反过来，如果 τ 是奇置换，那么：

就是：

所以固定乘一个换位 (12)，会在：

和

之间建立一一对应。

因此两边数量必然相同。

而：

所以：

例如：

5. 现在先记住一个结构

我们目前有：

可以想象成：

里面分成两半：

和

但这里有个很重要的不对称：

偶置换自己构成一个群，而奇置换自己不构成群。

为什么？

因为两个奇置换相乘：

所以奇置换集合不封闭。

比如：

左边两个都是奇置换，

右边：

却是偶置换。

所以奇置换不能自己组成群。

到这里先停一下。

下一步最自然的是继续讲：

但“正规子群”不能直接定义，否则又会跳太快。

所以更合理的下一步是先引入：

因为“正规子群”本质上就是：

而且从 Aₙ⊆ Sₙ 这个例子出发，陪集会非常直观。

第 4 章：陪集与 Lagrange 定理

本章对象：G 是群，H≤G；gH 是左陪集，Hg 是右陪集；|G| 表示群的元素个数，称为阶。

4.1 左陪集与分组的含义

现在我们只讲一个新概念：陪集（coset）。先不急着讲正规子群。

第五步：什么是陪集？

我们继续用最熟悉的例子：

以及它的子群

现在假设我拿出 S₃ 中一个元素，例如

然后让它分别乘 A₃ 里的每一个元素：

把得到的所有结果收集起来。

这个集合就叫：

它是 A₃ 的一个左陪集。

1. 一般定义是什么？

如果：

是一个子群，取任意

那么：

定义为：

意思就是：

固定 g，然后把 H 里面每个元素都放到 g 的右边去乘。

这叫：

注意虽然叫“左陪集”，其实是因为固定的 g 放在左边：

2. 具体算 (12)A₃

我们有：

所以：

第一个很简单：

现在算第二个：

按照我们的约定，先做右边的 (123)，再做左边的 (12)。

逐个跟踪：

所以：

再看 2：

所以：

再看 3：

所以：

因此：

再算：

对 1：

所以：

对 3：

所以：

对 2：

所以：

因此：

所以：

你会发现：

正好就是三个奇置换。

3. 这件事为什么很有意思？

因为原来的：

是三个偶置换。

而：

是三个奇置换。

所以整个 S₃ 被分成了两块：

而且这两块没有重叠。

也就是说：

这正是陪集开始发挥作用的地方。

4. 为什么陪集大小和原子群一样？

你可能已经看到了：

而：

这不是巧合。

一般来说：

为什么？

因为：

不会把两个不同的 h 变成同一个结果。

假设：

左边同时乘：

得到：

所以不同的 h 一定得到不同的 gh。

因此：

里有多少元素，

就有多少元素。

5. 还有一个很容易忽略的点

如果我们取：

那么：

所以：

自己其实也是自己的一个陪集。

比如：

甚至如果 g∈ H，例如：

那么：

原因是：

子群里的一个元素去乘整个子群，只是在子群内部重新排列元素，不会产生新的元素。

所以对于 A₃ 来说，左陪集实际上只有两种：

和

也就是：

和

这里先停在这个程度。

下一步我们再讲一个几乎一模一样、但非常关键的新东西：

也就是右陪集。

然后你会看到一个非常重要的问题：

为什么有时候 gH=Hg，有时候却不相等？

“正规子群”就是从这个问题里自然长出来的。

4.2 不同陪集为什么相同或不相交

因为只要两个左陪集有哪怕一个共同元素，就能证明它们其实整个集合完全一样。

设两个左陪集是

假设它们不是完全不相交，也就是说存在某个元素 x，同时属于二者：

那么根据陪集定义，一定存在

使得

于是：

右边乘 h₁⁻¹，得到

因为 H 是群，所以

记

于是：

现在看整个陪集：

由于 h₀∈ H，而“用 H 自己的一个元素乘整个 H”不会改变 H：

因此：

所以我们得到：

换句话说，如果两个陪集不相等，那么它们就一个共同元素都不能有：

这就是为什么陪集能够把整个群 G 切成一块一块、互不重叠的部分。

例如在 S₃ 中：

和

完全不相交，而且合起来正好是整个 S₃。

4.3 用陪集证明 Lagrange 定理

这里我前面那句话写错了，应该是：

这就是 Lagrange 定理（拉格朗日定理）。

而且我们其实已经有足够工具证明它了，因为前面已经学过陪集。

假设有限群 G 有一个子群 H≤ G。

每一个左陪集：

和 H 本身有完全一样多的元素，因为映射

是一一对应。

所以每个陪集大小都是：

另一方面，不同的陪集要么完全相同，要么完全不相交。

因此整个群 G 可以被这些陪集完整地分成若干块：

每一块都有：

个元素。

所以：

于是：

也就是：

这里的“阶”就是元素个数。

所以刚才那个 3 元群的例子里，如果存在一个 2 元子群 H，就必须有：

但显然不成立。

因此一个 3 阶群不可能有 2 阶子群。

这就是为什么假设

会出问题：因为如果 a≠ e 且

那么

就是一个有 2 个元素的子群，可是 2 不整除 3，矛盾。

所以在一个 3 阶群中，任取非单位元 a，必然有：

并且

因此它是循环群，也就一定是阿贝尔群。

第 5 章：正规子群和商群：让陪集乘法没有歧义

本章对象：H◁G 表示 H 在 G 的共轭下稳定。G/H 的元素是陪集；单位元是陪集 H，不是 G 中的单个元素 e。

补充证明：正规性的等价条件，以及商群乘法为何要求正规性

本节 G 是群，H≤G 是子群，g 是 G 中元素。由集合等式两边右乘 g⁻¹，得到

若对所有 g 都只有 gHg⁻¹⊆H，用 g⁻¹ 代入再左右乘 g、g⁻¹，会得到反向包含，因此实际也是等号。这就是共轭形式的正规性。它表示整个子群作为集合稳定，并不要求 g 与每个 h 交换。

商群乘法的充分性由原证明的代表元计算给出。必要性也可以证明：假设陪集乘法按代表元定义且良定义。h∈H 与 e∈H 是同一陪集的代表元，则 (hH)(gH)=(eH)(gH)，故 hgH=gH，进而 g⁻¹hg∈H。这对所有 g,h 成立，故 H 正规。于是这个条件正好解决代表元歧义。

5.2 右陪集与正规子群

现在只加一个新概念：右陪集。

前面我们有：

这叫左陪集。

那么同样地，也可以把固定元素 g 放在右边：

这就叫：

还是用：

和

现在取：

我们前面已经算过左陪集：

现在算右陪集：

也就是：

第一个：

再算：

按照我们的约定，先做右边的：

再做左边的：

对 1：

所以：

对 3：

所以：

对 2：

所以：

因此：

再算：

对 1：

所以：

对 2：

所以：

对 3：

所以：

因此：

所以：

而前面：

于是：

这说明什么？

说明对于这个子群 A₃：

和

最后得到的是同一个集合。

这不是所有子群都有的性质。

如果一个子群 H≤ G 满足：

对所有

都成立，那么我们就称：

英文：

记作：

所以：

但这里最容易产生一个误解。

正规子群并不是说：

对每一个 h∈ H 都成立。

不是这个意思。

要求的是：

这两个集合相同。

也就是说，左边乘以后得到的那一堆元素，和右边乘以后得到的那一堆元素一样。

具体某个 h 不一定和 g 交换。

例如：

实际上：

而：

二者不相等。

但整个集合仍然相等：

所以：

这是非常重要的一点。

下一步最值得解释的是：

答案是：因为只有对子群“足够正规”，我们才能把整个群按这些陪集压缩成一个新的群，也就是商群。而“可解群”最终正是靠一层一层的商群来定义的。

5.3 商群的元素为什么是陪集

现在进入一个很关键、也很容易第一次看懵的概念：商群（quotient group）。

这一步我们慢一点，因为“正规子群为什么重要”就在这里。

先继续用：

我们已经知道 S₃ 被 A₃ 的陪集分成两块：

和

其中：

而

现在做一个思想实验：

我不再关心每一个具体置换是谁，我只关心它属于“偶的那一块”还是“奇的那一块”。

也就是说，把整个 A₃ 看成一个“大元素”：

把所有奇置换那一块也看成另一个“大元素”：

这样，原来有 6 个元素的 S₃，就被压缩成了只有 2 个“大元素”的东西。

也就是：

它的元素是：

现在最关键的问题来了：

这些“块”之间能不能像群元素一样相乘？

我们希望定义：

例如：

因为 (12) 和 (23) 都是奇置换，所以它们都属于同一个陪集：

那么“奇那一块 × 奇那一块”应该等于什么？

算：

而 (123) 是偶置换，所以：

于是：

同理：

你应该会发现，这和：

很像。

所以：

本质上就是一个只有两个元素的群。

但这里藏着一个非常严重的问题。

假设我说：

问题是：

一个陪集 gH 往往可以用很多不同的 g 来表示。

比如在这里：

它们其实是同一块。

那么如果我选择不同的代表元，比如用 (12) 或 (13)，最后乘出来的陪集会不会不同？

如果会不同，那么这个“乘法”就根本没有定义好。

我们希望：

时，一定有：

只有这样，陪集之间的乘法才是良定义的。

而这正是正规子群最重要的作用：

恰好保证了：

不会因为你选了不同代表元而产生歧义。

所以你可以把“正规子群”先理解成：

一个子群如果足够规则，使得“把它压成一个点以后”，剩下的块还能正常做群运算，那么它就是正规子群。

于是我们终于知道为什么普通子群还不够，而需要“正规子群”。

整个逻辑是：

不一定能拿来“压缩”原群。

但：

可以。

压缩之后得到：

记作：

在我们的例子里：

就是把：

把：

最后只剩两个元素。

下一步最适合讲的是：

这层直觉非常重要，因为以后“可解群”本质上就是：不断找正规子群、不断取商群，把一个复杂群一层层剥简单。

5.4 代表元计算：陪集乘法的良定义

关键就在这里。我们把它严格证明出来，不跳步。

假设

这句话分别意味着什么？

因为 g' 属于 g'H，而 g'H=gH，所以

因此一定存在某个

使得

同理，因为

所以存在

使得

于是

现在真正的问题是：

能不能写成

因为如果能，那么它就属于

难点就是中间这个：

我们想把 k 移到 h₁ 左边。

在普通交换群里可以直接写成：

但这里当然不能这么做。

正规性就是在这里起作用。

因为

等价地，对任意 k∈ G 和任意 h₁∈ H，都有

先把这个新元素记成：

于是：

而且从

两边左乘 k，得到：

所以：

代回刚才：

就变成

因为：

而 H 是群，所以封闭：

记

于是：

所以：

也就是说：

因此，无论你选择 gH 的代表元 g 还是 g'，选择 kH 的代表元 k 还是 k'，最终得到的陪集都是：

所以定义

是没有歧义的。

你可以把整个证明压缩成最关键的一步：

之所以能够变成

就是因为正规性允许我们把

改写成

也就是：

注意它不是说

而是说：

其中 h₃ 仍然属于 H。

这其实就是“正规子群”最值得建立的直觉。

5.5 检查商群的全部群公理

既然刚才已经证明了“陪集乘法”在正规子群时是良定义的，下一步就该把最重要的一件事补完整：

为什么 G/H 真的构成一个群？

设

我们定义商集

并定义乘法

现在逐条检查群公理。

先看封闭性。两个元素

相乘得到

而 gk∈ G，所以

还是 G/H 中的一个陪集。因此封闭。

再看结合律。

取三个陪集：

左边：

先算：

所以

另一种括号：

得到：

因为原群 G 中满足结合律：

所以：

因此商群也满足结合律。

这里你可以看到一个常见规律：

商群很多性质，是从原群 G 继承下来的。

第三个，单位元是什么？

原群的单位元记作 e。

商群里面对应的陪集是：

但

所以商群的单位元其实就是：

验证：

同样：

所以：

这句话非常重要。

它其实揭示了“取商”的本质。

比如我们有

在这里，原来 A₃ 中有三个元素：

但是取商以后，这三个元素全部被压成：

而这个“大元素”就是商群的单位元。

所以从商群的角度来看：

之间的区别被彻底忽略了。

这就是为什么我前面说：

取商群，可以理解为“把 H 内部的区别抹掉”。

最后看逆元。

商群中有一个元素：

它的逆是什么？

应该是：

因为：

而 H 正是商群的单位元。

所以：

四条全部成立，因此：

前提就是：

现在我们已经有了一个很有力量的操作：

它做的事情是：

把 H 中的所有变化都视为“不重要”，只看不同陪集之间的区别。

例如：

有 6 个元素，但取

以后，只剩：

个元素。

因为它只区分：

和

于是：

而：

你会看到：

一般有限群中，如果 H◁ G，也有：

到这里，我们终于已经有足够工具开始接近“可解群”了。

但下一步我不会直接给定义。

我们先拿 S₃ 做一件非常具体的事情：

然后看看把 S₃ 一层一层“剥掉”以后，会剩下什么。

这正是以后所谓“可解”的核心直觉。

第 6 章：群同态、核、像和第一同构定理

本章对象：φ:G→H 是群同态；e_G、e_H 是不同群的单位元；N=ker φ。这里的核属于群论。

本节先定义：群同态、核、像和同构

设 G、H 是群，其单位元分别为 e_G、e_H。群同态 φ:G→H 满足 φ(ab)=φ(a)φ(b)。由 φ(e_G)=φ(e_G)² 可得 φ(e_G)=e_H；再由 φ(a)φ(a⁻¹)=e_H，得到 φ(a⁻¹)=φ(a)⁻¹。

核 ker φ 是映到 e_H 的元素组成的集合，像 im φ 是实际可以达到的元素组成的集合。两者都是子群：核内两元素的 ab⁻¹ 仍映到 e_H；像内 φ(a)φ(b)⁻¹=φ(ab⁻¹) 仍在像中。对 n∈ker φ、g∈G，

所以 ker φ◁G。单射表示不同输入得到不同输出，满射表示每个目标元素都能达到；双射的群同态称为群同构。符号 ≅ 表示结构同构，不要求两个群的元素是同一种对象。

补充证明：第一同构定理的完整检查

令 N=ker φ，定义 Φ:G/N→im φ，Φ(gN)=φ(g)。若 gN=g′N，则 g′=gn，n∈N，所以 φ(g′)=φ(g)；这证明良定义。反过来，若 φ(g)=φ(g′)，则 φ(g⁻¹g′)=e_H，从而 g⁻¹g′∈N，故 gN=g′N；这证明单射。目标取 im φ，所以由定义满射。最后

因此 Φ 是双射的群同态。原对话详细解释了“相同像恰好对应相同陪集”；这里同时补上核的正规性及新映射保持乘法的检查。

6.2 核这个集合记号逐个符号拆解

原问题：这是什么意思

这个式子是在定义“核（kernel）”。

逐个拆开看。

是原来的群。

是映射到的另一个群。

表示一个群同态。

而

表示群 H 里的单位元。

所以：

的意思就是：

把 G 里面所有经过 φ 后变成 H 的单位元的元素 g 全部收集起来。

这个集合就叫：

也就是：

这里冒号

或者竖线

都可以读成：

“满足……”

所以：

就是：

g 属于 G，并且满足 。

比如：

表示“取奇偶性”。

那么目标群的单位元是“偶”这一类，也就是

因此：

也就是所有偶数。

放回我们刚才的 Galois 情形：

那么

就是那些限制到 E 后变成恒等映射的自同构，也就是：

因此：

你这里主要是卡在集合构造符号

而不是“核”本身。

6.3 像是实际能够到达的目标元素

原问题：这里突然出现imfi是指什么

这里的

是 image of φ，中文叫：

意思是：

G 里的元素经过 φ 映射之后，实际上能够到达 H 里的哪些元素。

如果

那么定义：

也就是把所有

都丢进 φ，收集所有输出。

注意它不一定等于整个 H。

比如：

那么虽然目标群是整个 ，但实际上只能得到偶数：

所以：

但未必：

刚才那个式子

意思就是：

把 G 按照核 N=ker φ 的陪集压缩以后，得到的商群 G/N，可以和 φ 真正能到达的那部分 imφ 一一对应。

最终第一同构定理说的是：

所以这里的 im 就是 image 的缩写。

6.4 第一同构定理的陪集证明

第一同构定理描述群同态怎样通过核的陪集形成同构。先在群论中证明，再在第 13 章应用于限制映射。

我们现在有一个群映射：

这里不是任意映射，而是群同态，意思是它保持群运算：

现在设：

也就是说：

我们想知道：

如果两个元素 g₁,g₂∈ G 经过 φ 后得到同一个东西，它们之间是什么关系？

假设：

两边左乘：

得到：

因为 φ 是同态，

所以：

因此：

于是存在某个 n∈ N，使：

所以：

也就是说：

因此：

这个结论非常重要。

它的意思是：

φ 无法区分的元素，恰好就是落在同一个核的陪集里的元素。

举个非常简单的例子。

假设：

把整数按奇偶性分类：

那么：

比如：

虽然是不同整数，但经过 φ 后全部变成：

因为它们互相只差一个偶数：

所以它们其实都属于同一个陪集：

同样所有偶数属于：

所以 φ 真正在区分的并不是每个整数，而只是：

因此，与其让 φ 作用在每个 g 上，我们完全可以直接让它作用在陪集上：

这就得到：

而刚才已经证明：

当且仅当

所以这个新映射既不会把两个不同陪集错误地压成一个，也不会遗漏 φ 真正能达到的元素。

因此：

这就是群的第一同构定理。

第 7 章：可解群：定义、例子及保持可解的三个引理

本章对象：Cₘ 是 m 阶循环群；V₄ 是四元 Klein 群。可解列只要求相邻项正规，不要求每项正规于整个 G。

7.1 可解群的定义与 S₃ 的可解列

原问题：直接回到这里吧

可以，我们直接回到这里。

前面已经讲过：

所以现在下一步就是开始理解：

但先不下抽象定义，先拿 S₃ 做例子。

考虑这条链：

这里：

我们来看这条链到底有什么特殊之处。

首先看最上面这一层：

前面已经知道，它只有两个元素：

因此：

一个只有两个元素的群一定是交换群，所以：

然后再看下一层：

因为除以最小子群 {e} 基本什么都没压掉，所以：

而 A₃ 有三个元素：

并且：

整个 A₃ 是交换群。

所以：

现在你会看到：

虽然自己不是交换群，但我们能找到一条正规子群链：

使得每一层相邻两群做商之后：

和

全都是阿贝尔群。

这就是“可解群”的核心思想：

一个群本身可以很复杂、可以不交换；但如果能把它通过正规子群一层一层拆开，而每一层剩下的商群都是交换群，那么这个群就叫可解群。

所以：

正式定义就是：

如果存在一条链

使得每一个商群

都是阿贝尔群，那么：

英文：

这里的“可解”这个名字现在看起来非常奇怪：

群又没有方程，为什么叫“可解”？

这不是巧合。

这个名称正是因为 Galois 理论最后证明：

所以“solvable group”中的 solvable，确实和我们最终要研究的“方程能不能用根式解”直接相关。

不过现在还不要跳到 Galois 理论。

下一步最重要的是弄懂：

然后我们再看 S₄ 为什么也可解，而到了 S₅ 为什么这套拆法会卡在 A₅。

7.2 阿贝尔商群如何逐层消去非交换部分

现在我们只解释一个问题：

这其实是“可解群”定义背后的核心直觉。

先看一个群 G。如果 G 本身是阿贝尔群，那么最简单，因为所有元素都满足

这时候你甚至不需要很多层，直接有：

而

本身就是阿贝尔群。

所以所有阿贝尔群当然都是可解群。

但 S₃ 本身不是阿贝尔群。比如：

那为什么它还是“可解”？

因为我们找到：

现在看：

在这个商群里，我们已经不再区分 A₃ 里面的元素。

也就是说：

全部被视为同一个“大元素”：

而所有奇置换则被视为另一个“大元素”。

于是原来 S₃ 中很多复杂的非交换行为，被压进了 A₃ 里面。

外面剩下的结构：

只有两个元素，因此是交换的。

所以可以这样理解：

S₃ 的“非交换复杂性”并没有遍布整个群，而是可以被集中到较小的子群 A₃ 里。

然后我们继续进入 A₃。

但 A₃ 本身已经是交换群了。

于是复杂性到这里就结束了。

所以：

就是一种“一层一层剥掉非交换结构”的过程。

你也可以把它画成：

先忽略掉 A₃ 内部的区别，得到

这是阿贝尔群。

然后再看被我们刚才“藏起来”的 A₃。

它自己也是阿贝尔的。

所以整个 S₃ 虽然不是阿贝尔群，但它是由若干层阿贝尔结构搭起来的。

这就是：

的直觉。

这里还有一个更精确的说法。

如果

是阿贝尔群，那么在商群里：

也就是说：

这等价于说：

或者更常见地写成：

这个元素：

叫做 g,h 的交换子，英文：

commutator

记作：

如果 g,h 真正交换，那么：

于是：

所以交换子是在测量：

如果 G/N 是阿贝尔群，那么所有交换子都落进 N：

因此可以理解成：

把 N 压成单位元以后，所有“不交换的误差”都消失了。

这就是为什么阿贝尔商群代表“非交换性被压进更小的子群里”。

所以一条可解链：

满足每个：

都是阿贝尔群，本质上是在说：

最后一直塞到：

于是所有非交换复杂性都被一层层消解掉了。

这就是“solvable”的群论意义。

下一步就很自然了：

然后再对比 S₅，看它为什么最终卡在 A₅。

7.3 S₄ 的可解列

现在我们看：

但这一步会比 S₃ 多一层，所以我们慢慢来。

对 S₄，一个很有用的正规子群链是：

这里新出现了一个东西：

它叫 Klein four group，克莱因四元群。

先只搞清楚 V₄ 是什么。

S₄ 是对

的所有置换。

其中有三个很特别的偶置换：

再加上单位元：

于是定义：

为什么这些都是偶置换？

因为例如：

是两个换位的乘积。

两个是偶数，所以它是偶置换。

因此：

现在先看它为什么自己是一个群。

设

那么：

因为每个都只是交换两对元素，做两次就还原。

更有意思的是：

我们算一下。

还是从右往左。

先追踪 1：

所以：

再看 4：

所以：

因此有：

再看 2：

所以：

而：

所以：

因此：

同样：

所以这四个元素彼此相乘，永远不会跑出去。

因此：

确实是一个群。

而且这个群还是阿贝尔群。

例如：

同时：

所以：

实际上 V₄ 中任意两个元素都交换。

因此：

这已经告诉我们最下面这一层：

是阿贝尔群。

现在看整个链：

为了证明 S₄ 可解，我们需要逐层看：

其中第一层已经知道：

是阿贝尔群。

最后一层：

和前面 S₃/A₃ 一样，只区分奇置换和偶置换，所以只有两个元素，也一定是阿贝尔群。

真正需要理解的是中间这一层：

为什么也是阿贝尔群。

这就是下一步最合适讲的内容。

7.4 V₄ 的正规性与三阶商群为何循环

现在只解决中间这一层：

这里其实有两个问题：

1. V₄ 为什么是 A₄ 的正规子群，这样 A₄/V₄ 才有资格成为商群？
2. 这个商群为什么是阿贝尔群？

我们一个一个来。

先看大小：

而

所以如果能够取商，那么：

也就是说，商群只有 3 个元素。

但我们现在还不能直接宣布它是群，因为首先要证明：

为什么 V₄ 是正规子群？

我们有：

这里介绍一个非常有用的事实。

如果 σ 是一个置换，那么：

等于：

直觉上就是：

左右用 σ 和 σ⁻¹ 包起来，相当于把循环里的标签全部按照 σ 重新命名。

例如假设：

那么：

就是把 1,2 分别换成

所以：

同样：

就会变成

关键是：

两个不相交的换位，在这种“重新命名”之后，仍然是两个不相交的换位。

所以：

经过任意置换共轭后，只可能变成：

也就是说，它还是待在 V₄ 里面。

单位元 e 当然也还是 e。

因此对任意：

都有：

这正是正规子群的另一个等价定义：

现在我们终于可以形成商群：

它有：

个元素。

接下来的问题是：

为什么任何只有 3 个元素的群一定是阿贝尔群？

设这个群是：

取一个不是单位元的元素，比如：

看：

它只能是 e,a,b 之一。

它不可能等于 a，因为如果：

两边乘 a⁻¹，得到：

矛盾。

所以只有两种可能：

或者

但第一种其实也不可能。

如果：

那么集合

会形成一个 2 元子群。

而子群大小必须整除群大小；2 不能整除 3。

如果暂时不想用这个定理，也可以以后再补。

所以必然：

于是：

而因为群只有三个元素，继续乘最终必须回到 e，事实上：

因此整个群其实就是：

所有元素都是 a 的幂。

那么：

所以一定交换。

因此：

于是：

现在三层全部打通：

对应商群：

阿贝尔；

3 阶群，阿贝尔；

2 阶群，阿贝尔。

所以：

到这里，你已经看到了为什么四次方程对应的对称群 S₄ 还能够被“一层层拆成阿贝尔结构”。

下一步就轮到真正的分水岭：

我们会先看它最自然的第一层：

然后发现问题全部集中到了 A₅。而 A₅ 和之前的 A₃,A₄ 会出现一个本质性的不同。

补充证明：可解群的子群仍可解

设 G 有可解列 {e}=G₀◁G₁◁…◁Gᵣ=G，H≤G。令 Hᵢ=H∩Gᵢ。对 x∈Hᵢ₊₁、y∈Hᵢ，xyx⁻¹ 同时属于 H 与 Gᵢ，故属于 Hᵢ；所以 Hᵢ◁Hᵢ₊₁。映射

良定义且保持乘法；若 hGᵢ=Gᵢ，则 h∈H∩Gᵢ=Hᵢ，因此单射。其目标群阿贝尔，所以定义域也阿贝尔。于是 {e}=H₀◁…◁Hᵣ=H 是可解列；相邻项允许相等，重复项删去即可。这补上原对话推广到 n≥5 时仅引用、尚未写出的证明。

补充证明：可解的核与可解的商群给出可解的整体

设 N◁G，且 N 与 Q=G/N 都可解。取 N 的可解列 {e}=N₀◁…◁Nₛ=N；取 Q 的可解列 {N}=Q₀◁…◁Qₜ=Q。令 π:G→Q 是商映射，Pⱼ=π⁻¹(Qⱼ)。因 Qⱼ◁Qⱼ₊₁，共轭计算给出 Pⱼ◁Pⱼ₊₁，而且 P₀=N、Pₜ=G。

把 π 限制到 Pⱼ₊₁，再映到 Qⱼ₊₁/Qⱼ，其核恰好是 Pⱼ，且满射。第一同构定理给出 Pⱼ₊₁/Pⱼ≅Qⱼ₊₁/Qⱼ，因此这些商群阿贝尔。把两条链连接为

得到 G 的可解列。特别地，阿贝尔核当然可解，所以“可解群的阿贝尔扩张仍可解”。这里的“扩张”是群论中的核与商群关系，不是说把两个群简单做直积。

补充定义与证明：交换子如何检测商群的交换性

交换子 [a,b]=aba⁻¹b⁻¹；它等于 e 当且仅当 ab=ba。若 N◁G，则 G/N 阿贝尔，当且仅当所有交换子都落在 N 中。事实上，abN=baN 等价于 (ba)⁻¹ab∈N；该元素 a⁻¹b⁻¹ab 与 aba⁻¹b⁻¹ 互为一个共轭，N 正规，所以两种条件等价。也可以直接在商群中计算 aN、bN 的交换子。后面的商群可解证明就用这个判别。

7.6 可解群的商群仍可解

现在证明：

我们只用已经学过的“可解群”定义，不额外引入新定理。

假设 G 可解。那么存在一条正规子群链：

并且每一层：

现在我们想研究：

这里 N◁ G，否则商群 G/N 都没有定义。

我们有自然的商映射：

它把：

现在把原来每一个 Gᵢ 都通过 π 映射过去。

定义：

于是每个 Hᵢ 都是 G/N 里的一个子群。

原来的链：

经过 π 后变成：

最上面：

最下面呢？

因为：

所以：

注意在商群 G/N 中，单位元就是陪集：

所以：

我们现在只需要证明每一个：

都是阿贝尔群。

为什么？

任取：

因为：

是阿贝尔群，所以在这个商群里：

也就是：

这意味着“不交换产生的差别”落在 Gᵢ 里面。也就是：

现在对它作用商映射 π：

因为 π 是群同态：

所以：

这句话又意味着：

在商群

里面：

和

能够交换。

而 a,b 是任意的，所以：

于是我们已经给 G/N 找到了一条：

并且每一层商群都是阿贝尔群。

按照可解群定义：

7.7 逐元素证明群链的像仍形成正规链

原问题：为什么这个就成立了

这里要分成三件事证明，刚才我确实压得太快了。

我们定义了：

其中

而原来有：

现在为什么能得到：

先看最下面。

因为

所以：

而：

所以：

注意这里 N 是商群 G/N 的单位元，因为：

所以 {N} 就相当于普通群里的 {e}。

再看最上面。

因为：

所以：

而商映射 π 会把所有 g∈ G 送成所有陪集 gN。

这些陪集正好构成整个：

所以：

第三件事最关键：

为什么：

我们知道原来：

现在取任意：

和：

因为：

所以存在：

使：

同理存在：

使：

现在看共轭：

代入：

因为 π 是群同态：

而原来：

所以：

于是：

所以：

这对任意 x∈ Hᵢ₊₁、y∈ Hᵢ 都成立，因此：

所以整个链才真正成立：

核心就是一句：

这里不是因为“把 Gᵢ 映过去”就自动能写 ◁，还需要上面这个共轭计算。

7.8 逐元素证明像链的相邻商群阿贝尔

刚才我们已经证明了：

会形成一条正规的子群链：

现在还差最后一件事：

原来的 G 是可解群，所以我们知道：

是阿贝尔群。

这句话意味着：任取

它们在商群里交换：

也就是：

这意味着 ab 和 ba 只差一个 Gᵢ 中的元素。等价地：

现在把它通过

映过去。

令

因为 a,b∈ Gᵢ₊₁，所以：

而：

作用 π：

利用 π 是群同态：

所以：

这就意味着，在商群

里，x 和 y 的不交换部分已经被压进了单位元。

因此：

因为 x,y 任意，所以：

于是我们有：

而且每一个：

都是阿贝尔群。

这正是“可解群”的定义，所以：

第 8 章：A₅ 的结构：完整证明五次的群论障碍

本章对象：共轭类 Cl_G(x) 是 {gxg⁻¹:g∈G}；中心化子 C_G(x) 是与 x 交换的元素组成的子群；单群只有两个正规子群。

8.1 从 S₄ 走到 S₅：单群障碍

好，我们现在正式进入分水岭：

前面对 S₄，我们找到：

并且每一层商群都是阿贝尔群。

现在尝试对 S₅ 做同样的事。

首先最自然的子群还是：

而且和前面一样：

为什么？

因为置换的奇偶性在共轭下不改变。

如果：

那么看：

如果用“奇偶性乘法”来算：

其中：

因为 τ 是偶置换。

并且：

所以：

因此：

所以：

然后看商群：

因为：

而：

所以：

因此：

所以第一层完全没问题：

真正的问题全部被压进了：

这和 S₄ 很像。

但是 S₄ 的时候，我们进入 A₄ 后，还能继续找到：

于是继续拆：

但到了 A₅，奇怪的事情发生了：

准确地说：

的正规子群只有：

和

本身。

这种群就叫：

注意“单群”不是说它很简单。

恰恰相反，这里的 simple 意思是：

它已经不能通过正规子群继续拆开。

而 A₅ 更麻烦的是：

所以如果我们尝试：

对应的商群就是：

但 A₅ 本身不是阿贝尔群。

因此这条链不满足“每一层商群都是阿贝尔群”。

而又因为 A₅ 没有中间的非平凡正规子群，所以没法像：

那样绕过去。

这就是关键障碍：

于是：

进而：

但这里最难的一步我们还没有证明：

这一步不能一句话带过。

下一步我们应该先把 A₅ 里的元素按循环类型全部分类，然后再看一个正规子群如果包含某种元素，会被“共轭”迫使包含哪些其他元素。这样才能真正看出为什么它最后只能是整个 A₅。

8.2 A₅ 的循环类型及元素数目

下一步先只做一件事：把 A₅ 里面到底有哪些类型的置换弄清楚。这一步是证明 A₅ 是单群的准备。

A₅ 是 S₅ 里的所有偶置换，所以一共有

个元素。

我们要问：

一个作用在 {1,2,3,4,5} 上的偶置换，它的不相交循环分解可能长什么样？

先从所有可能的循环类型开始。

1. 恒等置换

当然有

它什么都不动。

共：

个。

2. 一个换位，例如 (12)

换位是奇置换，所以：

因此这种类型全部排除。

3. 一个 3-循环，例如 (123)

一个 3-循环可以拆成两个换位：

所以它是偶置换。

因此：

所以 A₅ 中有所有 3-循环。

现在数一共有多少个。

先从 5 个元素里挑 3 个：

对于选定的三个元素，例如 {1,2,3}，可以形成几个不同的 3-循环？

有：

和

注意

只是同一个循环换了起点，不算新的。

所以每组三个元素产生：

个 3-循环。

因此一共有：

所以：

4. 两个不相交的换位

例如：

这是两个换位的乘积，所以是偶置换。

因此也属于 A₅。

这种类型叫：

例如：

现在数有多少个。

首先，有 5 个元素，其中必然有一个元素不动。

先选那个不动的元素：

种选择。

剩下 4 个元素要分成两对。

例如剩下：

可以配成：

正好 3 种。

所以总数：

因此：

5. 一个 4-循环

例如：

4-循环需要：

个换位。

3 是奇数，所以它是奇置换。

因此：

全部排除。

6. 一个 5-循环

例如：

5-循环需要：

个换位。

4 是偶数，所以：

现在数有多少个 5-循环。

对于 5 个固定元素，一个 5-循环可以写成：

总共有：

种排列方式。

但是同一个循环可以从任意位置开始写：

所以每个循环被重复计算了 5 次。

因此：

所以：

现在把所有偶置换类型加起来：

正好：

因此我们没有遗漏任何元素。

所以 A₅ 的元素只有四种类型：

这张表后面非常重要。

接下来我们要利用“正规子群在共轭下必须保持不变”。

直觉上，如果某个正规子群 N◁ A₅ 含有一个元素，比如：

那么它不能只含这一个 3-循环。

因为对 A₅ 中各种 σ 做

会把标签重新排列，从而强迫 N 同时包含很多其他 3-循环。

下一步就是仔细讲：

以及它如何限制正规子群。

8.3 共轭就是重新给循环贴标签

本段先解释共轭的作用，并列出需要验证的共轭类数量。三循环、双换位及五循环的类大小将在紧接着的补充证明中计算，不能只由“重新贴标签”这句话直接认定。

现在我们只讲：

为什么可以理解成“把 τ 里的数字重新命名”。

假设

它的意思是：

现在取另一个置换 σ。比如

那么：

我们来看

结论是：

所以这里就是：

也就是

为什么？

我们直接跟踪一个元素。

比如先看 σ(1)=4。

对 4 作用

第一步，最右边的 σ⁻¹：

然后做 (123)：

最后做 σ：

所以：

同理：

于是：

所以就是：

因此：

这就是“共轭就是重新贴标签”。

现在来看为什么这对正规子群重要。

假设：

正规意味着：

对所有

都成立。

所以如果：

那么：

换句话说：

只要 N 含有一个元素，它就必须同时包含这个元素在 A₅ 中的所有共轭元素。

这就非常强。

例如如果：

那么所有形如：

的元素也必须在 N 里。

而这些都是 3-循环。

事实上，在 A₅ 中所有 20 个 3-循环彼此共轭。

所以：

同理，15 个双换位也形成一个共轭类。

所以：

但 5-循环这里稍微特殊一点：

在 S₅ 中，24 个 5-循环全部彼此共轭； 但在 A₅ 中，它们会裂成两个共轭类，每类 12 个。

这个细节后面证明 A₅ 单群时很重要。

所以 A₅ 的共轭类大小实际上是：

总和：

下一步我们就利用这个事实：

正规子群必须是若干个共轭类的并，并且一定包含单位元。

然后看这些共轭类大小能不能拼出一个既整除 60、又严格介于 1 和 60 之间的正规子群大小。

补充证明：A₅ 的共轭类为什么是 1、20、15、12、12

先定义中心化子 C_G(x)={g∈G:gx=xg}，它是一个子群。共轭映射 g↦gxg⁻¹ 的两个输入 g,h 得到同一个输出，当且仅当 h⁻¹g∈C_G(x)。因此共轭类与中心化子的左陪集一一对应，有限群中

这一步只用了已经证明的陪集计数，不需要提前调用其他群论定理。

对三循环 c=(123)，交换它的置换必须保持集合 {1,2,3}，在这个集合上只能是 e,c,c²；在剩下的 {4,5} 上可选 e 或 (45)。S₅ 中中心化子有 6 个元素，其中偶置换恰好 3 个。因此 A₅ 中这个共轭类有 60/3=20 个元素，正好覆盖全部三循环。

对双换位 d=(12)(34)，交换它的置换必须固定唯一不动点 5。它可以决定把 {1,2} 送到两对中的哪一对（2 种），以及每对内的顺序（各 2 种），故 S₅ 的中心化子有 8 个元素。奇置换 (12) 在该中心化子中，乘以它给出中心化子内偶、奇元素的双射，所以偶元素有 4 个。共轭类大小为 60/4=15，正好覆盖全部双换位。

对五循环 c=(12345)，与它交换的置换 g 一旦确定 g(1)，其余像由 g(cʲ(1))=cʲ(g(1)) 决定。因此中心化子恰好是 {e,c,c²,c³,c⁴}，其中所有元素均为偶置换。每个 A₅ 共轭类大小为 60/5=12。五循环总共有 24 个，所以分成恰好两个类。单位元独自一类，于是得到 1、20、15、12、12。

补充检查：非阿贝尔单群为什么不可解

令 a=(123)、b=(345)，乘积从右向左作用。ab 把 3 送到 4，ba 把 3 送到 1，因此 ab≠ba。故 A₅ 非阿贝尔。若它存在可解列，删除重复项后，最后一个真子群必须正规于 A₅。单群性迫使这个真子群为 {e}，于是最后的商群就是 A₅ 本身，却不是阿贝尔群，矛盾。再利用已证明的“可解群的子群仍可解”，推出 S₅ 不可解。

8.5 用共轭类并集与整除条件证明 A₅ 单群

现在我们利用刚才得到的 A₅ 共轭类大小

来证明：

先只看第一个关键点。

如果

并且 x∈ N，那么对任意 σ∈ A₅，

所以只要 N 含有一个 x，它就必须把 x 的整个共轭类都包含进去。

因此：

并且因为任何子群都必须包含单位元 e，所以大小为 1 的共轭类

必然包含。

于是正规子群 N 的大小只能由下面这些数字拼出来：

也就是说一定是

现在第二个条件来自刚才学过的 Lagrange 定理。

因为

而

所以：

60 的正因数只有：

所以我们只需要看看：

用 1,20,15,12,12 中的若干项相加，能不能得到这些因数中的某一个？

我们逐渐加。

只取单位元：

这对应：

这是平凡正规子群。

如果再加入一个 12 元共轭类：

但：

不行。

加入 15 元类：

而

不行。

加入 20 元类：

也不整除 60。

再尝试两个非平凡共轭类：

没有一个整除 60。

三个：

也都不整除 60。

最后全部都要：

这就是整个 A₅。

因此正规子群的大小只有两种可能：

或者

所以：

不存在中间的非平凡正规子群。

因此：

但我们还需要另一半：

不是阿贝尔群。

这个很容易，例如：

但一般有

所以 A₅ 是：

这就直接造成“可解”失败。

因为如果想构造：

而 A₅ 没有任何中间正规子群，那么只能是：

对应唯一的非平凡商群：

可是它不是阿贝尔群。

所以：

进而因为

且 A₅ 已经是不可解的障碍，所以：

到这里，我们已经完成了纯群论这半边：

下一步就要开始真正搭桥到方程：

在进入这个桥之前，我们首先必须学一个新对象：域（field）。因为“知道哪些数”和“加入一个平方根以后知道哪些新数”都要用域来精确描述。

第 9 章：域、理想、代数元与扩张次数

本章对象：ℚ 是有理数域；R 是含单位元的交换环；I 是理想；F⊆E⊆K 是域塔。F(α) 是生成域，[K:F] 是向量空间维数；span 表示所有给定域系数的线性组合。

9.1 域与域扩张：允许使用哪些数

现在开始进入和“根式解”真正连接的另一半：域（field）。

这一步先只回答一个问题：

我们怎样严格描述“目前允许使用哪些数，以及这些数之间允许做哪些运算”？

假设我们从有理数开始：

如果我们只允许做：

而且除数不能是 0，那么从有理数出发，永远还是有理数。

例如：

所以 对四则运算是“封闭”的。

这就是域最核心的直觉：

当然，正式定义稍微严格一些。

一个集合 F，如果有加法和乘法，并满足：

是一个阿贝尔群，

同时非零元素

在乘法下也是一个阿贝尔群，

再加上乘法对加法满足分配律：

那么 F 就叫一个域。

这里其实就是把我们前面学过的“群”用到了两次。

第一次是加法：

所以必须有：

每个 a 有加法逆元：

第二次是乘法：

所以必须有：

每个非零 a 有乘法逆元：

也就是可以除以 a。

因此：

最典型的例子是：

它们都是域。

但整数：

不是域。

为什么？

因为：

但它的乘法逆元：

不在 中。

所以整数不能在内部自由做除法。

现在这个概念为什么和方程有关？

考虑：

如果我们只在

里面工作，那么它没有根。

因为：

于是我们想做一件事：

在原来的有理数域里“加入”一个新数 √2。

加入以后，我们当然不能只拥有一个孤零零的 √2。

因为如果这是一个域，那就必须还能做加减乘除。

所以必须至少包含：

等等。

而：

最后会发现，这个新域里的每个元素都可以写成：

这个新域记作：

读作：

adjoining √2

中文通常说：

在 上添加 √2 得到的域。

这一步非常重要，因为以后所谓“用根式解方程”，本质上就是不断做：

也就是：

所以“根式解”最终会变成一个关于域扩张的问题。

下一步最自然就是仔细讲：

这会正式引出“域扩张”的概念。

9.2 先定义环和理想，理解吸收性质

原问题：你得解释理想是什么吧

对，这里确实应该先把“理想（ideal）”讲清楚，不然前面那句话是悬空的。

先从我们已经熟悉的结构开始。

一个环 R 里有两种运算：

例如：

就是一个环。

现在我们想从 R 里面挑一个子集 I，希望它在某种意义上“对环运算很稳定”。

理想要求两件事。

第一，I 对加法本身要形成一个群。也就是如果

那么：

例如偶数集合：

满足这一点。

第二，这才是理想最特殊的地方：

如果是交换环，也等价于

意思是：

理想里的一个元素，乘上整个环里的任意元素，都不能跑出理想。

例如在

里，

是一个理想。

因为如果

是偶数，而

那么：

仍然是偶数。

所以：

是 的理想。

同理：

都是理想。

为什么不能只说“子群”？

因为子群只管一种运算。

比如：

是整数加法群

的子群。

但是“理想”还额外要求：

所以理想比“加法子群”要求更强。

可以先记：

这里常说理想具有 吸收性。

因为：

以后，

被“吸”回 I 里面。

现在就能理解为什么域同态的核是理想。

假设：

是环同态。

它的核是：

首先，如果

那么：

于是：

所以：

这说明它是加法子群。

再看吸收性。

如果：

那么：

因为：

所以：

因此：

所以：

现在再回头看域 K。

假设：

是一个理想，而且里面有一个非零元素：

因为 K 是域，所以：

而理想有吸收性，所以既然

且

就必须有：

但：

所以：

接下来任取：

因为：

又因为 x∈ K，利用理想的吸收性：

于是：

所以整个 K 都在 I 里：

因此域只有两个理想：

这就是前面那个结论的完整背景。

9.3 域的理想为什么只有零理想和整个域

这里是在解释：为什么域 K 只有两个理想：{0} 和整个 K。

假设 I 是 K 的一个理想，而且 I 里有某个非零元素

理想有一个关键性质：

也就是说，理想里的元素乘上环（这里是域）中的任意元素，结果还必须留在理想里。

因为 K 是域，而 a≠0，所以 a 有逆元：

现在在上面的理想性质里取

因为 a∈ I，所以

但

所以：

这一步就是你选中的那句话的意思。

然后一旦 1∈ I，事情就结束了。因为任取一个

利用理想的性质：

而

所以任意 x∈ K 都属于 I。

因此：

所以一个域里的理想只有两种可能：

或者，只要它含有任意一个非零元素，就立即变成：

这也就是前面说“域同态的核只能是 {0} 或整个域”的根本原因。

9.4 完整验证 ℚ(√2) 的元素形式

现在就把这件事彻底讲清楚：

为什么正好是这种形式？

先从“加入 √2”是什么意思说起。

我们原来只有：

现在要求新的域里还必须有：

既然它是域，就必须对四则运算封闭。

所以至少会产生：

等等。

这些显然都属于：

关键问题是：

继续乘、除以后，会不会出现 (√2)²,(√2)³ 之类，从而需要更高次项？

先看乘法。

设

那么：

展开：

但：

所以：

仍然是：

高次项自动被压回来了。

例如：

所以根本不需要保留：

作为新的独立东西。

加减更简单：

仍然是同样形式。

取负号：

也还是同样形式。

真正需要检查的是除法。

假设：

我们希望：

仍然写成：

方法就是乘共轭：

得到：

因为：

所以：

而且只要

这个分母不会为 0。

因此：

两个系数仍然都是有理数。

所以逆元仍然属于这个集合。

于是：

确实是一个域。

而且它包含：

和

因此它就是“包含 和 √2 的最小域”：

这里“最小”很重要，意思不是数值大小，而是：

只加入为了保证域运算不得不加入的东西，不额外加入别的数。

比如：

当然也可以和 √2 一起放进一个更大的域，但仅仅从 加入 √2，并不会被迫得到 π。

现在再看一个很重要的结构。

里的每个数都能唯一写成：

这里实际上只有两个“基本方向”：

所以我们常写：

它作为一个 -向量空间，维数是：

于是定义：

这个数字叫：

直觉上就是：

从 扩张到 ，需要两个基底方向 1,√2。

这一步非常关键，因为后面如果加入一个满足三次不可约方程的数，扩张次数可能是 3；加入五次根，次数也可能变化。

下一步最自然的是讲：

因为 √2 之所以只需要 1,√2，根本原因就是它满足：

9.5 代数元、最小多项式、扩张次数

现在讲三个紧密相关的概念：

先用 √2 这个最熟悉的例子。

我们知道：

满足

而这个多项式的系数都在 里。

所以我们说：

更一般地，如果一个数 α 满足某个非零多项式方程

其中

那么称：

英文是 algebraic element。

例如：

是 上的代数元；

也是，因为它满足

而像 π,e 相对于 则不是代数元，它们是超越数。

但一个数通常会满足很多多项式。

比如 √2 满足：

当然也满足：

即：

甚至还满足：

所以仅仅说“它满足一个多项式”信息太多、太冗余。

我们真正想找的是：

最简单、最低次数的那个多项式。

对 √2，就是：

这个多项式叫：

英文：

minimal polynomial

正式一点说，如果 α 是 F 上的代数元，那么它的最小多项式 是：

“首一”就是最高次项系数取 1。

例如：

为什么不能有一次多项式？

如果有：

那么就意味着：

矛盾。

所以最低次数确实是 2。

现在看：

它满足：

如果这个多项式在 上不可约，那么它就是最小多项式。

这里的“不可约”意思是：

不能在 里分解成两个次数都更低的非恒定多项式。

对于：

如果它在 上可约，因为它是三次多项式，就一定有一个有理根。

但有理根只能是：

都不成立。

所以它不可约。

因此：

现在来到最重要的结论。

如果：

在 F 上的次数是：

那么：

里的每个元素都可以唯一写成：

其中：

为什么只需要到 αⁿ⁻¹？

因为最小多项式给了一个关系：

所以：

也就是说：

于是：

也都能不断降次。

例如 √2 满足：

所以任何高次幂都只能化成：

而 满足：

所以任何元素都可以化成：

也就是：

因此：

于是得到一个非常重要的定理：

也就是：

加入一个代数元后，域扩张的次数，等于这个元素最小多项式的次数。

例如：

因为：

而：

因为：

下一步最自然的是讲：

也就是塔式定理：

这会直接帮助我们理解“不断加入根式”的结构。

补充证明：最小多项式为什么不可约，为什么给出扩张次数

F 是域，α 是 F 上的代数元。存在非零多项式使它为零，因此在所有这类多项式中选次数最小的，并除以首项系数，得到首一多项式 m。若 m=uv，其中 u,v 都是正次数，则 0=m(α)=u(α)v(α)，在域中必有一个因子为零，违反最小次数。所以 m 不可约。

多项式除法表明：若 p(α)=0，把 p 除以 m 得 p=qm+r，deg r<deg m。代入 α 后 r(α)=0，最小性迫使 r=0。因此所有在 α 处为零的多项式恰好是 m 的倍数，也证明首一最小多项式唯一。

设 d=deg m。任何多项式表达式都能化简为 1、α、…、αᵈ⁻¹ 的 F 线性组合。还要检查除法不会跑出去：若 q(α)≠0，则不可约的 m 与 q 互素；多项式 Euclid 算法给出 u q+v m=1，所以 q(α)⁻¹=u(α)。于是这些多项式表达式已是一个域，即 F[α]=F(α)。

若这 d 个元素线性相关，就存在次数小于 d 的非零多项式使 α 为零，矛盾。因此它们是一组基，[F(α):F]=d。这也解释“生成元”不能直接当作向量空间的基。

这里用到的多项式 Euclid 算法：重复带余除法，余数次数严格下降，最后非零余数为最大公因式；从最后一步逆向代入，就把最大公因式写成两个原多项式的组合。互素时该组合可归一化为 1。

原例子的有理根定理也可以直接检查：若互素整数 p,q 的比 p/q 是整系数多项式 a_d xᵈ+…+a₀ 的根，乘以 qᵈ 后，p 整除 a₀qᵈ，q 整除 a_dpᵈ。因 p,q 互素，得到 p∣a₀、q∣a_d；首一时 q=±1。因此 x³−2 的有理根只可能是 ±1、±2。

补充例子：√2 不在 ℚ，√3 不在 ℚ(√2)

若 √2=p/q，取互素整数 p,q，则 p²=2q²，p 必为偶数；写 p=2r 后 q²=2r²，q 也为偶数，矛盾。

若 √3=a+b√2，a,b∈ℚ，平方得 3=a²+2b²+2ab√2。因 √2 无理，ab=0。若 b=0，则 a²=3；若 a=0，则 b²=3/2。两者都不可能是有理数的平方：一个有理数平方的约分分子和分母中，各素因子的指数都是偶数，而 3、3/2 不满足。因此 √3 不在 ℚ(√2)，原塔式定理例子中的第二层确实是二次扩张。

9.7 塔式定理的乘积基构造

现在讲塔式定理（tower law），它回答一个很自然的问题：

如果不是一次只加入一个数，而是连续扩张几次，最终扩张次数怎么计算？

假设有三层域：

如果

而

那么：

这就是塔式定理。

先不急着证明，先看一个具体例子。

从

开始，先加入：

得到：

我们已经知道：

因为一个基可以取：

现在再加入：

得到：

现在我们把 K 看成是在 E 上加入 √3：

如果 √3∉ E，那么它在 E 上仍然满足：

而且这个多项式在 E 上仍不可约，于是：

所以塔式定理告诉我们：

因此：

这和我们直接观察也一致。

因为这个域里的元素都可以写成：

展开：

所以：

它在 上有四个基本方向：

因此维数确实是 4。

现在解释为什么塔式定理成立。

假设：

取 E 在 F 上的一组基：

也就是说，任意 e∈ E 都能唯一写成：

再假设：

取 K 在 E 上的一组基：

那么任意 x∈ K 可以写成：

但每个 bⱼ 又能写成：

代回去：

整理：

所以从 F 的角度看，K 可以由这些元素张成：

一共有：

个。

进一步可以证明它们线性无关，因此它们正好构成 K 在 F 上的一组基。

于是：

这件事为什么对“根式解”重要？

因为所谓根式解，本质上就是建立一座这样的塔：

每一步都通过加入一个根式：

其中：

比如：

所以根式解不是一句模糊的“用了几次开方”，而是：

这就是以后“根式可解”严格定义的基础。

下一步最自然的是进入另一个核心概念：

因为一个多项式可能不止一个根，而 Galois 理论真正关心的是：

把这个多项式的所有根都加入以后得到的最小域。

补充证明：塔式定理中乘积基的线性无关性

原对话证明了 eᵢkⱼ 张成 K，下面补齐线性无关。若

由于 k₁,…,kₙ 在 E 上线性无关，每个括号均为 0；由于 e₁,…,eₘ 在 F 上线性无关，每个 aᵢⱼ=0。所以乘积集合是一组基，[K:F]=[K:E][E:F]。

第 10 章：域同态、嵌入、自同构和 Galois 群

本章对象：本篇域同态要求把 1 映到 1。σ:K→L 是域映射；域同态的核映到 0，Galois 群同态的核映到恒等自同构。

10.1 嵌入的单射条件

原问题：所以嵌入就是要求是单射吗

对。

在域论里，嵌入（embedding）通常就是指一个保持域结构的单射同态。

也就是说，一个映射

如果满足：

并且还是单射，那它就是一个域嵌入。

所以你可以先记成：

之所以强调“单射”，是因为它要把原来的域 K 原封不动地“放进”另一个域 L 里，不能把两个不同元素压成同一个。

其实对域来说，只要是非零的域同态，单射往往是自动的。因为如果

那么

而域同态的核只能是

或者整个域；但又因为

所以不可能整个域都进核，因此只能

也就是

所以域同态天然几乎就是嵌入。

10.2 域同态的核与乘法群同态的核

原问题：为什么，此外域同态的核，指的是加法的还是乘法的

对，这里有两个容易混淆的“核”，你问得很关键。

这里说的域同态的核，指的是把域同态看成一个加法群同态时的核，也就是：

这里对应的是目标域的加法单位元 0，不是乘法单位元 1。

假设

是域同态。

为什么它的核只能是

或者整个 K？

先假设核里出现了某个非零元素：

那么：

因为 K 是域，任何非零 a 都有乘法逆元：

于是：

对两边作用 φ：

因为域同态保持乘法：

但我们已经知道：

所以左边变成：

于是得到：

矛盾。

因此，只要 φ 是正常的域同态（特别是 φ(1)=1），就不可能有任何非零元素进入核。

所以：

因此域同态自动是单射。

你可能会问：

那为什么刚才还说“核只能是 {0} 或整个域”？

这是从更一般的环同态/理想角度说的。

核有一个性质：如果

而

那么：

所以：

这种对子集的要求叫做理想（ideal）。

而一个域只有两个理想：

原因也正是刚才那个逆元论证：如果一个理想里包含任何非零 a，因为 a⁻¹∈ K，就有

也在理想里；一旦理想包含 1，那么任意

都在理想里，因此它就是整个 K。

至于你问“有没有乘法的核”，确实也可以考虑：

这个乘法群同态。

这时群论意义下的核是：

这是另一回事。

所以一定要区分：

因为这里关注的是加法零元；

而

因为乘法群的单位元是 1。

我们刚才证明“域同态自动单射”时，用的是前一种：

10.3 域自同构与 Galois 群

现在进入 Galois 理论真正的核心概念：

先不要急着碰 x³-2。我们从最简单的

开始。

一个“域自同构”可以先理解成：

把这个域里的元素重新对应到这个域里的元素，同时完全保持加法和乘法结构。

也就是说，一个映射

如果满足

并且是双射，那么它就是 K 的一个域自同构。

但在 Galois 理论里我们通常还会指定一个基础域，比如 ，要求：

也就是说，所有有理数必须原封不动。

这叫：

现在研究：

里面任何元素都是：

如果 σ 固定所有有理数，那么

所以：

因此你会发现：

整个 σ 怎么作用，其实完全由它把 √2 送到哪里决定。

那 √2 能被送到哪里？

因为：

自同构必须保持乘法，所以：

左边：

右边因为 ，而 σ 固定 ，所以：

因此：

所以：

只能是方程

的根。

也就是：

这很重要。

因此 有两个固定 的自同构。

第一个是什么都不做：

于是：

这就是恒等自同构：

第二个把：

于是：

比如：

被送到：

这看起来很像我们熟悉的“共轭”。

所以：

其中：

这个群有两个元素。

而且：

所以它和一个 2 元循环群本质上一样。

现在最关键的问题来了：

为什么自同构一定把一个多项式的根送到另一个根？

假设：

其中所有：

假设：

也就是：

现在对两边作用 σ：

因为 σ 保持加法和乘法，而且固定所有 ，所以：

也就是：

因此：

这一步就是“域自同构”和“根的置换”之间真正的桥。

现在再回头看：

它的两个根是：

一个固定 的自同构只能：

• 固定两个根；
• 或交换两个根。

所以这些自同构实际上就是在置换根。

这就是为什么 Galois 群天然是一个置换群。

接下来再看：

它的分裂域是：

其中：

三个根是：

如果 σ 是一个固定 的 K 的自同构，那么因为

所以：

因此：

只能是三个根之一：

所以自同构一定会重新排列这三个根。

于是终于得到定义：

这就是：

它的元素不是“根本身”，而是：

下一步最适合具体算：

到底为什么有 6 个元素，并且为什么它就是：

这一步会把“域自同构”和我们最开始学的置换群真正合并起来。

第 11 章：分裂域、正规性与嵌入的延拓

本章对象：Ω 或 F̄ 是包含所需代数元的代数闭包；τ:E→Ω 是固定 F 的嵌入，延拓 τ̃:K→Ω 要与 τ 在 E 上一致。

本节定义：特征、可分、正规与 Galois

特征 0 表示有限个 1 相加永远不等于 0；ℚ 及其所有扩张域都是特征 0。不可约多项式可分，表示它在代数闭包中没有重根。有限扩张 K/F 可分，表示其每个元素的最小多项式可分。K/F 正规，表示 F[x] 中任何不可约多项式只要在 K 有一个根，就在 K 内完全分裂。有限扩张同时正规和可分，称为 Galois。

特征 0 中，正次数不可约多项式 p 的导数 p′ 不为零，且次数更低。若 p 有重根，则 p 与 p′ 有共同根，其最大公因式非平凡；p 不可约迫使 p 整除 p′，与次数矛盾。所以特征 0 下有限代数扩张自动可分。

补充证明：分裂域、正规性与嵌入稳定的关系

在代数闭包 Ω 中，若 K 是 F 上某多项式的分裂域，则任意固定 F 的嵌入 σ:K→Ω 都把这些根送到同一多项式的根，所以 σ(K)⊆K。嵌入作为 F 线性映射保持维数，且 K/F 有限，因此 σ(K)=K。

反过来，若每个固定 F 的嵌入都把 K 映回自身，取 α∈K 及其最小多项式的任意根 β∈Ω。映射 α↦β 先给出 F(α)→Ω 的嵌入，再用下一节证明的延拓构造扩展到 K。因此 β∈K，最小多项式的全部根都在 K。故 K/F 正规。

因此，有限扩张的“正规”与“每个固定基础域的嵌入都把整个域映回自身”等价。上面的反向证明在延拓引理证明后即可逐步核查，正向用于分裂域时不依赖反向。

11.2 分裂域：把一个多项式的全部根加入

现在进入 分裂域（splitting field）。这个概念会第一次把“域”重新和前面讲过的“根的置换”接起来。

考虑一个多项式

所谓它在 F 上的分裂域，就是：

从 F 出发，把 f(x) 的所有根都加入以后得到的最小域。

先看最简单的例子：

它的两个根是

加入 √2 以后，我们得到

但是

本来就已经在这个域里，因为域对取负封闭。

所以：

已经能够在 中完全分解成一次因子。

因此：

这里“splitting”就是“完全裂开成一次因子”的意思。

真正有意思的是三次方程：

我们已经知道一个实根：

如果只加入它：

是不是就已经获得了三个根？

不是。

因为一个三次多项式在复数里有三个根。

我们来找另外两个。

方程：

如果

那么只要找满足

的数，就有：

所以三个根实际上是：

其中

而：

这就是一个三次单位根。

现在注意关键问题：

里的元素都是：

这些全部都是实数。

所以：

因为 ω 不是实数。

因此只加入一个根 ，并没有把另外两个根也自动带进来。

所以：

我们还要加入：

于是得到：

在这个域里，三个根：

全都存在。

因此：

在 K 里完全分裂。

所以：

这里有一个非常重要的区别。

加入某一个根得到：

但分裂域要求：

所以这两个东西不一定相同。

二次例子里恰好相同：

既是“加入一个根的域”，也是分裂域。

三次例子里则不同：

我们甚至可以算一下这个分裂域的次数。

首先：

然后加入 ω。

ω 满足：

因为：

而 ω≠1。

并且 ，所以它在这个实数域上仍然需要一个二次扩张。

因此：

根据塔式定理：

所以：

这个数字 6 很快就会再次出现。

因为三个根有：

种可能置换。

而对于这个具体多项式，它的 Galois 群实际上正是：

不过现在还差最后一个关键概念才能说清楚这句话：

也就是说：

在保持原来的有理数完全不动、同时保持加法和乘法关系的前提下，我们可以怎样重新排列这个分裂域里的元素？

一旦定义这个东西，“根的置换”就会从之前比较直观的想法，变成严格的 Galois 群。这就是下一步。

11.3 嵌入、代数闭包、延拓的对象类型

原问题：这一段都没看懂

可以，这一段确实一下子引入了太多新东西：嵌入、代数闭包、延拓定理、 全挤在一起了。我们先全部拆开，而且暂时不证明延拓定理，只先弄懂它到底在说什么。

先回到最具体的场景：

你可以把它想成：

这里：

现在在 E 上，我们有一个自同构：

满足：

这就是一个只定义在 E 上的“规则”。

也就是说，目前 τ 知道怎么处理：

因为：

但它还不知道怎么处理：

因为：

所以目前：

只定义在小域 E 上。

我们现在想做的是：

能不能把这个规则扩展到整个更大的域 K？

也就是说，希望找到一个新映射：

满足：

这里：

读作“tau tilde”，可以理解成：

τ 的扩展版。

而

意思是：

虽然 定义在整个 K 上，但如果只看它在 E 里的作用，它和原来的 τ 完全一样。

比如我们可以定义：

同时规定：

这样就把原本只会处理 √2 的 τ，扩展成了一个还能处理 √3 的映射。

这就是：

最核心的意思。

那“嵌入 embedding”又是什么？

其实你现在可以先把它理解成：

一个保持加法、乘法，而且不会把两个不同元素压成同一个元素的域映射。

比如：

满足：

就是一个嵌入。

因为它保持：

这些代数结构。

“自同构”其实就是一种特殊的嵌入：

所以“嵌入”是更宽一点的概念。

那为什么前面突然写：

而不是直接：

因为一般的延拓定理，第一步只能保证：

可以把 τ 扩展成一个定义在 K 上的嵌入，但它的像暂时可能落到一个更大的世界里。

这个更大的世界就是：

这里的横线：

表示：

你现在不需要掌握正式定义，可以先把它理解成：

一个足够大的域，里面包含了所有在 F 上代数的数，也就是各种多项式的根。

比如：

那么：

里面会有：

等等所有代数数。

所以它相当于提供一个“足够大的容器”，保证我们扩展映射时不会因为目标元素没地方放而卡住。

因此那句话：

其实只是说：

原来只定义在 E 上的 τ，可以扩展成一个定义在整个 K 上的映射；为了保险，我们先允许它把 K 中的元素送到一个足够大的域 中。

而：

就是：

这个扩展不会改变原来已经规定好的行为。

比如原来：

那么延拓以后仍然必须有：

它不能突然反悔。

现在再看我们为什么最终还是希望：

因为如果我们要让：

成为 K 的自同构，那它必须把 K 映回 K 自己。

而不能出现：

这时候：

就会发挥作用。

它保证这种固定 F 的嵌入实际上不会把整个 K 搬到外面去，而是：

于是：

就真的成为 K 的自同构了。

所以把那整段压缩成一句直白的话：

第一步先允许它映到一个很大的容器：

如果：

是 Galois，那么扩展后的映射实际上还会把 K 留在 K 里面，于是变成：

你现在最值得抓住的不是“代数闭包”的正式定义，而是这条逻辑：

下一步如果继续，我建议先不讲一般的延拓定理证明，而是先解释：为什么“K/F 是 Galois”会保证这些嵌入把 K 映回自己。 这会更容易接上你现在的理解。

11.4 单个代数元上的嵌入延拓构造

下一步我建议先不要继续往“根式塔 → 可解群”走，而是把我们刚才留下的那个真正缺口补掉：

我们刚才只是把“延拓定理”当成现成结论用了，但你已经开始追问它为什么成立，所以最好把它拆开证明。

下一步会按这个顺序来：

假设已经有一个嵌入

我们要研究：

如果再加入一个代数元 α，怎样把 τ 扩展到 E(α)？

核心会发现：

如果 α 的最小多项式是

那么延拓后的映射必须把

送到一个满足“系数已经经过 τ 变换后的多项式”的根。

也就是说，我们会第一次看到类似

经过 τ 后变成

然后只要在代数闭包 里挑它的一个根 β，就可以定义

再由

里的每个元素都是由 E 和 α 生成的，就能把整个 定下来。

所以下一步真正要学的是：

这比直接背“延拓定理”重要得多。学完这一小步，再把它重复有限次，就能理解为什么从 E 能一路延拓到整个有限扩张 K。

补充证明：嵌入怎样延拓到一个代数元，再延拓到有限扩张

Ω 是含 F 的代数闭包；E/F 是代数扩张，α 在 E 上代数。给定固定 F 的嵌入 τ:E→Ω，设 m(x) 是 α 在 E 上的首一最小多项式。τ(m) 表示只对系数作用 τ。它在 τ(E)[x] 中仍不可约：若分解，把系数用 τ 的逆映回 E，就得到 m 的分解，矛盾。

在 Ω 中选 τ(m) 的一个根 β。E(α) 的每个元素有唯一形式 ，定义

唯一表示保证没有表达式歧义。该映射保持加法。乘法时先把两多项式相乘，再除以 m 化简；在目标中对应除以 τ(m)，因为 τ(m)(β)=0，得到同一个结果。因此保持乘法并把 1 送到 1。非零域同态自动单射，所以得到 E(α)→Ω 的嵌入，且限制到 E 等于 τ。

若 K/E 有限，选一组有限基 b₁,…,bₛ，则 K=E(b₁,…,bₛ)；逐次把嵌入延拓到这些代数元，就得到 K→Ω 的嵌入。若 K/F 正规，嵌入像等于 K，因而是 K 的 F 自同构。这给出限制映射满射所需的完整证明，而不只是把“延拓定理”作为口号引用。

补充证明：为什么有限 Galois 群的元素个数等于扩张次数

若 E→Ω 的嵌入已固定，加入可分代数元 α 时，上述延拓恰好由 τ(m) 的不同根决定，一共有 deg m=[E(α):E] 种。沿有限生成塔逐层计数，得到固定 F 的 K→Ω 嵌入数等于各层次数的乘积，即 [K:F]。若 K/F 正规，每个这样的嵌入都变成 K 的自同构。因此 |Gal(K/F)|=[K:F]。这说明通过维数计算群的大小需要可分、正规条件，而不能任意套到非正规扩张。

11.6 正规性为什么让嵌入变回自同构

关键是：Galois 扩张里的“normal（正规）”性质，恰好保证所有共轭根都已经在 K 里面。

我们一步一步看。

假设

是有限 Galois 扩张。这里真正起作用的是：

Galois = 正规 + 可分；这里暂时只需要“正规”。

假设 α∈ K。

因为 α 是 F 上的代数元，它有一个在 F 上的最小多项式：

而：

现在有一个固定 F 的嵌入

因为 σ 固定 F 中的系数，所以和我们前面讨论 Galois 自同构时一样：

经过 σ 后得到：

所以：

这一步很重要。

现在如果 K/F 不是正规扩张，就可能出问题。

例如：

取：

它的最小多项式是：

三个根：

但是 K 只包含第一个。

因此可以有一个 -嵌入：

于是：

这个域不等于原来的：

所以这个嵌入真的把 K “搬到外面去了”。

现在换成正规扩张。

例如：

这是 x³-2 的分裂域。

因此它已经包含：

所以如果一个固定 的嵌入把

送成：

没有关系，因为：

它没有跑出 K。

这就是 normal 的核心：

更标准地说，对于正规扩张 K/F，如果一个不可约多项式

在 K 里有一个根，那么它就在 K 里完全分裂。

于是对任意：

我们已经知道：

必须是 α 的某个共轭根。

但正规性又保证：

所以：

因为这对所有

都成立，因此：

那为什么最后不是只有

而是：

因为 σ 是嵌入，所以它是一一的。

而且 K/F 是有限扩张，所以：

但我们又有：

一个 K 的真子域如果作为 F-向量空间真地更小，就不可能和 K 有完全相同的有限维数。

因此只能：

于是原本只是：

的嵌入，实际上自动变成：

也就是 K 的自同构。

所以整条逻辑可以压缩成：

再利用有限维和单射：

所以你之前那句话“Galois 保证映射不会把 K 送出去”，严格说真正负责这件事的是：

而不是“可分性”。

11.7 以 ℚ(√2,√3) 理解延拓和限制

我们先用具体例子看“延拓”是什么意思，再说一般情形。

设

我们有

现在先看：

它有两个元素。

一个是恒等：

另一个记作 τ：

现在问题是：

这个只定义在 E 上的 τ，能不能变成一个定义在整个 K 上的自同构？

可以。

因为 K 比 E 多出来的生成元就是：

所以我们只需要再决定：

一种最简单的选择就是：

于是定义：

那么任意

都可以写成

所以 σ 自动被确定为：

这确实是 K 的一个自同构。

而且限制回 E：

所以我们说：

其实我们还有另一种选择：

于是也可以定义：

那么同样：

所以注意：

但我们现在只关心：

至少有没有一个延拓？

现在回到 restriction map：

它做的是：

如果 E 上的每一个自同构 τ 都至少能找到一个 K 上的 σ，使：

那么就说明：

里的每个元素都能被 res 命中。

这就叫 res 是：

也就是说：

一般情况下为什么能延拓？

这里需要一个新的重要事实。

假设：

是有限 Galois 扩张，而且：

取一个固定 F 的 E-自同构：

首先，τ 可以看成把 E 嵌入一个更大的代数闭包中的映射。

有一个基本的延拓定理告诉我们：

也就是说，可以找到：

使得：

这里暂时先把

理解为“一个足够大的、包含所有相关代数根的域”。

但我们还需要：

否则它只是把 K 映到外面的某个地方，还不能算 K 的自同构。

这时候就用到了：

特别是它的“正规性 normality”。

正规性保证：

固定 F 的任何这种嵌入，都不会把 K 整体送出 K。

所以：

于是：

而：

因此 E 上每个自同构都能从 K 上限制下来。

所以：

前面第一同构定理已经给了：

现在代入：

这就是我们一直想得到的关系。

你可以先把它读成一句话：

总 Galois 群除掉那些“在 E 上什么都不做”的自同构以后，剩下的正好就是 E/F 这一层能看到的 Galois 群。

下一步就可以把这个公式真正用到根式塔上，从而构造出 Galois 群的正规子群链。

第 12 章：完整例子：三次分裂域的群为什么是 S₃

本章对象：α=∛2 取实根；ω 是本原三次单位根；K=ℚ(α,ω)。α、ω 是生成元，六个基元素另行证明。

12.1 Gal 记号的斜杠指基础域

原问题：这里还是不好理解符号，虽然我理解是在做自同构的群

这里确实容易误解，尤其是这个斜杠：

看起来像“拿 x³-2 除以 ”，其实完全不是除法。

更严格的写法应该先定义它的分裂域：

然后写：

这里的

意思是：

域扩张 K over

也就是：

所以：

完整意思是：

所有“把 K 映到自己、同时把 中每个元素都固定不动”的域自同构所组成的群。

写成集合就是：

所以这里可以逐个读：

表示“Galois 群”；

表示我们正在操作的那个大域；

这里读作 over，不是除号；

表示要求自同构必须固定不动的基础域。

因此：

可以直译成：

K 相对于 的 Galois 群。

而我前面写的

是一种常见的简写，意思其实是：

取 x³-2 在 上的分裂域 K，然后研究

更不容易混淆的写法是：

然后：

所以以后看到

你就把它翻译成一句话：

“多项式 f 在基础域 F 上的 Galois 群。”

而真正被做自同构的是它的分裂域，不是多项式本身。

12.2 生成域的四则运算规则

原问题：但是这里的生成有规则吧

有，而且规则非常明确。

里的“生成”不是随便组合，而是：

其中除法当然要求分母不为 0。

所以更形式化地说：

就是包含 的最小域。

也就是说，你一开始有

然后因为域必须封闭，就必须把这些东西也收进去：

等等。

一般来说，域生成可以理解成所有形如

的元素，其中

也就是：

用有理数作为系数，对 α,ω 做有限次加减乘除所能得到的一切数。

但这个例子又有额外关系：

以及

所以

可以降成常数，

可以降成

因此看似很复杂的表达式最终都能压缩成

所以你说“生成有规则”是对的。最核心的规则就是：

而如果生成元满足代数方程，就再利用这些代数关系不断化简。

你也可以把它和前面的“群生成”对比着理解：群生成允许不断做群运算和取逆；域生成则允许不断做

12.3 生成元与向量空间的基

原问题：这个符号的意思就是基是1还有这两个，然后系数是有理数对吧

不完全是。这里最关键的是区分 “生成元” 和 “基”。

这个符号的意思是：

从 出发，把 和 ω 加进去，并且为了保持“域”对四则运算封闭，把所有被迫产生的元素也一起加入。

所以

是生成元（generators），不是说基就是

令

因为

所以 α 的高次幂都能降到

同时

所以

因此 ω 的高次幂只需要保留 1,ω。

把两者结合起来，就会产生：

而这个例子里，这 6 个元素恰好构成 K 在 上的一组基：

所以任意 x∈ K 都可以唯一写成：

其中：

也可以更紧凑地写成：

因此你可以把

理解为：

“由 和 α,ω 生成的最小域。”

而不是：

“以 1,α,ω 为基的向量空间。”

这两个概念要分开。这里 α,ω 是生成域所需的生成元；最终作为 -向量空间的基有 6 个元素。

补充证明：三次例子的六种自同构确实全部存在

α=∛2 取实根，ω 是非实本原三次单位根。x³−2 在 ℚ 上不可约：三次多项式可约就有一次因子，因此有有理根；有理根定理只允许 ±1、±2，逐个代入都不是根。所以 [ℚ(α):ℚ]=3。

α 的生成域完全在 ℝ 中，而 ω 非实；ω 满足 x²+x+1，所以 [ℚ(α,ω):ℚ(α)]=2，总次数为 6。另一方面 [ℚ(ω):ℚ]=2，由塔式定理 [K:ℚ(ω)]=3，因此 α 在 ℚ(ω) 上的最小多项式仍是 x³−2。

在 ℚ(ω) 上用 α↦ωα 延拓恒等嵌入，得到 K→K 的嵌入；由于像含 ω 与 ωα，也含 α，故它是自同构 r。复共轭 s 固定 α，把 ω 送到 ω²。这给出了真实存在的两个映射，不是仅列出满足方程的候选像。

它们满足 r³=s²=e，并且 srs=r⁻¹。六个映射 e,r,r²,s,rs,r²s 对 α、ω 的作用各不相同。所有自同构最多只有 3×2 个候选，所以这六个就是全部。r、s 在三个根上分别诱导 (123)、(23)，且此作用忠实（根生成整个域），故 Gal(K/ℚ)≅S₃。

12.5 计算三次分裂域的六个自同构

现在我们就具体算：

的 Galois 群

目标是看清楚它为什么正好是 S₃。

先看一个固定 的自同构 σ。因为

所以

因此 σ(α) 必须仍然是 x³-2 的一个根。

三个根是：

所以：

一共有 3 种可能。

再看 ω。

它满足：

所以：

这个二次方程的两个根就是：

因此：

一共有 2 种可能。

于是看起来我们可能有：

种自同构。

而且这个例子中，这 6 种确实全部都存在。

为什么只需要决定 α 和 ω 的去向？

因为：

也就是说整个 K 都是由有理数、α、ω 通过四则运算生成的。

而 σ 已经要求固定所有有理数。

所以一旦知道：

那么整个 σ 的作用就完全被决定了。

例如：

那么：

没有其他自由度。

现在我们把这 6 种可能列出来：

所以：

接下来关键不是“6”这个数字本身，而是：

这 6 个自同构实际上就是对三个根的 6 种置换。

把三个根记作：

任意 σ 都会把它们重新排列。

例如先取一个自同构 r：

看看它对三个根怎么作用。

首先：

再看：

最后：

所以它对根的作用就是：

也就是一个 3-循环：

现在再取另一个自同构 s：

它其实就是复共轭。

对第一个根：

对第二个：

对第三个：

所以：

而 r₁ 不动。

也就是：

于是我们的 Galois 群里已经有：

和

而这两个置换可以生成整个 S₃。

因此：

这里的

不是“严格等于”，而是：

意思是：

这两个群的元素虽然表面上不是同一种对象，一个是域自同构，一个是置换，但它们的群运算结构完全一样。

所以终于把我们最开始的两条线接起来了：

而 Galois 群就是：

下一步就该进入真正关键的一桥：

也就是开始解释为什么：

12.6 系数固定的自同构为何把根送到根

原问题：这一步不是很理解

这一步其实就是我们前面讲过的“自同构保持多项式关系”，只是这里应用到原方程的根上。

设

而 K 是它的分裂域。取

这句话的意思是：

是域自同构，并且固定 F 中的所有元素。

现在假设

是 f(x) 的一个根，所以：

也就是：

对整个等式作用 σ：

因为 σ 保持加法、乘法，而且每个系数

都被固定，所以：

也就是：

因此：

如果 f 的根是

那么：

一定是其中某一个：

同样：

也全部还在这组根里面。

所以 σ 对根集做的事情一定是：

而且因为 σ 是自同构，所以是双射，不可能把两个不同根都压成同一个根。

因此它实际上就是对这些根进行一个置换：

但注意一个关键区别：

并不意味着：

一般具体多项式只允许其中一部分置换。

例如 x³-2 的分裂域里确实允许全部 S₃；但有的方程可能只允许一个更小的子群。

最后还有一步：为什么一个 Galois 自同构一旦知道它怎么置换所有根，就完全确定了？

因为分裂域本身就是：

也就是说，K 是由基础域 F 和这些根生成的。

σ 已经固定 F，再告诉你每个

那么 K 里所有通过这些根做四则运算得到的元素怎么变化，也全部被确定了。

所以我们得到一个非常重要的包含关系：

意思是：Galois 群可以看成 Sₙ 的一个子群。

这比我上一条直接说“Galois 自同构必须把根重新排列”完整得多。

第 13 章：中间域、限制映射和商群公式

本章对象：默认 K/F 有限 Galois；只有额外满足 E/F 正规时，res 才以 Gal(E/F) 为目标群。res 是群映射，σ 是它的输入，σ|E 是它的输出。

13.1 域越大，固定它的自同构越少

现在我们要把“域的一层层扩张”翻译成“群的一层层子群”。

这一步的核心是一个非常漂亮的反向关系：

先不要记定理，我们用一个具体例子理解。

假设有：

其中 K/F 是一个 Galois 扩张。

我们考虑总的 Galois 群：

也就是所有“固定 F”的 K 的自同构。

现在因为 E 比 F 更大，如果我要求一个自同构不仅固定 F，还必须固定整个 E，那它受到的限制就更多。

于是得到一个更小的群：

注意：

为什么？

因为如果一个自同构把 E 里的所有元素都固定，那当然也会把 F⊆ E 里的所有元素固定。

所以：

这就是“反向”。

域越大：

要固定的东西越多，

所以允许的自同构越少。

举个很简单的例子。

还是：

整个 K 相对于 的自同构，可以独立决定：

所以一共有 4 个：

现在取中间域：

如果一个自同构必须固定 E，那它就必须固定：

所以原来关于 √2 的“正负自由度”消失了。

它只能决定：

于是：

所以你看到：

对应的是：

域链方向是：

群链方向是：

这就是 Galois 对应最核心的直觉。

更一般地，如果：

那么：

也就是：

反向对应：

其中

但现在还差一个很关键的问题：

这些 Hᵢ 为什么会是正规子群？
以及为什么商群 会对应某一层域扩张的 Galois 群？

这就是 Galois 基本定理真正有力量的地方。

下一步我们就只讲第一件事：

这正好会把我们前面学过的“正规子群”和现在的“中间域”连接起来。

13.2 中间域正规时，对应子群为何正规

现在只讲这一件事：

先设：

并令

我们已经知道：

现在要证明：

也就是对任意

都有：

先取一个：

因为 τ∈ H，所以 τ 的定义是：

τ 固定 E 中的每个元素。

也就是：

现在我们看共轭：

我们要证明它仍然属于 H。

也就是说，需要证明：

仍然固定 E。

任取：

看：

从右往左作用。

第一步：

这里问题来了：

σ⁻¹(x) 还一定在 E 里面吗？

这正是关键。

如果：

那么当然：

于是因为 τ 固定 E：

最后再作用 σ：

所以：

于是：

因此：

也就是：

所以整个证明实际上卡在一句话：

为什么成立？

这就是为什么需要 E/F 是 Galois。

如果 E/F 是 Galois，那么 E 可以理解为某个多项式在 F 上的分裂域。

而 固定 F，所以它把这个多项式的根仍然送到这个多项式的根。

因为 E 是由这些根生成的，所以：

也就是说：

E 作为一个整体，在所有固定 F 的自同构作用下不会被送到别的地方去。

于是对应的：

就是正规子群。

你可以把这件事和前面的正规子群直觉对应起来：

在群论里：

意思是 H 在共轭作用下保持不变。

在域论里，对应的是：

在 G 的作用下作为一个整体保持不变。

所以：

这就是 Galois 基本定理里最漂亮的一条对应关系之一。

下一步就可以继续讲：

也就是为什么“商群”恰好对应“中间那一层域扩张的 Galois 群”。

13.3 域的整体稳定不等于固定每个单位根

原问题：这个得保证单位根也是固定的吧

对，你抓到了一个很关键的区别：“E 在所有固定 F 的自同构下保持不变”本身，不要求额外加入单位根；它要求的是 E/F 是 Galois。 单位根是在我们前面构造“根式扩张的每一层都是 Galois 且阿贝尔”时需要的。

这两个条件要分开看。

比如

且

如果 E/F 是 Galois，那么 σ 会把 E 送回自身：

这里不需要专门说“单位根固定”。

为什么？因为 E/F 是 Galois 意味着，粗略说，E 已经包含了定义它所需多项式的全部共轭根。因此 σ 虽然可能把这些根互相交换，但它们仍然都在 E 里面，于是整个 E 不会跑出去。

反过来看我们之前的例子就很清楚。

设

并考虑：

它不是 x³-2 的分裂域，因为另外两个根

不在 E 里。

放进更大的分裂域

后，有某个

满足：

于是：

而：

所以：

问题的本质不是单独因为“ω 没固定”，而是：

因此 E 没有包含自己所有的共轭。

那我们之前为什么反复强调：

呢？

那是在解决另一个问题。

我们希望一层根式扩张

不但成为 Galois 扩张，而且其 Galois 群还是阿贝尔群。

如果：

那么所有根

都自动在

里，所以这一层成为分裂扩张。

同时，因为：

所有固定 F 的自同构必须满足：

于是自同构只能：

从而产生阿贝尔结构。

所以单位根实际上同时帮了我们两件事：

使得加入一个根 α 后，其他

也自动进入扩张域——帮助这一层成为分裂/Galois 扩张；

同时它又让所有自同构固定 ζₙ——帮助这一层的 Galois 群成为阿贝尔群。

所以你可以这样区分：

而

是我们构造特殊的根式 Galois 层时用来保证这一条件、并进一步保证“阿贝尔”的工具。

你刚才这个疑问其实正好触及了后面证明里一个非常容易混淆的点：“Galois”负责稳定中间域，“含单位根”负责让根式层变成特别简单的 Galois 扩张。

13.4 限制映射连接域层和群层

下一步最自然的是把刚才的“中间域 ↔ 正规子群”继续推进一步，证明：

但我们不会直接上这个公式。先只做第一步：

假设

并且 E/F 是 Galois。

取一个

因为刚才已经知道：

所以虽然 σ 原本是

我们完全可以只观察它在 E 中的作用：

这个符号

读作：

σ restricted to E，即“σ 限制在 E 上”。

例如假设

某个自同构 σ 可能满足

但如果我们只看 ，那么 √3 根本不属于 E，所以我们不关心它怎么变。

在 E 上，

就只是：

因此我们得到一个映射：

定义为：

这里 res 就是 restriction 的缩写。

这一步非常重要，因为接下来我们会问：

哪些 K 上不同的自同构，限制到 E 后会变成同一个自同构？

答案正好是：它们的差别来自那些完全固定 E 的自同构，也就是

于是商群

就会自然出现。

所以下一步就应该证明这个 restriction map 的核为什么恰好是

这一步讲清楚以后，商群和中间域那一层 Galois 群的关系就几乎出来了。

13.5 限制映射的核

这里我们先不急着上同构定理，只把一个新概念讲清楚：

我们已经有：

并定义：

如果 E/F 是 Galois，那么每个

都会把 E 映回 E，所以可以限制：

于是有映射：

定义为：

现在问：

哪些 σ∈ G 经过这个映射以后，变成 Gal(E/F) 里的单位元？

先看 Gal(E/F) 的单位元是什么。

它就是：

也就是在 E 上什么都不做：

因此：

意味着：

翻译成人话就是：

也就是说：

σ 固定整个 E。

但“所有固定 E 的 K 的自同构”正是：

因此：

这里新出现了：

叫做 kernel，核。

一般来说，如果有群同态：

那么它的核定义为：

也就是说：

在映射以后“看起来什么都没做”的那些元素。

所以在我们的例子里：

一个 σ 如果属于核，就说明：

虽然它在整个 K 上可能不是单位元，但只看 E 时，它完全看不出来。

用具体例子会很清楚。

设：

考虑自同构：

它在整个 K 上不是恒等，因为：

但是限制到 E：

里面没有 √3。

而且它固定：

所以对任何：

都有：

因此：

所以这个 σ 属于：

而它也确实属于：

因为它固定整个 E。

于是得到：

这个结果非常漂亮，因为“核”在群论里天然是正规子群。

所以我们立刻得到：

这其实又给出了“为什么它是正规子群”的另一种证明方式。

下一步就是利用群论里的第一同构定理：

代入这里，就会得到：

然后我们再解释为什么这个像正好是：

这样就得到我们真正想要的：

13.6 从定义再次验证限制映射的核

原问题：这一步是怎么来的来着

这一步其实非常直接，只是符号容易遮住意思。

我们有：

定义为：

现在“核”的定义是：

也就是那些经过限制以后，在 E 上变成恒等映射的 σ。

而

所以条件

等价于：

再展开，就是：

也就是说：

σ 固定 E 中每一个元素。

但“所有固定 E 的 K-自同构”按定义就是：

因此：

所以这一步本质上只是把两个定义接起来：

而

两者描述的是同一批自同构。

13.7 映射的输入元素本身也是映射

原问题：但是这个映射本身是不同同构之间的映射啊

对，你理解得对。这里最容易混的就是“映射的元素本身也是映射”。

我们把层次分开：

这是一个群。它的“元素”不是普通数字，而是一个个 K 上的域自同构：

同样，

也是一个群，它的元素是：

这样的域自同构。

现在 res 是一个群同态：

它输入一个“映射” σ，输出另一个“映射”：

所以确实是：

而“核”是针对这个群同态 res 来定义的。

群同态的核，就是所有被送到目标群单位元的元素。

这里目标群是：

它的单位元是什么？

不是数字 0 或 1，而是：

也就是在 E 上什么都不做的恒等自同构：

所以：

而：

因此：

意思就是：

这恰好就是：

所以：

你可以把它理解成两层：

而 res 的核，就是那些被它送到“恒等映射” 的 σ。

13.8 同态、嵌入、同构、自同构及两层映射

原问题：这里主要是几个概念和符号，一会儿用的是同态一会儿又变成了同构，虽然我理解这些意思，但是有的你说的比较快，就不知道你到底在指称什么

这里集中回看已经建立的几种映射类型；群论定义、域映射定义及延拓过程在前文各自出现，本段用于在限制映射上辨认它们。

对，你现在真正卡的不是数学思想，而是**“同一个字母到底代表什么对象、这个映射此刻是什么类型”切换得太快**。后面 Galois 理论里如果不严格区分，确实非常容易乱。

我们先暂停主线，把目前会反复出现的几个词彻底固定下来。以后我第一次引入一个映射时，会先写清楚“从哪里到哪里、是什么类型”，不再直接跳符号。

1. 同态 homomorphism：保持运算的映射

这是最宽泛的概念。

群之间：

如果满足

就是群同态。

此时不要求单射，也不要求满射。

例如：

把整数映成奇偶类，就是群同态，但显然不是单射。

2. 同构 isomorphism：双射的同态

如果

既保持结构，又是双射，那么叫：

于是写：

所以逻辑关系是：

例如：

这里的 ≅ 是说这两个群的结构完全一样，并不是说它们是同一个集合。

3. 嵌入 embedding：单射的同态

如果

保持域的加法、乘法，又是单射，就叫域嵌入。

所以：

它不要求像覆盖整个目标域 K。

例如可以有：

它只是把小域“完整地放进”大域。

而我们前面讲过，对于保持 1 的域同态，单射其实自动成立，所以域论里“域同态”和“域嵌入”的距离比群论里小很多。

4. 自同构 automorphism：从自己到自己的同构

如果

既是域同态，又是双射，那么叫：

所以：

例如：

这就是自同构。

现在把它们放在一张关系图里最清楚：

加上“单射”：

加上“满射”：

如果这个同构恰好还是：

就叫：

所以：

再把目前 Galois 理论里的“角色”固定下来

我们目前讨论：

这三个都是域。

这里 F 是最底层基础域，E 是中间域，K 是大域。

然后：

不是一个域，而是一个群。它的元素 σ 是：

这样的域自同构，并额外要求：

所以每次看到

你脑子里应该自动展开成：

然后我们有：

它也是一个群，它的元素仍然是：

只是要求更严格：

因为：

固定整个 E 当然也固定 F，所以：

再看刚才的 restriction：

注意这里 res 本身是一个群同态。

它输入的是一个：

然后输出：

所以这里实际上存在“两层映射”：

而

这个尤其容易混。

例如：

左边的 res 是群之间的映射；

右边的 σ 是域之间的映射。

这两个不是同一层次的东西。

还有我们刚才讲延拓时：

原本是 E 的自同构。

为了延拓，我们暂时把它看成：

这时候我们强调的是它作为一个域嵌入的身份。

然后延拓得到：

最开始只能称为嵌入。

等利用 K/F 的正规性证明：

以后，它实际上变成：

而且是双射。

这时候才能升级称为：

所以这里不是我把“嵌入突然叫成了自同构”，而是我们证明了它的像恰好等于 K，所以它从“单射同态”升级成了“到自身的双射同态”。

这个过程以后我会明确写成：

然后证明：

所以：

这样就不会突然换称呼。

从现在开始，我会在出现新映射时优先给你写成这种格式：

并明确说 res 是群同态，σ 是域自同构。这样后面进入 Galois 基本定理时会清楚很多。

下一步也先不继续证明延拓定理，而应该先把 “同态、核、像、单射、满射、同构”在 restriction map 这一个具体例子里全部对应起来。这样第一同构定理那一段就不会再有符号漂移。

13.9 哪些对象属于群层，哪些属于域层

原问题：哪些是群的概念，哪些是域的概念

可以这样分最清楚：

概念	主要属于哪一层	在我们这里怎么用
群 group	群论	G,H,Gal(K/F)
子群 subgroup	群论	Gal(K/E)≤ Gal(K/F)
正规子群 normal subgroup	群论	Gal(K/E)◁ Gal(K/F)
商群 quotient group	群论	G/H
群同态 homomorphism	群论	res:G→ H
核 kernel	群论里常用，也可用于环/域同态	ker (res)
像 image	一般映射/代数结构都可用	im(res)
同构 isomorphism	群、域等结构都有	G/H≅ Gal(E/F)
域 field	域论
域扩张 field extension	域论	F⊆ E⊆ K
代数元	域论
最小多项式	域论
分裂域	域论	K 包含某多项式全部根
域嵌入 embedding	域论
域自同构 automorphism	域论	σ:K→ K
Galois 群	两者交界	“一群域自同构”组成的群

最容易混的是这几个：

本身是一个群；

但它里面的元素

是一个域自同构。

再比如

这里：

• res 是群同态；
• 输入的 σ 是域自同构；
• 输出的 也是域自同构。

所以这里同时有“群层”和“域层”两层结构。

你可以把整个 Galois 理论暂时看成一句话：

也就是：

这样以后看到符号时就先问：现在是在谈域本身，还是在谈这些域自同构组成的群？

13.10 限制映射、核、像与商群的角色逐一对应

好，我们继续，而且我会把“谁是群、谁是域、哪个符号在做什么”摆得更清楚。

现在我们有三层域：

并且假设：

我们定义两个群：

这里 H⊆ G。

然后定义限制映射：

规则是：

意思就是：原本 σ 作用在整个 K 上，现在只看它在 E 上做了什么。

前面我们已经知道：

也就是说：

那些限制到 E 后什么都不做的 K-自同构，恰好就是固定整个 E 的自同构。

现在只剩一个问题：

也就是：

Gal(E/F) 里的每一个自同构，能不能都从 K 上某个自同构限制下来？

答案是：

因为我们刚才讨论的延拓定理告诉我们：任取

可以把它延拓成某个

并且满足：

所以每个 τ 都能被 res 命中。

因此：

于是第一同构定理给出：

把具体对象代进去：

这个式子非常重要。

它可以读成：

总的 Galois 群，除掉那些“在 E 上完全看不见的变化”，剩下的正好就是 E/F 这一层的 Galois 群。

所以现在“商群”和“中间域的一层扩张”终于完全对应起来了。

下一步就可以把它用在根式塔：

上，得到反向的群链：

然后证明每个商群

都是阿贝尔群。

这一步完成以后，我们就真正得到：

而且不是靠口号，而是可以看见每一层为什么对应。

13.11 限制映射满射的准确问题

下一步就该解决刚才留下的唯一缺口：

也就是解释：

E 上每一个固定 F 的自同构，为什么都能“延拓”成 K 上的自同构？

先不要直接上一般定理，我们会先用具体例子：

在 E 上有一个非平凡自同构：

我们会先问：

能不能把它扩展到整个 K？

答案是可以，比如定义：

这样就得到 K 上的一个自同构。

然后再理解一般情形里为什么这种“延拓”成立。

一旦这一步完成，我们就得到：

这就是把商群和中间域那一层扩张真正对应起来的关键公式。

13.12 第一同构定理的陪集证明

例如我们刚才的限制映射

就是群同态。

为什么？

因为先复合两个自同构再限制到 E，和先分别限制到 E 再复合，效果相同：

所以：

现在立刻代回 Galois 的情况。

我们有：

已经知道：

所以第一同构定理直接给：

现在只剩最后一个问题：

也就是：

E 上每一个固定 F 的自同构，能不能都从 K 上某个固定 F 的自同构限制下来？

这就是下一步。它涉及 “自同构能否从中间域延拓到整个分裂域”。这一步讲清楚以后，我们才真正得到

第 14 章：根式塔：单位根、共轭与正规闭包

本章对象：Fᵢ₊₁=Fᵢ(αᵢ)，αᵢ 的 nᵢ 次幂等于 aᵢ∈Fᵢ；各层指数、元素均可不同。ζₙ 是本原 n 次单位根，μₙ 是全部 n 次单位根组成的群。

14.1 进入根式塔前回顾两条主线

进入根式塔前，已有的两条主线是：

然后进一步讨论了“根式解”如何翻译成一层一层的域扩张：

最后停在一个很关键的技术点：

如果这一层的基础域 F 已经包含相应的 n 次单位根 ζₙ，那么自同构只能把 送到

原讨论确认了以下需要的条件：

这样 ζₙ 就被固定，不会再被 Galois 自同构移动。

现在下一步就应该证明：

我们继续慢慢来。

假设：

并且

同时假设：

那么固定 F 的任何自同构 σ 都只能满足：

另一个自同构 τ 则可能满足：

现在比较：

和

先算：

因为：

所以：

由于 ζₙ∈ F，而 σ 固定整个 F，所以：

因此：

又因为：

所以：

反过来：

因此：

而整个 K 是由 F 和 α 生成的。

两者都固定 F，而且在 α 上作用相同，所以它们在整个 K 上作用都相同。

因此：

所以：

更直观地说，这些自同构本质上只是：

做一次 k，再做一次 l，结果就是：

而：

所以自然交换。

这就是我们现在终于得到的关键结论：

接下来真正重要的一步，就是解释：

如果我们有一整座根式塔 为什么这些“一层一层的阿贝尔群”会对应到总 Galois 群中的一条正规子群链？

这里就会第一次正式进入 Galois 基本定理：中间域和子群之间的反向对应。这一步是把“根式塔”真正变成“可解群”的桥。

14.2 把一个根式表达式拆成逐次开根

原问题：太快了没太理解为什么就加入了一个根式

对，刚才这里跳太快了。关键不是“为什么突然只加入一个根式”，而是：

所谓“能用根式解”，本来就可以拆成很多个“每次加入一个根式”的步骤。

我们先把“根式表达式”看成一个实际公式。

比如：

这个数看起来是一次写出来的，但它其实可以分两步构造。

先从

开始。

第一步加入：

得到：

现在注意：

然后第二步再加入：

记

那么：

于是得到：

也就是：

所以一个嵌套根式：

实际上就是连续两次“加入一个根式”。

再看复杂一点的：

也一样。

第一步：

加入：

得到：

然后：

再加入一个新元素 α，满足：

于是：

所以：

因此，“每一步加入一个根式”的一般形式是：

已有一个域：

然后选择一个：

再加入某个 αᵢ，使：

于是：

这一步就叫一次根式扩张。

为什么这样就足够描述一般的“根式公式”？

因为根式公式只允许有限次：

而四则运算本来就已经被“域”自动包含了。

例如，如果你现在已经在 Fᵢ 里，那么：

仍然都在 Fᵢ 里。

所以四则运算根本不需要新扩张。

真正会把你带出当前域的，只有：

比如：

可能不在当前域中。

这时候才需要扩张：

所以从域的角度看，一个根式公式的构造过程，就是：

其中每一步都是：

这不是人为规定出来的，而是把“有限次四则运算和开根”逐步翻译成域语言以后自然得到的。

比如一个更复杂的表达式：

可以按顺序构造：

先加入

得到 F₁；

再加入

得到 F₂；

再加入

得到 F₃。

最后那个除法

不需要再扩张，因为 F₃ 已经是域，自动允许除法。

所以最终这个数就在 F₃ 中。

因此，“方程可以用根式解”的精确含义，最终就是：

刚才我说“一次根式扩张的 Galois 结构比较简单”，讲的是这座塔里的某一层，不是说整个方程只需要开一次根。

下一步应该继续只研究一层：

看看为什么这一层的自同构只能把

送成

这样会更顺。

14.3 根式公式与根式塔的逐步对应

原问题：为什么能用根式解就推出了根式塔

因为“能用根式解”本身，严格翻译成域语言后，几乎就是“存在一座根式塔”。

关键在于：一个根式公式只允许有限次做

而域已经自动对前四种运算封闭，所以真正会让你离开当前域的，只有“开根”。

假设基础域是

，比如一般多项式系数所在的域。

如果公式第一步需要

我们就把这个新数记成

于是

并扩张成

现在因为 F₁ 是域，所以任何由 F₀ 和 α₀ 做四则运算得到的东西都已经自动在 F₁ 里，不需要再扩张。

假如下一步公式出现

因为

记

那么

再定义

继续这样做。

所以任何有限的根式表达式都可以逐步翻译成：

其中每一步都是